八年級數(shù)學(xué)專題分式的化簡與求值

解原式=敘"+解原式=敘"+2也+曰+“+1a-H1八年級數(shù)學(xué)專題分式的化簡與求值分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時才有意義；也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分式運(yùn)算中通分和約分的理論根據(jù).在分式運(yùn)算中，主要是通過約分和通分來化簡分式，從而對分式進(jìn)行求值.除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問題得到迅速準(zhǔn)確的解答.本講主要介紹分式的化簡與求值.例1化簡分式：+3a+2 -a_53a',-4a-5 -8a+5 1- a+1a+2a-2 a-3：，分析直接通分計(jì)算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多.a;+2a-3a-6+1

a.十2=[(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)]1111_a-i-1a+ 2a_3_1111= - + - a.+1a+2a-§a-3[-](a+1)(a2)'-{a-.2)fa-j)_■一2；J(a一司一3卜1)但4TOC\o"1-5"\h\zJal)(a+ 一_ -8a+4(a+瑁3+2)(a- -5說明本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式.例2求分式1 1 21 4 8 1.5I-a1+a1+az1+J1+ad1+a15

當(dāng)a=2時的值.分析與解先化簡再求值.直接通分較復(fù)雜，注意到平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項(xiàng).原式=(1+a)+.<1-a).(1原式=(1+a)+.<1-a).(1-封0+a)，2(14a216(1-a2)(l+a例3若abc=1,求此十江十1bc+b+1ca+c+1的值.分析本題可將分式通分后，再進(jìn)行化簡求值，但較復(fù)雜.下面介紹幾種簡單的解法.解法1因?yàn)閍bc=1,所以a,b,c都不為零.原式=be+b+1abca+c+1 -I-2(14a216(1-a2)(l+a例3若abc=1,求此十江十1bc+b+1ca+c+1的值.分析本題可將分式通分后，再進(jìn)行化簡求值，但較復(fù)雜.下面介紹幾種簡單的解法.解法1因?yàn)閍bc=1,所以a,b,c都不為零.原式=be+b+1abca+c+1 -I-ab+a-h1ababc： 4- abc+ab+aabca+abc+ab解法2因?yàn)閍bc=1,所以a/0,b/0,c/0.原式-bH Be4b41bH * b-ta-i-c+1be-+bca+be-b—J=1.1+h底十b例4化簡分式:K24-3x4-2K24-5x+6J+7亥；+12分析與解三個分式一齊通分運(yùn)算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然后再化簡.原式二 5 十 十 1 .,儂+2）饞+1）［將+4（茗+的倍+算俚+4）.111111-十?+2-^73）十（區(qū)+3-宣+4）_1_1_空M+1x+4;絮十5/十4'說明本題在將每個分式的分母因式分解后，各個分式具有「一,J十十八的一般形式,與分式運(yùn)算的通分思想方法相反，我們（'十11）（了十n+1）’將上式拆成,與」;兩項(xiàng)，這樣，前后兩個分式中就有可以相.&十n吝+n十1互消掉的一對相反數(shù)，這種化簡的方法叫“拆項(xiàng)相消”法，它是分式化簡中常用的技巧.例5化簡計(jì)算（式中a,b,c兩兩不相等）：2a--b-c+2b-c-a+ 2c-a-ba"-ab-ac-Hbe-ab-b&+ac/-ac-bc'+ab分析本題關(guān)健是搞清分式J:'的變形）其他兩項(xiàng)是類…」十、、人八一口似的，對于這個分式，顯然分母可以分解因式為（a-b）（a-c）,而分子又恰好湊成（a-b）+（a-c）,因此有下面的解法.原式=(a-b)-1原式=:(a-b)fa-c}::(b-r^(b-a) 女,一日)0-b) 4 + 4-

a-a-bb-ab-c,11 4 + 4-

a-a-bb-ab-c,c-bc-a說明本例也是采取“拆項(xiàng)相消”法所不同的是利用經(jīng)的變形技巧.An說明本例也是采取“拆項(xiàng)相消”法所不同的是利用經(jīng)的變形技巧.An例6已知：x+y+z=3a(a=0,且x,y,z不全相等)，求的值.(a-aj(ya).+(y-a)(z-a)+'{z-譏-詛)的值.(k-a)2+(y-a)2+\e-a)2分析本題字母多，分式復(fù)雜.若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么題目只與x-a,y-a,z-a有關(guān)，為簡化計(jì)算，可用換元法求解.解令x-a=u,y-a=v,z-a=w，則分式變?yōu)閒告11：二，且由已知有u+t+w=H將11+?+0=0兩邊平方得u+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.由于x,y,z不全相等，所以u,v,w不全為零，所以U2+v2+w2=0,從而有UV十VW+WU 1U2+V2+w22'即所求分式的值為說明從本例中可以看出，換元法可以減少字母個數(shù)，使運(yùn)算過程簡化.例7化簡分式：分析原式中只出現(xiàn)了U和2的形式,］芋-2因此可用換無法.1，a-- 1—ajaa-a+1a2aa-a+1a2-a+1屋-2a+1a-1例B若A=J19聿用,求分式的值.x4-6z3-^2十1呂工十2*的值.t，2-：Sx+15分析直接棒的值代人原式率值，廿算瞥以，可將x=H再適當(dāng)變形，化簡分式后再計(jì)算求值.解送=J19.-彥=J16-2；”4?斗3.=4-A所以型-4=-,，所以(x-4，=3,即x2-8x+13=0.原式分子分x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=X2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10二10,原式分母=(x2-8x+13)+2=2,所以原式二2二3說明本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類型，應(yīng)用得當(dāng)會使問題的求解過程大大簡化.上7 七.3十占一e a~b+c-.一厘十占十丁例9 若 7 ,求e b a.一十毋(一十。@十己的值解法1利用比例的性質(zhì)解決分式問題.(1)若a+b+c=0,由等比定理有a+b-ca-b+：q一社+b+e慰；b a.(a-1-b-c)-l-(a.-b+嶗+(-a+b+目

ab+c所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(a.+b)'(a十?(h+-c) &g.?2b*Sa§abc abt)”⑵若a+b+c=0，則a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有(a.+b)(a+c)(b+c)_(-c)C-a)(-b)_jabc abc?說明比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問題時，靈活巧妙地使用，便于問題的求解.解法2設(shè)參數(shù)法.令a+b-ca-b+c-a+b+c--； =——； = =Ob a則a+b=(k+1)c,①a+c=(k+1)b,②b+c=(k+1)a.③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),所以(a+b+c)(k-1)=0,故有k=1或a+b+c=0.當(dāng)k=1時，(a+h)：也十 +aj2c?2a*2b..abc' abe(a+ +c)jfc+a)_(-城-獷f)_labc abc當(dāng)a+b+c=0時，說明引進(jìn)一個參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用.練習(xí)四.化簡分式：5x2x-57x-10k2+z-6x2-k-12耳口一6玄十0.計(jì)算:談』D3十①+R+2)華十類+(＞十3)(榜十4)十?■■十 0+10口信+1