高中物理-曲線運動

一.曲線運動知識點概述1.曲線運動：物體的軌跡是一條曲線，物體所作的運動就是曲線運動。

作曲線運動物體的速度方向就是曲線那一點的切線方向，而曲線上各點的切線方向不同，也就是運動物體的速度在不斷地改變，所以作曲線運動的物體速度是變化的，物體作變速運動。運動物體的軌跡是它在平面坐標系中的運動0c80f9e

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圖像，與作直線運動物體的位移與時間圖像是有著本質(zhì)的不同，前者是運動的軌跡，后者是其位移隨時間變化的規(guī)律；前者各點的切線方向是運動物體的速度方向，切線的斜率是運動物體的速度方向與某一方向的夾角的正切，后者各點的切線的斜率是運動物體的速度大小，但它只反映作直線運動物體的速度情況，而不能反映作曲線運動的速度情況。

物體作曲線運動的條件：物體所受的合外力與物體的速度不在一條直線上（也就是合外力沿與速度垂直的方向上有分量，該分量時刻在改變著運動物體的速度方向）0c80f9e

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2.運動的合成與分解：運動的合成與分解就是矢量的合成與分解，它涉及運動學中的位移、速度、加速度三個矢量的合成與分解。

兩個互相垂直方向上的直線運動合成后可能是直線運動，也可能是曲線運動，反過來，兩個方向的直線運動合成后可能是曲線，這就提供了研究曲線運動的途徑——將曲線運動轉(zhuǎn)化為直線運動進行研究。

運動的獨立作用原理：如同力的獨立作用原理一樣，運動的合成與分解也是建立在各個方向分運0c80f9e

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動獨立的基礎(chǔ)上。

3.研究曲線運動的方法：利用速度、位移、加速度和力這些物理量的矢量性，進行合成與分解。

（1）在恒力的作用下的曲線運動：這種運動是勻速運動。一般將運動物體的初速度沿著力的方向和與力垂直的方向上分解，在沿力的方向上物體作勻變速直線運動，在與力垂直的方向上物體作勻速直線運動。

若所求方向與速度和力均不在一條直線上，將速度和力均沿求解問題的方向和與求解問題垂直0c80f9e

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的方向進行分解。

（2）在變力作用下的曲線運動：這種運動是非勻變速運動。一般將物體受到的力沿運動方向和與運動垂直的方向分解。與運動方向一致的力改變速度的大小，與運動方向垂直的力改變運動的方向。生活中的曲線運動舉例子彈射出槍膛,離弦的箭，拋鉛球，投籃，過河的船等等都屬于曲線運動。0c80f9e

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二.平拋物體的運動知識點概述1.平拋運動的特點：（1）物體作平拋運動受力特點：它在空中僅受重力作用，重力是恒力，物體只具有重力加速度。

（2）物體作平拋運動的運動特點：物體的初速度水平，與重力垂直，在水平方向不受外力，物體作勻速直線運動，豎直方向作自由落體運動。平拋運動是勻變速曲線運動。0c80f9e

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2.平拋運動的規(guī)律：作平拋運動的物體在水平方向上速度不變，在豎直方向上的加速度為重力加速度，以拋出點為原點，以初速度的方向為

x

軸正方向，以豎直向下為

y

軸正方向。

（1）位移關(guān)系：水平位移

x=v0t豎直位移

y=gt2②位移

s=③位移

s

與水平夾角為α

，tanα

==④0c80f9e

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（2）速度關(guān)系：水平速度

vx=v0t⑤豎直速度

vy=gt⑥速度

v=√vx2+vy2⑦速度

v

與水平夾角θ

，tanθ

===2tanα

⑧（3）平拋運動的軌跡方程：由②兩式消去時間

t

得

y=*x2平拋運動中在任何Δ

t

時間內(nèi)速度的改變量Δv=gΔ

t，其方向總是向下的。在平拋運動中，當前面無障礙時，物體飛行時間僅決定于飛行高度，一0c80f9e

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般情況下，當物體離地面高度

h

為已知時，物體飛行時間為

t=。

擴展

作平拋運動的物體，其平拋運動中的水平距離與拋出時的初速度有關(guān)，當運動物體的速度改變，其運動過程中的水平距離也將發(fā)生變化；當作平拋運動的物體與其運動的物體相遇時，往往是利用它們的位置相同時的位移關(guān)系求解；當作平拋運動的物體的速度方向一旦確定，也就可以確定其運動的時間或位移，主要類型如下：0c80f9e

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1.一個物體作平拋運動，當它的受力情況發(fā)生了變化，則運動狀態(tài)也發(fā)生了變化，當物體是由兩段不同的運動形式所構(gòu)成，那么前階段的速度就是后階段的初速度，作平拋運動的末速度就是后階段其他運動的初速度。

2.作平拋運動的物體，它軌跡由初速度和阻礙物（離地面的高度、斜面、墻壁、排球網(wǎng)??）所決定，反過來，阻礙物也導致了作平拋運動的物體具有臨界狀態(tài)。3.相遇問題與相遇兩個物體的運動情況有關(guān)，0c80f9e

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扣住相遇物體的位置相同是基本點，位移與相對距離的關(guān)系，可從分運動的角度考慮，也可以從合運動的角度考慮。

4.研究平拋運動時，并不都是從水平和豎直兩個方向進行研究，所以，在曲線運動的研究方法中，就注意到沿所求解物理量的方向與該方向垂直的兩個方向進行分解才是分解的唯一原則。生活中的平拋運動舉例

擺球在豎直平面內(nèi)繞懸點擺動，擺到最低點時繩突然斷裂，此后擺球所做的運動；雨傘繞豎直軸0c80f9e

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轉(zhuǎn)動，傘邊緣的水滴甩出后所做的運動（不計空氣阻力）從槍口射出的子彈，從飛機上拋下的物體等。

實例分析一

1945

年

8

月

6

日，美國轟炸機向廣島投下代號為

Boy

的原子彈，原子彈是核武器之一，是利用核反應(yīng)的光熱輻射、沖擊波和感生放射性造成殺傷和破壞作用，以及造成大面積放射性污染，阻止對方軍事行動以達到戰(zhàn)略目的的大殺傷力武器。

在日本戰(zhàn)敗已成定局的前提下，沒過仍然于

8月

6

日、9

日先后在日本的廣島和長崎投下了僅有0c80f9e

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的兩顆原子彈。并通過精密的計算，精準打擊了目標。

事后，我們不僅僅為原子彈的威力感到震驚，同時也贊嘆于其精準的打擊能力，通過對飛機投放出的原子彈所行進的軌跡，我們不難看出，它是一個平拋運動，原子彈在出倉時，在水平方向上擁有一個初速度，并且在出倉后水平方向無外力作用，在豎直方向上，原子彈出倉時初速度為零，并且在出倉后只受重力作用，是原子彈在豎直方向上作著自由落體運動，最終精準打擊目標。0c80f9e

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實例分析二

下雨天，然們?yōu)榱吮苊獍?，都要打著傘出門，在到達目的地后，我們經(jīng)常會看見大部分人會把傘撐起然后進行轉(zhuǎn)動，落在上面的雨滴就從傘的邊緣被甩出，而雨傘也很快就會變干，細心的人們就會發(fā)現(xiàn)，其實雨滴被甩出之后，雨滴所做的運動就是一個類平拋運動。

我們可以將這個類平拋運動做的理想化一些，一個平整的沒有弧度的雨傘表面，水平放置，我們轉(zhuǎn)動傘柄，慢慢會發(fā)現(xiàn)落在傘面的雨滴受到離心力0c80f9e

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作用會慢慢的跑向雨傘邊緣，最終沿著雨傘邊緣的切線方向被甩出，甩出時雨傘獲得了圓周運動時所具有的初速度，并在甩出后水平方向沒有外力的干饒，豎直方向，甩出后，雨滴只受重力作用，做自由落體運動，其運動軌跡就是一個平拋運動的拋物線軌跡。三.圓周運動知識點概述1.圓周運動：質(zhì)點的運動軌跡是圓周的運動。2.勻速圓周運動：質(zhì)點的軌跡是圓周，在相等0c80f9e

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的時間內(nèi)，通過的弧長相等，質(zhì)點所作的運動是勻速率圓周運動。

3.描述勻速圓周運動的物理量

（1）周期（T）：質(zhì)點完成一次圓周運動所用的時間為周期。頻率（f）：1s

鐘完成圓周運動的次數(shù)。f=

（2）線速度（v）：線速度就是瞬間速度。做勻速圓周運動的質(zhì)點，其線速度的大小不變，方向卻時刻改變，勻速圓周運動是一個變速運動。由瞬時速度的定義式

v=,當Δ

t

趨近于

0

時，0c80f9e

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Δ

s

與所對應(yīng)的弧長（Δ

l）基本重合，所以

v=，在勻速圓周運動中，由于相等的時間內(nèi)通過的弧長相等，那么很小一段的弧長與通過這段弧長所用時間的比值是相等的，所以，其線速度大小

v=（其中

R

是運動物體的軌道半徑，T

為周期）

（3）角速度（ω

）：作勻速圓周運動的質(zhì)點與圓心的連線所掃過的角度與所用時間的比值。ω==，由此式可知勻速圓周運動是角速度不變的運動。4.豎直面內(nèi)的圓周運動（非勻速圓周運動）0c80f9e

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（1）輕繩的一端固定，另一端連著一個小球（活小物塊），小球在豎直面內(nèi)作圓周運動，或者是一個豎直的圓形軌跡，一個小球（或小物塊）在其內(nèi)壁上作豎直面的圓周運動，然后進行計算分析，結(jié)論如下：

小球若在圓周上，且速度為零，只能是在水平直徑兩個端點以下部分的各點，小球要到達豎直圓周水平直徑以上各點，則其速度至少要滿足重力指向圓心的分量提供向心力②小球在豎直圓周的最低點沿圓周向上運動0c80f9e

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的過程中，速度不斷減?。ㄖ亓ρ剡\動方向的分量與速度方向是相反的，使小球的速度減小），而小球要到達最高點，則必須在最低點具有足夠大的速度才能到達最高點，否則小球就會在圓周上的某一點（這一點一定在水平直徑以上）繩子的拉力為零時，小球就脫離圓周軌道。

（2）物體在桿或圓管的環(huán)形軌道上作豎直面內(nèi)圓周運動，雖然物體從最低點沿圓周向最高點運動的過程中，速度越來越小，由于物體可以受到桿的拉力和壓力（或圓管對它的向內(nèi)或向外的作用力），所以，物體在圓周上的任意一點的速度均可為零。0c80f9e

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（3）物體在豎直的圓周的外壁運動，此種運動的關(guān)鍵是要區(qū)別做圓周運動和平拋運動的條件，它們的臨界狀態(tài)是物體的重力沿半徑的分量提供向心力，此時，軌道對物體沒有作用力，但物體又在軌道上，該點是物體在圓周上的臨界點。若物體在最高點時，mg=,v0=,當

v­≥v0，物體在最高點處將作平拋運動，當

v＜v­0，物體將沿圓周軌道下滑（下滑到一定位置還是要離開軌道）擴展

豎直面內(nèi)的圓周運動，只要求討論分析最高點和最低點的情況，由于最高點的相信加速度豎直向0c80f9e

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下，質(zhì)點總是處于失重狀態(tài)；最低點的向心加速度豎直向上，質(zhì)點總是處于超重狀態(tài)，從這個角度來理解豎直面內(nèi)做圓周運動的質(zhì)點受力情況比較直觀。

質(zhì)點在圓軌道外圓時，最高點處是作平拋運動還是圓周運動，質(zhì)點與軌道之間的作用力為零對應(yīng)的速度是臨界速度，這個臨界速度就是在圓周上的向心加速度等于重力加速度，質(zhì)點的速度小于這個速度，受軌道的支持力，大于這個速度，質(zhì)點作平拋運動。0c80f9e

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生活中的圓周運動舉例詳見第五小節(jié)——生活中的圓周運動四.向心力、向心加速度知識點概述1.向心力（Fn）：改變速度方向所需要的外力。

向心力是根據(jù)力的作用效果命名的。向心力可能是彈力、摩擦力或重力提供，也可能是幾個力的合力，還可能是某個力的分力提供。勻速圓周運動的速率不變，而速度方向時刻在0c80f9e

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變化，只改變速度方向的力叫做向心力。

向心力最顯著的特點是與速度方向垂直，只改變速度方向，不改變速度大小。

作勻速圓周運動的物體，由于速度大小不變，速度方向不斷改變，合力一定與速度方向垂直，且合力指向軌跡彎曲一側(cè)，正好指向圓心，所以，將改變速度方向的力稱為向心力。

作勻速圓周運動的質(zhì)點，合外力提供向心力；作非勻速圓周運動的物體來講，一般將其所受的力沿著運動方向和與運動垂直的方向進行分解：沿運0c80f9e

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動方向的力（稱為切向力）是改變速度大??；沿與運動方向垂直的力（稱為法向力）是改變速度的方向。

2.向心加速度（an）：向心加速度是由向心力所產(chǎn)生的加速度。源于向心力只改變質(zhì)點的速度方向，而不改變速度大小，且其方向始終指向軌跡的圓心，由加速度與外力的關(guān)系可知向心加速度也是與速度垂直，只改變速度方向，且指向圓心，作勻速圓周運動的質(zhì)點，速度大小不變，質(zhì)點只具有向心加速度。0c80f9e

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經(jīng)分析推導過程可知向心加速度是瞬時加速度，不是平均加速度。公式

a=是平均加速度，在勻變速直線運動中加速度是不變的，所以平均加速度與加速度的瞬時值相等。

在勻速圓周運動中，ω

===2π

fan==ω

2R=vω

，這一組公式對非勻速圓周運動也適用an=R=4π

2f2R，這一組公式只適用于勻速圓周運動。擴展0c80f9e

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向心力與速度方向垂直，它改變速度方向不改變速度大小。在研究物體作曲線運動時，所采用的途徑一般情況下是將物體受的力沿速度方向與速度處置的方向分解，沿速度方向的力一般稱為切向力，它改變速度的大小，垂直方向的力一般稱為法向力，它改變速度方向，只要是改變速度方向的力都是向心力，所有做曲線運動的物體需要向心力。

向心力的速度是瞬時改變的，所有的錢運動，在每一點都有一個圓心，只有圓周上的各點圓心都重合，而其他曲線各點的圓心沒有重合而已，學習向心力和向心加速度后，物體作平拋運動，其軌跡0c80f9e

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上的各點所對應(yīng)的半徑可求，相應(yīng)的圓心也可以求出來，這是用物理方法求半徑和圓心。

生活中的應(yīng)用

案例分析一

內(nèi)病人做尿檢查時，化驗員將尿放入試管，并將試管放在一個高速旋轉(zhuǎn)的器材中，經(jīng)過一段時間后，將試管取出來，發(fā)現(xiàn)問題尿的雜質(zhì)都會沉淀到試管底部，這是為什么呢？試管高速旋轉(zhuǎn)后，尿中的雜質(zhì)能很快地沉淀到0c80f9e

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試管的底部，選取尿中雜質(zhì)微粒，將雜質(zhì)微粒換成相同體積的尿來代替，顯然，試管高速旋轉(zhuǎn)時尿微粒是不會作離心運動的，而是相對試管靜止，這是周圍的尿?qū)@尿微粒的合力剛好提供尿微粒作圓周運動的向心力，將尿微粒換回雜質(zhì)微粒后作勻速圓周運動，由于雜質(zhì)的質(zhì)量比尿大，由公式

F=mrω

2

可知，在半徑和角速度相同的情況下，向心力與質(zhì)量成正比，所以，合外力不足以提供雜質(zhì)所需要的向心力，雜質(zhì)做遠離圓心的運動而沉到試管底部。案例分析二0c80f9e

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摩托車越野比賽時，經(jīng)常看到摩托車在轉(zhuǎn)彎處出現(xiàn)翻車現(xiàn)象，這種現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？怎么樣回避這種事故的發(fā)生？

摩托車轉(zhuǎn)彎處速度過大，半徑過小，由向心力公式

F=m

可知所需的向心力很大，這是摩托車受到地面的摩擦力達到最大時都不足以提供向心力，摩托車要作遠離圓心的運動，向外翻滾。這就說明摩托車在轉(zhuǎn)彎時，速度要小，半徑要大，才能保證不出現(xiàn)交通事故，實際上所有的交通工具在轉(zhuǎn)彎時速度都不大，超過轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度都有出現(xiàn)交通事故的可能性。0c80f9e

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案例分析三

平時我們換洗下來的衣物，在線、清洗之后會放入甩干桶，甩過之后的衣物就很容易晾曬干，這是為什么呢？

當甩干桶得比較慢時，水滴跟物體的附著力

F足以提供所需的向心力

F

使水滴做圓周運動。當甩干桶得比較快時，附著力

F

不足以提供所需的向心力

F，于是水滴做離心運動，穿過桶孔，飛到甩干桶外面。案例分析四0c80f9e

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在我們經(jīng)?？吹结t(yī)生用離心機把體溫計的水銀柱甩回玻璃泡內(nèi)，這是如何做到的呢？

當離心機轉(zhuǎn)得比較慢時，縮口的阻力

F

足以提供所需的向心力，縮口上方的水銀柱做圓周運動。當離心機轉(zhuǎn)得相當快時，阻力

F

不足以提供所需的向心力，水銀柱做離心運動而進入玻璃泡內(nèi)。案例分析五制作“棉花”糖的原理內(nèi)筒與洗衣機的脫水筒相似，里面加入白砂0c80f9e

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糖，加熱使糖熔化成糖汁。內(nèi)筒高速旋轉(zhuǎn)，黏稠的糖汁就做離心運動，從內(nèi)筒壁的小孔飛散出去，成為絲狀到達溫度較低的外筒，并迅速冷卻凝固，變得纖細雪白，像一團團棉花。

五.生活中的圓周運動實例分析一

火車是目前長距離運輸中重要的交通工具，近年來建設(shè)鐵路新干線較多，鐵軌是比較平直的，在轉(zhuǎn)彎處，火車只有依靠與它接觸的鐵軌提供向心力。工字形鐵軌固定在水泥基礎(chǔ)上，火車的兩輪都0c80f9e

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有輪緣，突出的輪緣一般起定位作用，若是平直的軌道轉(zhuǎn)彎，只有依靠軌道與輪緣間側(cè)向彈力使火車轉(zhuǎn)彎，由于火車速度大，質(zhì)量也大，所需要的向心力很大，所以，輪緣與鐵軌間的彈性大形變量也大，從而使鐵軌容易受到損壞，使火車轉(zhuǎn)彎時的向心力不是由輪緣和軌道間側(cè)向彈力提供，而是由車輪與軌道間正向彈力提供，車輪與軌道間的正向接觸面積大，對軌道的影響小，有什么辦法可以達到此目的呢？

在牛頓運動定律中，放在光滑斜面上的物體，當斜面以一定加速度作水平運動時，物體可以相對0c80f9e

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斜面靜止，這時斜面的彈力與物體的重力的合力沿水平方向提供加速運動所需要的力（也可以認為斜面的彈力在豎直方向分量與物體的重力平衡，水平方向分量提供物體作加速度所需要的力）從這個例子中，我們能得到的啟示是火車轉(zhuǎn)彎時將軌道平面傾斜。在設(shè)計轉(zhuǎn)彎的軌道時，若將外軌墊高些，使軌道平面與水平面有一夾角α

，正向壓力垂直于軌道平面，要使正向壓力在豎直方向分量與重力平衡，水平方向分量提供向心力，則mgtanα

=mv0=0c80f9e

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火車以速度

v0=行駛時，火車的車輪的輪緣與鐵軌的側(cè)向無壓力。

火車轉(zhuǎn)彎時，當火車的速度

v＞v0

時，即重力和軌道的支持力的合力不足以提供向心力，需要外軌對外輪的輪緣一個向內(nèi)的側(cè)壓力，補充不充足的向心力；當火車速度

v0＜v

時，重力和軌道的支持力的合力大于向心力，需要內(nèi)軌對內(nèi)輪的輪緣一個向外的側(cè)壓力，與多余的部分分力平衡。實例分析二汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時依靠靜摩擦力提供0c80f9e

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向心力，在高速公路上，由于汽車的速度比較大，僅靠靜摩擦力提供向心力是不行的，所以，在轉(zhuǎn)彎處的路面都是傾斜的（傾角α

），若汽車依靠重力和路面支持力的合力提供向心力，就對應(yīng)的速度如火車轉(zhuǎn)彎是一樣的，對應(yīng)原速度

v0=。當汽車的速度

v0≠，路面再施加靜摩擦力來作補充。案例分析三

在雜技表演中，我們曾看見演員用一致小桶裝上水，然后用一根長約

1

米的繩子拴住小桶，使小0c80f9e

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桶在豎直面內(nèi)作圓周運動，桶中的水并沒有流出，這是什么原因使桶中的水運動到最高點時，水不留出呢？若小桶不能到達圓周的最高點，而是在圓周上的某一點離開圓周，水會不會流出呢？

當小桶在最高點時，水受到重力提供向心力，水是不會流出的，繩子的拉力為零后，桶和水一起作拋體運動，它們的速度一樣，加速度一樣，他們相對靜止，水不會流出桶外，雜技演員只要把桶拋出，水就不會離開桶，我們平時將水潑出，若是將盛水的容器和水一起拋出，水在空中不會離開容器。同理，桶在最高點是靜止的，當桶倒置時，水0c80f9e

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會流出，當水與桶一起倒置時運動到最高點，重力提供加速度，它們是相對靜止的且無相無相互作用。

案例分析四

汽車過橋問題

（1）汽