信號(hào)處理中的數(shù)學(xué)方法-實(shí)驗(yàn)作業(yè)1

NumericalAnalysis

（數(shù)值分析）

SchoolofElectronicScienceandEngineering,NJU

聶永明實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根Wilkinson多項(xiàng)式:。其中，1,2,…,n是Wilkinson多項(xiàng)式的n個(gè)根。

當(dāng)Wilkinson多項(xiàng)式中某一項(xiàng)發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，其n個(gè)根也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化？為考察擾動(dòng)前后根的變化情況，令隨著參數(shù)k和ε的改變，計(jì)算多項(xiàng)式的根x(i)，i=1,2,…,n，并與Wilkinson多項(xiàng)式的根，i=1,2,…,n相對(duì)應(yīng)，求出Wilkinson多項(xiàng)式每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)。其中定義實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根

圖一和圖二分別為n=5階多項(xiàng)式隨著ε和k的改變，每個(gè)根病態(tài)指數(shù)的變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖1n=5階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖1n=5階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖1n=5階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖1n=5階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖1n=5階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖1n=5階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根由圖一可見，k一定時(shí)，對(duì)于較小的ε，每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)基本不隨ε變化（圖中綠藍(lán)線都重合在一起），說明此時(shí)，根的相對(duì)偏差變化速度與ε的變化速度基本相等。ε>1.0e-4時(shí)，病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，此時(shí)，根的相對(duì)偏差變化速度小于ε的變化速度

在不同的k下，ε對(duì)根的病態(tài)指數(shù)的影響不同。由圖2可見，當(dāng)時(shí)，每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)隨k的增大而增大，即高階項(xiàng)擾動(dòng)所產(chǎn)生的病態(tài)指數(shù)大；當(dāng)ε>1時(shí)，略有變化，k=4時(shí)的病態(tài)指數(shù)大于k=5時(shí)的病態(tài)指數(shù)，且，x=1這個(gè)根的病態(tài)指數(shù)大小與k成反比，即低階項(xiàng)擾動(dòng)所引起的病態(tài)指數(shù)大。實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖三和圖四分別為n=10階多項(xiàng)式隨著ε和k的改變，每個(gè)根病態(tài)指數(shù)的變化。總體來說，仍然滿足病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，隨k的增大而增大。且10階多項(xiàng)式高階項(xiàng)擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)比5階多項(xiàng)式的大，最高次項(xiàng)上的擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)最高可達(dá)13000以上。圖五和圖六分別為n=20階多項(xiàng)式隨著ε和k的改變，每個(gè)根病態(tài)指數(shù)的變化。k以2步進(jìn)。最低次項(xiàng)上的1.0×10-9擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)最高已達(dá)90000，最高次項(xiàng)上的1.0×10-9擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)最高更可達(dá)14×107。表2是k=20時(shí)不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化?？傮w來說，仍然滿足病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，隨k的增大而增大。

綜上所述，總體來說，病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，隨k的增大而增大。

實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖2n=5階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖2n=5階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖2n=5階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖2n=5階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖2n=5階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖2n=5階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖3n=10階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖3n=10階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖3n=10階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖3n=10階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖3n=10階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖3n=10階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根

圖三和圖四分別為n=10階多項(xiàng)式隨著ε和k的改變，每個(gè)根病態(tài)指數(shù)的變化。總體來說，仍然滿足病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，隨k的增大而增大。且10階多項(xiàng)式高階項(xiàng)擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)比5階多項(xiàng)式的大，最高次項(xiàng)上的擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)最高可達(dá)13000以上。實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖4n=10階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化

實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖4n=10階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化

實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖4n=10階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化

實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖4n=10階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化

實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖5n=20階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖5n=20階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖5n=20階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖5n=20階多項(xiàng)式在不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖6n=20階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖6n=20階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖6n=20階多項(xiàng)式在不同k下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根表2k=20時(shí)不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖一和圖二分別為n=5階多項(xiàng)式隨著ε和k的改變，每個(gè)根病態(tài)指數(shù)的變化。由圖一可見，k一定時(shí)，對(duì)于較小的ε，每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)基本不隨ε變化（圖中綠藍(lán)線都重合在一起），說明此時(shí)，根的相對(duì)偏差變化速度與ε的變化速度基本相等。ε>1.0e-4時(shí)，病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，此時(shí)，根的相對(duì)偏差變化速度小于ε的變化速度。表1列出了k=5時(shí)的具體數(shù)值?？傮w來講，病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小。在不同的k下，ε對(duì)根的病態(tài)指數(shù)的影響不同。由圖2可見，當(dāng)時(shí)，每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)隨k的增大而增大，即高階項(xiàng)擾動(dòng)所產(chǎn)生的病態(tài)指數(shù)大；當(dāng)ε>1時(shí)，略有變化，k=4時(shí)的病態(tài)指數(shù)大于k=5時(shí)的病態(tài)指數(shù)，且，x=1這個(gè)根的病態(tài)指數(shù)大小與k成反比，即低階項(xiàng)擾動(dòng)所引起的病態(tài)指數(shù)大。圖三和圖四分別為n=10階多項(xiàng)式隨著ε和k的改變，每個(gè)根病態(tài)指數(shù)的變化?？傮w來說，仍然滿足病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，隨k的增大而增大。且10階多項(xiàng)式高階項(xiàng)擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)比5階多項(xiàng)式的大，最高次項(xiàng)上的擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)最高可達(dá)13000以上。圖五和圖六分別為n=20階多項(xiàng)式隨著ε和k的改變，每個(gè)根病態(tài)指數(shù)的變化。k以2步進(jìn)。最低次項(xiàng)上的1.0×10-9擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)最高已達(dá)90000，最高次項(xiàng)上的1.0×10-9擾動(dòng)所帶來的病態(tài)指數(shù)最高更可達(dá)14×107。表2是k=20時(shí)不同ε下每個(gè)根的病態(tài)指數(shù)變化?？傮w來說，仍然滿足病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，隨k的增大而增大。

綜上所述，總體來說，病態(tài)指數(shù)隨著ε的增大而減小，隨k的增大而增大。實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根對(duì)上面的問題研究k>n的情況，這時(shí)根的數(shù)量是增加的。特別注意研究新增加的根隨參數(shù)變化的情況。使用MATLAB編寫代碼，考察不同階多項(xiàng)式對(duì)于k>n的情況，隨著k和ε的改變，新增加的根的變化。其中，n=5,10,20；k=且為整數(shù)；ε以10倍速度從1.0e-9變化到100。實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖7n=5階多項(xiàng)式在不同k下新增根的變化實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根圖8n=10階多項(xiàng)式新增根隨ε的變化

實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根

n=10階多項(xiàng)式新增根隨ε的變化

實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根實(shí)驗(yàn)作業(yè)一：Wilkinson多項(xiàng)式的根表3是n=5階多項(xiàng)式在k=6時(shí)，根隨ε的變化。當(dāng)ε很小時(shí)，原正確的5個(gè)根基本不受影響；當(dāng)ε增大時(shí)，最大的根先受影響，逐漸向小根蔓延。新增加的根為負(fù)值，絕對(duì)值約為1/ε。新增加的根的個(gè)數(shù)為k-n。表4是n=5階多項(xiàng)式在k=7時(shí)，根隨ε的變化。仍符合以上規(guī)律：當(dāng)ε很小時(shí)，原正確的5個(gè)根基本不受影響；當(dāng)ε增大時(shí)，最大的根先受影響，逐漸向小根蔓延。新增加的根為共軛對(duì)稱的復(fù)值，模值與1/ε一個(gè)數(shù)量級(jí)。新增加的根的個(gè)數(shù)為k-n。圖7為不同k下新增根的情況。新增根的個(gè)數(shù)與k有關(guān)，為k-n。當(dāng)時(shí)，新增根的模值與k成反比，即k越大，新增根的模值越小。當(dāng)ε>1時(shí)，有個(gè)別反常。圖8是n=10階多項(xiàng)式新增根隨ε的變化。新增根的模值與ε成反比，與1/