數(shù)值分析18(數(shù)值微分)

導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值求導(dǎo)的外推方法《數(shù)值分析》19*重溫微積分微分(Differentiation)積分(Integration)

微分與積分構(gòu)成了一對(duì)互逆的運(yùn)算IntegralsasSumsandDerivativesasDifference凡線面體皆設(shè)為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。其全積即積分也*重溫微積分微積分中蘊(yùn)含的對(duì)立統(tǒng)一思想*IntegralsasSumsandDerivativesasDifference

x

x1

x2··········xmyy1

y2··········ym如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)(微分)或者梯度?函數(shù)復(fù)雜或僅僅給定離散的觀察數(shù)據(jù)(函數(shù)值)？*回顧1導(dǎo)數(shù)的概念是精確刻畫函數(shù)在一點(diǎn)及其附近的局部變化率的有力工具。*一階前向差分公式*回顧2

介值定理(IntermediateValueTheorem)*回顧2

一般介值定理(IntermediateValueTheorem)*一階導(dǎo)數(shù)中心差分公式二階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)近似*例1.取h=0.1,分別用前向差分公式和中心差分公式近似f(x)=1/x在x=2處的導(dǎo)數(shù)。*舍入誤差到目前為止,所有公式都破壞了不要進(jìn)行相近數(shù)相減的規(guī)則。這對(duì)于數(shù)值微分是一個(gè)極大的困難,但是它在本質(zhì)上式不可能避免的。例2.求f(x)=ex

在x=0處導(dǎo)數(shù)的近似。

h

前向差分誤差中心差分誤差*例3.基于中心差分公式的研究更高階近似公式*松弛思想目標(biāo)值Q有兩個(gè)精度相當(dāng)?shù)慕浦礔1和F2,如果將這兩個(gè)近似值加工成更高精度的結(jié)果呢?改善精度的一種簡(jiǎn)便而有效的辦法是,取兩者的某種加權(quán)平均值作為改進(jìn)值,即令適當(dāng)選取平均化系數(shù)調(diào)整校正量以將F1加工成某個(gè)更高精度結(jié)果。這種基于校正量的調(diào)整或松動(dòng)的方法稱之為松弛方法。**例4.推導(dǎo)中心差分公式的Richardson外推公式*是否可以進(jìn)一步地外推?例5.用Richardson外推公式計(jì)算f(x)=x2e-x在x=0.5的導(dǎo)數(shù)。*1.n階差分,diff(X,N,DIM)X=[375;092],diff(X,1,1),diff(X,1,2)Matlab微分I=imread('lena_color_512.tif');imshow(diff(I),[])2.符號(hào)微分diffsymsx;f=(sin((x^tan(x))*cosh(x)))^3;f1=diff(f,1)*3.gradient[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);z=x.*exp(-x.^2-y.^2);[px,py]=gradient(z,.2,.2);contour(z),holdon,quiver(px,py),holdoffMatlab微分*應(yīng)用1

SharpeningIntegralsasSumsandDerivativesasDifference參考文獻(xiàn):GradientShop:Gradient-DomainImageandVideoProcessing*應(yīng)用2PseudoimagerelightingIntegralsasSumsandDerivativesasDifference*應(yīng)用3ColorizationIntegralsasSumsandDerivativesasDifference*Poisson方程:令

h=1/(n+1),xi=ih(i

=0,1,···,n+1)記

ui=u(xi),(i

=0,1,···,n+1)迭代計(jì)算格式:差分格式:*三次樣條插值函數(shù)滿足的連續(xù)條件:

(1)

S(xj–)=S(xj+)(j=1,···,n-1)連續(xù)

(2)

S'

(xj–)=

S'(xj+)(j=1,···,n-1)導(dǎo)數(shù)連續(xù)