第4章 線性系統(tǒng)的根軌跡法

1自動控制原理蘭州理工大學(xué)技術(shù)工程學(xué)院

自動化教研室第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

4.1根軌跡法的基本概念4.2根軌跡繪制的基本法則4,3廣義根軌跡4.4系統(tǒng)性能分析4.5控制系統(tǒng)復(fù)域設(shè)計4-1根軌跡的基本概念根軌跡法：在已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，研究某個或某些參數(shù)變化對系統(tǒng)閉環(huán)特征根分布的影響的一種圖解方法。特點(diǎn)：

是一種圖解方法；

利用開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)確定閉環(huán)極點(diǎn)。1.開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)及根軌跡增益開環(huán)傳函控制系統(tǒng)方框圖一般為：K為系統(tǒng)的開環(huán)增益k為系統(tǒng)開環(huán)根跡增益2.閉環(huán)根與開環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系

閉環(huán)特征方程為：整理，得也即,n≥m所以：

閉環(huán)特征方程=開環(huán)傳函分母+開環(huán)傳函分子=0上式的解就是閉環(huán)根，閉環(huán)根也叫閉環(huán)極點(diǎn)。3.根軌跡繪制舉例（解析法）例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，分析

l隨開環(huán)增益K變化的趨勢。

解.

K:開環(huán)增益K*:根軌跡增益根軌跡與系統(tǒng)性能

根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性

考察根軌跡是否進(jìn)入右半s平面。穩(wěn)態(tài)性能

開環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個極點(diǎn)，系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許位置。

動態(tài)性能

由K值變化所對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布來估計。根軌跡法的任務(wù)：由已知的開環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點(diǎn)。由閉環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)求出相應(yīng)的根，就可以在s平面上繪制出根軌跡。根軌跡方程根軌跡方程根軌跡方程可以進(jìn)一步表示為相角條件（幅角條件）：（充分必要條件）模值條件（幅值條件）：

由開環(huán)零、極點(diǎn)指向軌跡點(diǎn)的向量的方位角。例2判定si是否為根軌跡上的點(diǎn)。模值條件解.相角條件4-2根軌跡繪制的基本法則常規(guī)根軌跡：可變參數(shù)為根軌跡增益相角條件：180o根軌跡規(guī)則1：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。又從簡要證明：在實(shí)際系統(tǒng)通常是，因此有條根軌跡終止于s平面的無窮遠(yuǎn)處，這意味著在無窮遠(yuǎn)處有

個無限遠(yuǎn)（無窮）零點(diǎn)。有兩個無窮遠(yuǎn)處的終點(diǎn)有一個無窮遠(yuǎn)處的起點(diǎn)規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n相等（n>m）或與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m相等（n<m)根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導(dǎo)致特征根也連續(xù)變化。實(shí)軸對稱：特征方程的系數(shù)為實(shí)數(shù)，特征根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。規(guī)則3：實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)+開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為奇數(shù)。這個結(jié)論可以用相角條件證明。由相角條件jωσ

×

×

×

×

規(guī)則4：根軌跡漸近線當(dāng)n>m時，則有（n-m)條根軌跡分支終止于無限零點(diǎn)。這些根軌跡分支趨向無窮遠(yuǎn)的漸近線由與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)來確定。與實(shí)軸夾角與實(shí)軸交點(diǎn)22例1設(shè)單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為（2）有4條根軌跡的分支，對稱于實(shí)軸（1）（3）有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線與實(shí)軸夾角與實(shí)軸交點(diǎn)規(guī)則5：根軌跡分離點(diǎn)和會合點(diǎn)兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。分離點(diǎn)的坐標(biāo)d由下列方程所決定：0j分離角為：0jj0系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

根軌跡若有分離點(diǎn)，表明閉環(huán)特征方程有重根，重根條件為

兩式相除得簡單證明：解（1）開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)根軌跡分支數(shù)為3條，有兩個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。例2繪制圖示系統(tǒng)大致的根軌跡代入得（2）實(shí)軸上根軌跡（4）分離點(diǎn)（用試探法求解）（3）趨向無窮遠(yuǎn)處的漸近線的夾角與交點(diǎn)規(guī)則6：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）起始角（出射角）：根軌跡離開復(fù)平面上開環(huán)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸的夾角。終止角（入射角）：根軌跡進(jìn)入復(fù)平面上開環(huán)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸的夾角。例

求起始角33.5o63.5o135o90o例已知，試求出射角。解：§4.2繪制根軌跡的基本法則法則7

與虛軸交點(diǎn)：解法I：1）系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)2）s=jw是根的點(diǎn)解法II：穩(wěn)定范圍：0<K<3§4.2繪制根軌跡的基本法則法則8

根之和：證明：

n-m≥2時，閉環(huán)根之和保持一個常值。由代數(shù)定理：n-m≥2時,一部分根左移,另一部分根必右移,且移動總量為零。結(jié)論：若n-m2閉環(huán)極點(diǎn)之和=開環(huán)極點(diǎn)之和=常數(shù)表明：在某些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）向左移動，而另一些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）必須向右移動，才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。畫出開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖

2.根軌跡有四條分支。3.根軌跡對稱實(shí)軸。例某負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解:-1分離點(diǎn)，試?yán)L制根軌跡圖。484-4=0得=121

=121-j11.24.實(shí)軸上沒有根軌跡分布。j11.2

=1215.漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)。6.分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。開環(huán)穩(wěn)定≠閉環(huán)穩(wěn)定負(fù)反饋未必一定能改善系統(tǒng)性能說明：4-3廣義根軌跡廣義根軌跡是指根軌跡參數(shù)除了開環(huán)增益之外的所有根軌跡。參數(shù)根軌跡以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念等效開環(huán)傳遞函數(shù)例1：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。解：閉環(huán)特征方程要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)附加開環(huán)零點(diǎn)的作用1.附加適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

為附加的開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)，其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇，當(dāng)

時，表明不存在有限零點(diǎn)。令為不同的數(shù)值，對應(yīng)的根軌跡見P.164圖4-22所示：（a）無開環(huán)零點(diǎn)；（b）；（c）（d）2.附加開環(huán)零點(diǎn)的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。結(jié)論：只有當(dāng)附加零點(diǎn)相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的位置選配適當(dāng)，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。零度根軌跡一些復(fù)雜系統(tǒng)中，包含了正反饋內(nèi)回路，有時為了分析內(nèi)回路的特性，則有必要繪制相應(yīng)的根軌跡，其相角條件為具有這類相角條件的相軌跡稱為：零度根軌跡規(guī)則4：漸近線與實(shí)軸夾角與實(shí)軸交點(diǎn)規(guī)則3：實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)+開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為偶數(shù)。規(guī)則6：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）起始角（出射角）：終止角（入射角）：P.166表4-3列出了零度根軌跡繪制法則例3設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別為試?yán)L制該回路的根軌跡圖。（1）系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布為有三條根軌跡分支，實(shí)軸上的根軌跡（-，-3]，[-2，）。（2）根軌跡的漸近線（n-m)=2條，漸近線夾角（3）確定出射角（4）確定分離點(diǎn)（5）確定臨界開環(huán)增益，顯然根軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)對應(yīng)的開環(huán)增益為非最小相位系統(tǒng)的根軌跡在非最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母多項(xiàng)式中，最高次項(xiàng)系數(shù)為正：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)為：時，（>0），按負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡的法則繪制根軌跡。（2）開環(huán)傳遞函數(shù)為：時，（>0），按正反饋系統(tǒng)根軌跡的法則繪制根軌跡4-4系統(tǒng)性能的影響一、增加零點(diǎn)對根軌跡的影響二、閉環(huán)零、極點(diǎn)對系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響極點(diǎn)的分布決定了瞬態(tài)響應(yīng)的類型。

零、極點(diǎn)的分布決定了瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀及指標(biāo)。要求系統(tǒng)快速性好

要求平穩(wěn)性好，則共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)應(yīng)位于等ζ線與復(fù)實(shí)軸夾角45°線附近。3.主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子主導(dǎo)極點(diǎn)

偶極子：一對靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)4.不能忽略的閉環(huán)零點(diǎn)對瞬態(tài)響應(yīng)的影響?？墒瓜到y(tǒng)響應(yīng)速度加快，超調(diào)量增大，5.不能忽略的閉環(huán)極點(diǎn)對瞬態(tài)響應(yīng)的影響?？墒瓜到y(tǒng)響應(yīng)速度減慢，超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間加長