《2用換元法解可化為一元二次方程的分式方程》案例

《用換元法解可化為一元二次方程的分式方程》教學(xué)設(shè)計【教學(xué)內(nèi)容】上海教育出版社試用本八年級第二學(xué)期第二十一單章第三節(jié)可化為一元二次方程的分式方程（三）——換元法Ⅰ、教案：一、【教學(xué)目標(biāo)】1．使學(xué)生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，會用換元的方法求此類方程的解，并會驗根.2．通過本節(jié)課的，向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法；3．通過本節(jié)的，繼續(xù)向?qū)W生滲透事物是相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義觀點.二、【教學(xué)重點與難點】【教學(xué)重點】能正確、熟練的運用“換元法”解可化為一元二次方程的分式方程．【教學(xué)難點】解分式方程時，學(xué)生不容易理解為什么必須進行檢驗．三、【教學(xué)準(zhǔn)備】查找資料，熟讀教材，準(zhǔn)備小黑板四、【教學(xué)過程】（一）復(fù)習(xí)題問：1.解分式方程的基本方法是去分母，基本步驟是去分母、解整式方程、驗根.2.解分式方程時必須驗根.目的：鞏固舊知。（二）情景導(dǎo)入：到目前為止我們已經(jīng)能比較熟練的解分式方程了，在學(xué)習(xí)中也學(xué)會了運用化歸的思想來思考問題.下面請學(xué)生們思考：?環(huán)節(jié)一：在這里找個學(xué)生上黑板板演，其他學(xué)生下面解決，我全班巡視，注意學(xué)生的解題方法。環(huán)節(jié)二：總結(jié)方法：方法一：去分母——雙二次方程分解因式法換元法方法二：觀察方程本身據(jù)有的特征，兩個分式互為倒數(shù)這一特征，采用先換元，再去分母的方法解決問題。引出課題：（三）新授課：（板書課題）21．3（3）用換元法解可化為一元二次方程的分式方程1、例題分析：例題4.注意：在這里不指定方法，讓學(xué)生自由發(fā)揮，當(dāng)學(xué)生用去分母的方法化為整式方程解決時，發(fā)現(xiàn)此整式方程是.在此教師可以引導(dǎo)：是什么原因使我們的嘗試失敗了呢？下面互相討論分析一下：同樣是分式方程，為什么求解分式方程成功了呢？現(xiàn)在把兩者做一個比較.同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)在求解分式方程時，通過去分母將分式方程恰好轉(zhuǎn)化成一個特殊的高次方程，再通過換元思想或換元方法將高次方程轉(zhuǎn)化為我們能解決的一元二次方程，從而得到原方程的解.而本題去分母后，分式方程轉(zhuǎn)化為一個我們不會解的高次方程，說明在這里直接去分母對求解本方程于事無補！怎么辦呢？我們仔細(xì)觀察一下這個方程，有什么特殊之處？觀察后可以發(fā)現(xiàn)分式與互為倒數(shù)關(guān)系.于是聯(lián)系題目，可通過“換元”把原方程化成較簡單的分式方程.兩邊都乘以2y得到注意：1、在這里要強調(diào)兩（三）次驗根，及為什么要兩（三）次驗根的理由。2、驗根的方法有兩種：一是把求得的根代入原方程的分母，使分母為零的值是增根，應(yīng)舍去；二是代入所乘的最簡公分母，使最簡公分母的值為零的值是增根，應(yīng)舍去.3、換元后的方程應(yīng)該只有一個未知數(shù)，如果出現(xiàn)了兩個未知數(shù)應(yīng)該重新觀察方程的特征，尋找新的方法換元，直到換元后只含有一個未知數(shù)為止.例題5解設(shè)，則原方程變形為.解得當(dāng)時，解得當(dāng)時，解得經(jīng)檢驗，，都是原方程得根所以原方程得根是，2、下面請同學(xué)們小結(jié)規(guī)律，什么時候用換元法解決？要注意哪些問題？1）方程中含未知數(shù)的項是倒數(shù)形式，而且沒有其他含未知數(shù)的項.這樣的分式方程可以用換元法解.另外，當(dāng)一個分式是另一個分式的平方時也可以采用換元法求解。即具有相同的整體或互為倒數(shù)的整體時可以換元.2）在運用換元法求解方程的根時求出y的值以后別忘了代入原方程求x,即回代，檢驗可以象書上一樣分步檢驗，也可以最后直接代入原方程檢驗，但是一定要檢驗.3）換元時要注意先將方程化繁為簡，即換元后不要出現(xiàn)兩個未知數(shù)，然后再去分母，得到一元二次方程，避免出現(xiàn)高次方程，其實質(zhì)還是起到了“降次”的作用.3、下面請同學(xué)們小結(jié)一下：用換元法解分式方程的方法和步驟：1）設(shè)元、換元；2）解換元后的方程（驗根）；3）把換元后方程的解還原成原未知數(shù)的較簡單的分式方程，求方程的根；4）驗根。4、拓展探究：如何解方程解：可設(shè)=y,則=()2-2=y2-2原方程化為6(y2-2)+5y-38=0解之得y1=,y2=當(dāng)y=時，=，3x2+10x+3=0,解之得x1=-3,x2=當(dāng)y=時，=，2x2-5x+2=0,解之得x3=2,x4=經(jīng)檢驗，x1=-3,x2=，x3=2,x4=都是原方程的根。（三）鞏固練習(xí)：1、填空：用換元法解分式方程時，（1）時，可設(shè)y=，原方程可變形為；（2）時，可設(shè)y=，原方程可變形為；（3）時，可設(shè)y=，原方程可變形為；（4）時，可設(shè)y=，原方程可變形為；2、用換元法解下列方程：（1）；；；（4）；（5）；（6）3、已知，求的值（四）課堂小結(jié)：1、這堂課你學(xué)到了什么知識？2、在用換元法解題的時候要注意什么？3、在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，要仔細(xì)觀察題目，注意化歸思想的應(yīng)用.注意：本節(jié)內(nèi)容的小結(jié)應(yīng)從所學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容、所學(xué)知識采用了什么數(shù)學(xué)思想及方法兩方面進行.本節(jié)我們通過類比的方法，在已有的解可化為一元一次方程的分式方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了可化為一元二次方程的分式方程的解法，在具體方程的解法上，適用了“轉(zhuǎn)化”與“換元”的基本數(shù)學(xué)思想與基本數(shù)學(xué)方法.此小結(jié)的目的，使學(xué)生能利用“類比”的方法，使學(xué)過的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生掌握。（五）作業(yè)布置：練習(xí)冊習(xí)題（3）Ⅱ、教案設(shè)計說明：本節(jié)課教材上的引例不容易直接讓學(xué)生想到用換元法解，而且可以有其他方法解，體現(xiàn)不出換元法的優(yōu)勢，所以一上來，我就先讓學(xué)生自己去尋找解題的思路和解題的方法，然后給出例題4，由于學(xué)生用其他方法有障礙，在反思后，就能理解為什么用換元法，也更體現(xiàn)出了換元法的優(yōu)勢。而關(guān)于檢驗，課本的檢驗比較啰嗦，學(xué)生不容易理解，所以可以用最后一次檢驗的方法.由于學(xué)生容易忽視對分式方程的解進行檢驗，所以在教學(xué)中可以通過對分式方程的解進行剖析，使學(xué)生進一步認(rèn)識解分式方程必須進行檢驗的重要性．由于初學(xué)用換元法解分式方程，學(xué)生一般不容易想到直接用換元法解分式方程，所以在教學(xué)中教師不應(yīng)該急著讓學(xué)生推出，而是在后面的問題中，當(dāng)他們遇到障礙的時候，再引導(dǎo)他們重新觀察問題，發(fā)現(xiàn)嘗試新的方法.這樣學(xué)生對所學(xué)知識也更容易掌握.Ⅲ、教學(xué)反思：本節(jié)課我是以課本為基礎(chǔ)，通過讓學(xué)生探究解一道比較簡單的題目出發(fā)引出課題的，其實這道題目解法并不唯一，可以先去分母再換元，也可以去分母后直接分解因時，也可以先換元再去分母，在教學(xué)中學(xué)生對這道題目的解法都可以得出，但是在做例題4時有一部分學(xué)生遇到了問題——先去分母再解題根本做不出來了，這時候就想到了能不能用換元的方法解決此問題，但在換元的時候有的學(xué)生又遇到了一個問題——換元后出現(xiàn)了兩個未知數(shù)了，這個時候教師就該發(fā)揮自己的主導(dǎo)作用了，讓學(xué)生明白換元的時候應(yīng)該滿足怎樣的特征的分式方程可以換元，換元的時候應(yīng)該注意哪些問題等等.另外，作為教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的知識，指導(dǎo)學(xué)生把所要學(xué)的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識，體會數(shù)學(xué)中的化歸思想。進而激發(fā)他們熱愛數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，為他們的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。而且我認(rèn)為教師在設(shè)計教學(xué)時，要以課程標(biāo)準(zhǔn)為指導(dǎo)，以教材為依據(jù)，但