保險(xiǎn)精算 第2章2 任意時(shí)刻年金值

第二章年金

第二章年金2.1期末付年金2.2期初付年金2.3任意時(shí)刻的年金2.4永續(xù)年金2.5連續(xù)年金2.1期末付年金我們考慮在0時(shí)刻開(kāi)始的n期中每期期末支付1元的年金。

2.2期初付年金考慮在0時(shí)刻開(kāi)始的n期中每期期初支付1元的年金。之間的關(guān)系式期末與期初付之間的聯(lián)系

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n-1n111----11111----1期末付年金期初付年金n+1例：王平從銀行貸款20，000元，他想在今后的10年內(nèi)等額還清貸款，貸款年利率為15%。求：

1）每年末的還款額；

2）每年初的還款額。解:2.3任意時(shí)刻的年金值2.3.1首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值2.3.2在最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值2.3.3付款期間某時(shí)刻的年金當(dāng)前值

11111012345678910付款次數(shù)為5，首次付款發(fā)生在時(shí)刻2，末次付款發(fā)生在時(shí)刻6（1）時(shí)刻0時(shí)的年金現(xiàn)值方式一：通過(guò)時(shí)刻1或2的年金現(xiàn)值的折現(xiàn)方式二：年金現(xiàn)值之間的加減①2.3.1在首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值2.3.1在首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值將上式一般化，有也稱為延期年金。2.3.2在最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值

11111012345678910（2）時(shí)刻10時(shí)的年金積累值方式一：通過(guò)時(shí)刻6或7的年金積累值一次性投資所得方式二：年金積累值之間的加減①①①①將上式一般化，有

11111012345678910（3）時(shí)刻4時(shí)的年金當(dāng)前值方式一：積累或折現(xiàn)2.3.3付款期間某時(shí)刻的年金當(dāng)前值

11111012345678910（3）時(shí)刻4時(shí)的年金當(dāng)前值方式二：加減計(jì)算假設(shè)付款期限為n次，第m次(m<n)付款時(shí)所有付款的當(dāng)前值V(m)可以表示成例：3，000元的債務(wù)從第5年初開(kāi)始，每年初償還相同的數(shù)額，共分15次還清，年利率為8%，求年還債額。

解：練習(xí):某人每年年初在銀行存款2000元,假如每季度計(jì)息一次的年名義利率為12%,計(jì)算5年后該儲(chǔ)戶的存款積累值.答案練習(xí)某購(gòu)房貸款8萬(wàn)元,每月初還款一次,分10年還清,每次等額償還,貸款年利率為10.98%,計(jì)算每次還款額.例1.21答案

練習(xí)：某人在30歲時(shí)計(jì)劃每年初存入銀行300元建立個(gè)人帳戶，假設(shè)他在60歲退休，存款年利率假設(shè)恒定為3％。（1）求退休時(shí)個(gè)人帳戶的積累值。（2）如果個(gè)人帳戶積累值在退休后以固定年金的方式在20年內(nèi)每年年初領(lǐng)取一次，求每年可以領(lǐng)取的數(shù)額。例2.5答案（1）退休時(shí)個(gè)人帳戶積累值計(jì)算（2）退休后每年可領(lǐng)取退休金思考某期初付年金每次付款額為1元,共付20次，第年的實(shí)際利率為,計(jì)算V(2).第一次付款在時(shí)刻2的當(dāng)前值第二次第三次第四次第五次第20次時(shí)間0123451920付款11111112.4永續(xù)年金對(duì)于一個(gè)固定的利率i，、、和都是n的增函數(shù)，即隨著n的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。當(dāng)n趨于∞時(shí)，即年金的支付永遠(yuǎn)持續(xù)下去。我們稱這種永遠(yuǎn)持續(xù)下去而不中止的年金為永久年金或稱永續(xù)年金。例如：公司股票中不能贖回的優(yōu)先股，其固定紅利的給付是永續(xù)年金的形式?；饡?huì)以基金利息來(lái)從事某種事業(yè)，則每期利息的支取會(huì)永遠(yuǎn)持續(xù)下去，如諾貝爾獎(jiǎng)等。

期末付和期初付永續(xù)年金期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值用表示：

經(jīng)濟(jì)意義：首期期初投資（利率為）,且不收回本金，則每期期末可獲得的利息，且一直持續(xù)下去。期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值用表示：

不存在永續(xù)年金的最終積累值。1）期末付年金現(xiàn)值2）期初付年金現(xiàn)值期初投資元，則每年可獲得1元期初投資元，則每年可獲得1元重要的關(guān)系式例2.6有一企業(yè)想在一學(xué)校設(shè)立一永久獎(jiǎng)學(xué)金，假如每年發(fā)出5萬(wàn)元獎(jiǎng)金，問(wèn)在年實(shí)際利率為5%的情況下，該獎(jiǎng)學(xué)金基金的本金至少為多少？例2.7某人留下一筆100000元的遺產(chǎn)。這筆財(cái)產(chǎn)頭10年的利息付給受益人B，第2個(gè)10年的利息付給受益人C，此后的利息都付給慈善機(jī)構(gòu)D。若此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)的年實(shí)際利率為7%，試確定B，C，D在此筆財(cái)產(chǎn)中各占多少份額？例2.7答案2.5連續(xù)年金付款頻率無(wú)限大（即連續(xù)付款）的年金稱為連續(xù)年金。連續(xù)付款n個(gè)計(jì)息期，每個(gè)計(jì)息期的付款額之和為1的年金現(xiàn)值記為。積累值公式：以的形式表示根據(jù)例有兩個(gè)連續(xù)還款模型