2016全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)高考真題和答案

..2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合,,則〔A〔B〔C〔D2.設(shè),其中是實(shí)數(shù),則〔A 〔B 〔C 〔D3.已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,,則〔A100〔B99〔C98〔D974.某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是〔AEQ\F<1,3>〔BEQ\F<1,2>〔CEQ\F<2,3>〔DEQ\F<3,4>5.已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是〔A〔B〔C〔D6.如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是〔A〔B〔C〔D7.函數(shù)在的圖像大致為〔A 〔B〔D8.若,則〔A〔B〔C〔D9.執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出x,y的值滿足〔A〔B〔C〔D10.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為<A>2<B>4<C>6<D>8是否11.平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,是否平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m、n所成角的正弦值為<A><B><C><D>12.已知函數(shù)為的零點(diǎn),為圖像的對(duì)稱軸,且在單調(diào),則的最大值為〔A11

〔B9

〔C7

〔D5二、填空題：本大題共3小題,每小題5分13.設(shè)向量a=<m,1>,b=<1,2>,且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=．14.的展開式中,x3的系數(shù)是．〔用數(shù)字填寫答案15.設(shè)等比數(shù)列QUOTE滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為．16.某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元．三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.〔本小題滿分為12分的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知〔=1\*ROMANI求C；〔=2\*ROMANII若,的面積為,求的周長(zhǎng)．18.〔本小題滿分為12分如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．〔=1\*ROMANI證明：平面ABEF平面EFDC；〔=2\*ROMANII求二面角E-BC-A的余弦值．19.〔本小題滿分12分某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).〔I求的分布列；〔=2\*ROMANII若要求,確定的最小值；〔=3\*ROMANIII以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)？20.〔本小題滿分12分設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B〔1,0且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.〔I證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；〔=2\*ROMANII設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.21.〔本小題滿分12分已知函數(shù)QUOTE有兩個(gè)零點(diǎn).<I>求a的取值范圍；<II>設(shè)x1,x2是QUOTE的兩個(gè)零點(diǎn),證明：.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.〔本小題滿分10分選修4-1：幾何證明選講如圖,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓.<I>證明：直線AB與⊙O相切；<II>點(diǎn)C,D在⊙O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明：AB∥CD.23.〔本小題滿分10分選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為QUOTE〔t為參數(shù),a＞0．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2：ρ=.〔I說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；〔II直線C3的極坐標(biāo)方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a．24.〔本小題滿分10分選修4—5：不等式選講已知函數(shù).〔I畫出的圖像；〔II求不等式的解集．2016年高考全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案DBCBAADCCBAB1.,．故．故選D．2.由可知：,故,解得：．所以,．故選B．3.由等差數(shù)列性質(zhì)可知：,故,而,因此公差∴．故選C．4.如圖所示,畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中,而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí),才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘根據(jù)幾何概型,所求概率．故選B．5.表示雙曲線,則∴由雙曲線性質(zhì)知：,其中是半焦距∴焦距,解得∴故選A．6.原立體圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的后的三視圖表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A．7.,排除A,排除B時(shí),,當(dāng)時(shí),因此在單調(diào)遞減,排除C故選D．8.對(duì)A：由于,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,因此,A錯(cuò)誤對(duì)B：由于,∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,B錯(cuò)誤對(duì)C：要比較和,只需比較和,只需比較和,只需和構(gòu)造函數(shù),則,在上單調(diào)遞增,因此又由得,∴,C正確對(duì)D： 要比較和,只需比較和而函數(shù)在上單調(diào)遞增,故又由得,∴,D錯(cuò)誤故選C．9.如下表：循環(huán)節(jié)運(yùn)行次數(shù)判斷是否輸出運(yùn)行前01//1第一次否否第二次否否第三次是是輸出,,滿足故選C．10. 以開口向右的拋物線為例來解答,其他開口同理設(shè)拋物線為,設(shè)圓的方程為,題目條件翻譯如圖：設(shè),,點(diǎn)在拋物線上,∴……①點(diǎn)在圓上,∴……②點(diǎn)在圓上,∴……③聯(lián)立①②③解得：,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選B．11. 如圖所示：∵,∴若設(shè)平面平面,則又∵平面∥平面,結(jié)合平面平面∴,故同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等,即的大?。簿鶠槊鎸?duì)交線,因此,即．故選A．12. 由題意知：則,其中在單調(diào),接下來用排除法若,此時(shí),在遞增,在遞減,不滿足在單調(diào)若,此時(shí),滿足在單調(diào)遞減故選B．13.-214.1015．6416．21600013. 由已知得：∴,解得．14． 設(shè)展開式的第項(xiàng)為,∴．當(dāng)時(shí),,即故答案為10．15.由于是等比數(shù)列,設(shè),其中是首項(xiàng),是公比．∴,解得：．故,∴當(dāng)或時(shí),取到最小值,此時(shí)取到最大值．所以的最大值為64．16． 設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品件,B產(chǎn)品件,根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件,構(gòu)造線性規(guī)則約束為目標(biāo)函數(shù)作出可行域?yàn)閳D中的四邊形,包括邊界,頂點(diǎn)為在處取得最大值,17.解：=1\*GB2⑴由正弦定理得：∵,∴∴,∵∴=2\*GB2⑵ 由余弦定理得：∴∴∴周長(zhǎng)為18．解：<1> ∵為正方形∴∵∴∵∴面面∴平面平面=2\*GB2⑵ 由=1\*GB2⑴知∵平面平面∴平面平面∵面面∴∴∴四邊形為等腰梯形以為原點(diǎn),如圖建立坐標(biāo)系,設(shè),,設(shè)面法向量為.,即設(shè)面法向量為.即設(shè)二面角的大小為.二面角的余弦值為19解：=1\*GB2⑴ 每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11記事件為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件記事件為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件由題知,設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為,則的可能的取值為16,17,18,19,20,21,2216171819202122=2\*GB2⑵ 要令,,則的最小值為19=3\*GB2⑶ 購(gòu)買零件所需費(fèi)用含兩部分,一部分為購(gòu)買機(jī)器時(shí)購(gòu)買零件的費(fèi)用,另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用當(dāng)時(shí),費(fèi)用的期望為當(dāng)時(shí),費(fèi)用的期望為所以應(yīng)選用20.<1>圓A整理為,A坐標(biāo),如圖,,則,由,則所以E的軌跡為一個(gè)橢圓,方程為,<>；⑵；設(shè),因?yàn)?設(shè),聯(lián)立得；則；圓心到距離,所以,21.〔Ⅰ．〔i設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)．〔ii設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．又,,取滿足且,則,故存在兩個(gè)零點(diǎn)．〔iii設(shè),由得或．若,則,故當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若,則,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上,的取值范圍為．不妨設(shè),由〔Ⅰ知,,,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即.由于,而,所以.設(shè),則.所以當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),.從而,故.22．⑴ 設(shè)圓的半徑為,作于∵∴∴與相切⑵ 方法一：