數(shù)學(xué)建模競賽講座解法歸納

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)講座2013

年

9

月

1

日數(shù)學(xué)建模競賽解法歸納主要內(nèi)容1.賽題的發(fā)展趨勢2.歷年賽題解法歸納3.常用的數(shù)學(xué)軟件4.強調(diào)幾個問題一、賽題的發(fā)展趨勢數(shù)學(xué)建模競賽的規(guī)模越來越大，競賽的水平不斷地提高。競賽水平的提高主要體現(xiàn)在賽題水平的提高，而賽題的水平主要體現(xiàn)在：1.賽題的綜合性、實用性、即時性、創(chuàng)新性均有增強，特別是給參賽者留有很大的發(fā)揮創(chuàng)造的想象空間。2.賽題的開放性增大，主要表現(xiàn)在模型假設(shè)和數(shù)據(jù)的搜素與處理上。3.解法呈現(xiàn)多樣性，一道賽題可用多種解法，解法的創(chuàng)造性、靈活性也增強。4.對選手的計算機能力要求越來越高，主要表現(xiàn)在：

賽題向大規(guī)模數(shù)據(jù)處理方向發(fā)展，賽題的解決依賴計算機，手工計算不可能完成；

問題的數(shù)據(jù)讀取需要計算機技術(shù)，如大數(shù)據(jù)、圖象數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)等；

某些問題的求解必須使用計算機軟件。5.可以采用各類現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法和算法

盡管組委會在命題的指導(dǎo)思想中指出：不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識，只需要學(xué)過普通高校的數(shù)學(xué)課程，但各學(xué)校數(shù)學(xué)課程的門數(shù)、內(nèi)容、要求有較大差異，許多學(xué)校開設(shè)了近代數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)與計算機交叉的相關(guān)課程；

自主學(xué)習能力的培養(yǎng)，已經(jīng)提到高等教育的日程上來。6.不僅解決方法不唯一，結(jié)果也不唯一。7.近些年，國際上數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢出現(xiàn)了離散數(shù)學(xué)的作用不斷擴大、對非線性問題的關(guān)注不斷增長、概率統(tǒng)計的應(yīng)用不斷增強、大規(guī)?？茖W(xué)計算進一步發(fā)展等。這些都反映到了數(shù)學(xué)建模的賽題中。二、歷年賽題解法歸納

模型的主要類型：

初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、統(tǒng)計預(yù)測模型、優(yōu)化模型、圖論模型、決策模型、評價模型等。幾類常見建模目的：

(1)描述或解釋現(xiàn)實世界的各類現(xiàn)象：常采用機理分析的方法，探索研究對象的內(nèi)在規(guī)律性；(2)預(yù)測感興趣的事件是否會發(fā)生，或者事物的發(fā)展趨勢：常采用數(shù)理統(tǒng)計或模擬方法；(3)優(yōu)化管理、決策或者控制事物：需合理地定義可量化的評價指標及評價方法。下面是歷年(1998～2010)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中，本科賽題的模型與算法比較。常用數(shù)學(xué)建模方法簡介1.機理分析法：從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出模型。(1)

比例分析法---建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。(2)

代數(shù)方法---求解離散問題(離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形)的主要方法。(3)

邏輯方法---是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，對社會學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域的實際問題，在決策，對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。(4)

常微分方程---解決兩個變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立“瞬時變化率”的表達式。(5)

偏微分方程---解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。2.數(shù)據(jù)分析法：從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學(xué)模型。(1)

回歸分析法---用于對函數(shù)f

(x)的一組觀測值(xi,

fi),i=1,2,…,

n，確定函數(shù)的表達式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。(2)

時序分析法---處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。3.仿真和其他方法(1)

計算機仿真(模擬)---實質(zhì)上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。①

離散系統(tǒng)仿真---有一組狀態(tài)變量②

連續(xù)系統(tǒng)仿真---有解析表達式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(2)

因子試驗法---在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據(jù)試驗結(jié)果進行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。(3)

人工現(xiàn)實法---基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達到的目標，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個系統(tǒng)。

[摘自：齊歡《數(shù)學(xué)模型方法》，華中理工大學(xué)出版社，1996。]三、常用的數(shù)學(xué)軟件一般來說，數(shù)學(xué)建模競賽中常用的軟件有四種，分別是：Matlab，MathematicaLingo(Lindo)，SPSS(SAS)1.MatlabMatlab

是美國

MathWorks

公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，主要包括

Matlab

和

Simulink

兩大部分。在數(shù)學(xué)建模中可用來：繪圖，導(dǎo)入導(dǎo)出數(shù)據(jù)，數(shù)字圖象的讀和寫，矩陣運算，微積分運算，求解方程與方程組，求解微分方程，插值與擬合，運籌學(xué)相關(guān)(線性與非線性規(guī)劃、目標規(guī)劃等)，圖論相關(guān)(最短路、最優(yōu)樹等)，概率與統(tǒng)計，多元統(tǒng)計分析相關(guān)(線性與非線性回歸、方差分析、聚類分析、主成分分析等)，模糊系統(tǒng)相關(guān)，決策分析相關(guān)……2.MathematicaMathematica

是美國

Wolfram

公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件。在數(shù)學(xué)建模中可用來：繪圖，導(dǎo)入導(dǎo)出數(shù)據(jù)，矩陣運算，微積分運算，求解方程與方程組，求解微分方程，插值與擬合，求解優(yōu)化問題，求解概率與統(tǒng)計分析問題……3.Lindo/LingoLindo/Lingo

是美國

Lindo

系統(tǒng)公司開發(fā)的一套專門用于求解最優(yōu)化問題的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件。Lindo

用于求解線性規(guī)劃和二次規(guī)劃，Lingo

除了具有

Lindo

的全部功能外，還可以用于求解非線性規(guī)劃，也可以用于一些線性和非線性方程組的求解以及代數(shù)方程求根等。Lindo/Lingo

軟件的最大特色在于可以允許優(yōu)化模型中的決策變量是整數(shù)(即整數(shù)規(guī)劃)，而且執(zhí)行速度很快。Lindo6.1

學(xué)生版最多可解

300

個變量

150

個約束的規(guī)劃問題。4.SPSS(SAS)SPSS

是美國

SPSS

公司(現(xiàn)已被

IBM

收購)開發(fā)的專門用于統(tǒng)計分析的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件。SPSS

for

Windows

是一個組合式軟件包，其基本功能包括數(shù)據(jù)管理、統(tǒng)計分析、圖表分析、輸出管理等等?？捎糜诿枋鲂越y(tǒng)計、均值比較、一般線性模型、相關(guān)分析、回歸分析、對數(shù)線性模型、聚類分析、數(shù)據(jù)簡化、生存分析、時間序列分析、多重響應(yīng)等，而且有專門的繪圖系統(tǒng)，可以根據(jù)數(shù)據(jù)繪制各種圖形。SAS

是美國

SAS

公司開發(fā)的以統(tǒng)計分析為核心功能商業(yè)數(shù)學(xué)軟件。SAS

由多個功能模塊組合而成，包括：SAS/STAT(統(tǒng)計分析模塊)、SAS/GRAPH(繪圖模塊)、SAS/QC(質(zhì)量控制模塊)、SAS/ETS(經(jīng)濟計量學(xué)和時間序列分析模塊)、SAS/OR(運籌學(xué)模塊)、SAS/IML(交互式矩陣程序設(shè)計語言模塊)、SAS/FSP(快速數(shù)據(jù)處理的交互式菜單系統(tǒng)模塊)、SAS/AF(交互式全屏幕軟件應(yīng)用系統(tǒng)模塊)等等。SAS有一個智能型繪圖系統(tǒng)，不僅能繪各種統(tǒng)計圖，還能繪出地圖。此外，SAS還提供了各類概率分析函數(shù)、分位數(shù)函數(shù)、樣本統(tǒng)計函數(shù)和隨機數(shù)生成函數(shù)，使用戶能方便地實現(xiàn)特殊統(tǒng)計要求。四、強調(diào)幾個問題為提高建模質(zhì)量，還應(yīng)注意下面幾個方面。1.解釋一般來講，大家都很關(guān)注數(shù)學(xué)模型的建立和求解過程。當然，這也是最富有技術(shù)性的部分。但在建立和求解以后，一定要做出合理的解釋，把數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯成實際問題的語言。即使是在一些技術(shù)細節(jié)上，如果能做出和實際相符的解釋，也會使模型變得可靠和有意義。有的手段，無論輸入什么數(shù)據(jù)，都能得到某些結(jié)果。比如擬合，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，比如計算機仿真。但是否有真實意義，這就需要“解釋”來揭示和驗證。設(shè)想一個最簡單的預(yù)測問題，如果搞一個高次多項式，一定可以把現(xiàn)有的數(shù)據(jù)擬合得天衣無縫。但這又能說明什么呢？2.檢驗如上所述，有許多建模中常用的手段，無論什么數(shù)據(jù)輸進去，都能輸出一些結(jié)果。而這些結(jié)果是否真的可信，往往需要檢驗。事實上，凡是從特殊的事例推廣到一般情況時，結(jié)論是否可靠，都需要進行檢驗。例如給了一系列數(shù)據(jù)(x,y)，我們通過某種手段，找到了

x

與

y

之間的關(guān)系(當然這往往是近似的)。我們就應(yīng)當事先保留一些沒用過的數(shù)據(jù)，最后用于模型的檢驗，如果檢驗的結(jié)果是吻合得相當不錯，那我們的模型是可靠的。這個步驟不要忽略，在許多建模問題中，至少有

30%

的數(shù)據(jù)是專門用來檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)論的。3.靈敏度分析和可靠性評估粗略地講，靈敏度是指模型的結(jié)論與初始條件之間的關(guān)系是否非常敏感。模型總要做許多假設(shè)，這些假設(shè)不總是萬無一失的。模型也總是要輸入一些初始的數(shù)據(jù)，無論是調(diào)查還是測量得來，數(shù)據(jù)總會有誤差。如果初始條件有微小的偏差，結(jié)果就有顯著的變化，那這個模型可以說是毫無意義的。所以低靈敏度在某種意義上意味著高可靠性。傳統(tǒng)上，狹義的靈敏度分析就是指輸入數(shù)據(jù)的誤差，引起結(jié)果的變化，這有許多成型的方法來進行分析。而對廣義的，由于假設(shè)不夠準確而引起結(jié)果的變化，很難有系統(tǒng)的方法來分析。但是，總之對模型的靈敏度和可靠性要通過各種角度，做出全面的分析，這是建模工作是否完善的重要標志。4.評價模型的評價不要流于空泛?！氨灸Ｐ徒Y(jié)果可信，效果良好，有許多因素還沒有考慮到，一些方面還有不足”，諸如此類的評價事實上毫無意義。評價不是為了做結(jié)論，而是為了對模型做進一步的研究。模型的意義，可信程度，精度，可能的問題，改進方案，都是需要認真思考的方面。只有認真地對模型做研究，才能認識清楚模型的優(yōu)點和不足，才能夠針對不足之處進行改進。模型都是需要錘煉才能完善的。附：評獎方式發(fā)生了改變，競爭力提高經(jīng)2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽工作會議討論，全國組委會決定從2011年起：每個賽區(qū)送全國評閱論文的數(shù)量與報名隊數(shù)的關(guān)系如下：

報名隊數(shù)不超過

200

個隊的賽區(qū)：報送全國評閱論文的比例為

12%；

報名隊數(shù)超過

200

但不超過

500

個隊的賽區(qū)：報送全國