《球的表面積和體積》

球的表面積和體積球人類(lèi)的家－－地球人類(lèi)將來(lái)的家－－火星探究火星的航天飛船假如用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？為什么？問(wèn)題一實(shí)際問(wèn)題一個(gè)充溢空氣的足球和一個(gè)充溢空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽視球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？問(wèn)題二實(shí)際問(wèn)題

怎樣求球的表面積和體積？提出問(wèn)題

球既沒(méi)有底面，也無(wú)法象柱、錐、臺(tái)體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？h試驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積試驗(yàn)方法h試驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積試驗(yàn)方法小球的體積等于它排開(kāi)液體的體積曹沖稱象H假設(shè)將圓n等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顧圓面積公式的推導(dǎo)溫故知新

割圓術(shù)早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而獨(dú)創(chuàng)了“倍邊法割圓術(shù)”．他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小”．這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不行再割，則與圓合體而無(wú)所失矣”．這是世界上最早的“極限”思想．極限思想已知球的半徑為R,用V表示球的體積.AOAOB2C2r2r3r1球的體積OROA球的體積球的體積球的體積在球的體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，運(yùn)用了“分割、求近似值、再將近似值轉(zhuǎn)化為球的體積”的方法：球的體積

即先將半徑n等分；再求出每一部分體積的近似值，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積；當(dāng)n無(wú)限變大時(shí)，就可得到半球的體積．例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.例題講解(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計(jì)算器算得:例題講解球面不能綻開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用綻開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢?

回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式．球的表面積第一步：分割球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：OO球的表面積其次步：求近似和由第一步得：OO球的表面積第三步：化為精確和假如網(wǎng)格分的越細(xì),則:“小錐體”就越接近小棱錐O球的表面積例1

已知球的表面積為4π，求它的體積解

設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝4π，解得R＝1，所以球的表面積S＝4πR2＝4π×32＝36π.變式練習(xí)1

已知球的體積為36π，求它的表面積（

）A12π

B24π

C36π

D48πc題型一球的表面積與體積題型二球的組合體與三視圖

例2（2016年遼寧卷）某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積__________________.解：由三視圖可知該幾何體的下部是棱長(zhǎng)為2的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體的表面積為該幾何體的表面積是為反思與感悟1.由三視圖求球與其他幾何體的簡(jiǎn)潔組合體的表面積和體積，關(guān)鍵要弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義.2.求解表面積和體積時(shí)要避開(kāi)重疊和交叉.(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的

倍.(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的

倍.(3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是

.(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是

.練習(xí)隨堂練習(xí)

影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，就是球的半徑.球半徑的求法方法一：干脆法方法二：構(gòu)造直角三角形方法三：補(bǔ)形一、干脆法正方體的內(nèi)切球,棱切球,外接球正方體與球切點(diǎn)：各個(gè)面的中心。球心：正方體的中心。直徑：相對(duì)兩個(gè)面中心連線。o球的直徑等于正方體棱長(zhǎng)。一、正方體的內(nèi)切球例題3(2015年全國(guó)卷改編)一個(gè)球內(nèi)切于棱長(zhǎng)為2的正方體，求它的表面積。題型三球的切接問(wèn)題ABCDD1C1B1A1O大顯身手我最棒二、正方體的棱與球相切（棱切球）球的直徑等于正方體一個(gè)面上的對(duì)角線長(zhǎng)切點(diǎn)：各棱的中點(diǎn)。球心：正方體的中心。中學(xué)學(xué)科網(wǎng)直徑：“對(duì)棱”中點(diǎn)連線例4、一個(gè)球與這個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體各條棱相切，求它的體積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O對(duì)角面正方體外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線。三、正方體的外接球例5、一個(gè)球過(guò)這個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)球的表面積.

ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O正方體的內(nèi)切球，棱切球，外接球三個(gè)球心合一半徑之比為：長(zhǎng)方體的外接球?qū)敲胬?、長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是3,4,5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是（

）

A．25πB．50πC．125πD．都不對(duì)【解題關(guān)鍵】正方體的體對(duì)角線與球的直徑相等。練習(xí).如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問(wèn)球O的表面積。ABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1O正方體的外接球變題1.假如球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=——。變題2.假如球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=——。關(guān)鍵：找正方體的棱長(zhǎng)a與球半徑R之間的關(guān)系二、構(gòu)造直角三角形球的性質(zhì)1.用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去截球面，截線是圓。大圓--截面過(guò)球心,半徑等于球半徑;小圓--截面不過(guò)球心A2.球心和截面圓心的連線垂直于截面OABC例7.已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，反思與感悟：利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要途徑.MOO’MOO’三、補(bǔ)形法ACBPO類(lèi)型一、棱兩兩垂直ADCBPC變式1.C變式3.類(lèi)型二、直棱柱解析：球內(nèi)接多面體，利用圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出小圓半徑，通常用到