數(shù)字信號處理基礎(chǔ)

1.1離散時間信號與系統(tǒng)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)1.2

數(shù)字濾波器總結(jié)信號的分類1.連續(xù)時間信號和離散時間信號2.周期信號和非周期信號3.確定性信號和隨機(jī)信號4.能量信號和功率信號5.一維信號、多維信號平穩(wěn)和非平穩(wěn)（時變）信號離散信號(序列)的表示

x(n)={1,1,2,-1,1;n=-1,0,1,2,3}n121-1-101231典型離散信號（序列）1.單位脈沖序列2.單位階躍序列3.矩形序列4.指數(shù)序列anu(n)：右邊指數(shù)序列|a|1序列有界anu(-n)：左邊指數(shù)序列|a|1序列有界5.復(fù)指數(shù)序列6．正弦型序列數(shù)字域頻率數(shù)字頻率與模擬頻率的關(guān)系模擬角頻率2)

相加與相乘

x1(n)+x2(n)cx(n)1)

位移（延時）

x(n)

x(n-N)3)卷積卷積的計算y=conv(x,h)離散信號（序列）的基本運(yùn)算4)抽取(decimation) x(Dn)5)插值(interpolation) x(n/I)D為正整數(shù)序列是的抽取序列每D個樣值抽取一個序列是的插值序列每兩個樣值之間插入（I-1）個零值I為正整數(shù)時域抽取，造成在數(shù)字頻率域上頻譜展寬時域插值，造成在數(shù)字頻率域上頻譜壓縮選擇合適的I和D，就能夠任意地改變采樣頻率fs一般是先做I倍插值，再做D倍抽取加防混疊濾波器的抽取器系統(tǒng)將待抽取序列的頻譜限制在范圍內(nèi)↓D↑I↑I↓D使用一個低通慮波器無論是抽取還是插值，其輸入到輸出的變換都相當(dāng)于經(jīng)過一個線性時變系統(tǒng)!!!y(n)

=T{x(n)}離散時間系統(tǒng)][nx][ny輸入序列輸出序列前置預(yù)濾波器A/D變換器數(shù)字信號處理器D/A變換器模擬濾波器模擬xa(t)PrFADCDSPDACPoF模擬ya(t)離散系統(tǒng)2.時不變定義：如T{x(n)}=y(n)，則T{x(n-m)}=y(n-m)LTI(lineartime-invariant)系統(tǒng)性質(zhì)1.

線性3.因果性（Causality）定義:系統(tǒng)n時刻的輸出只與n時刻及以前的輸入有關(guān)因果的LTI：h(n)=0,n<0.4.穩(wěn)定性LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件有界輸入產(chǎn)生有界的輸出

系統(tǒng)的描述1.單位脈沖響應(yīng)h(n)2.差分方程輸入序列輸出序列h(n)x(n)y(n)y=conv(x,h)y=filter(b,a,x)3.離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)magnituderesponsephaseresponsereal()

imag()abs()angle()[H,w]=freqz(b,a)離散系統(tǒng)z域分析z變換定義及收斂域收斂域(ROC):R-<|z|<R+有限長序列的z變換的收斂域至少是有限z平面1)

有限長序列

z變換的收斂域2)

因果序列z變換及其收斂域因果序列僅當(dāng)

|z|>|a|時其ZT存在，其收斂域是半徑為|a|的圓外區(qū)域。|a|3)

反因果序列z變換及其收斂域反因果序列僅當(dāng)

|z|<|a|時其ZT存在，其收斂域?yàn)榘霃綖閨a|的圓內(nèi)區(qū)域。a4）雙邊序列的z變換及其收斂域雙邊序列當(dāng)|a|<|b|時其z變換存在，收斂域?yàn)閨a|<|z|<|b|的環(huán)狀區(qū)域半徑為|b|半徑為|a|當(dāng)|a||b|時沒有公共收斂域，即其z變換不存在！系統(tǒng)函數(shù)H(z)(transferfunction,systemfunction)對LTI系統(tǒng):

y(n)=x(n)*h(n)由z變換的性質(zhì)：Y(z)=X(z)H(z)H(z)稱為LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)H(z)ROC包含單位圓時差分方程和系統(tǒng)函數(shù)ak=0(k=1~N)時，系統(tǒng)稱FIR(finiteimpulseresponse)ak不全為零時，系統(tǒng)稱為IIR(infiniteimpulseresponse)FIR系統(tǒng)的h(n)有限長，一般采用非遞歸結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)IIR系統(tǒng)的h(n)無限長，只能采用遞歸型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)有時FIR系統(tǒng)也使用遞歸結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，可以提高計算效率L點(diǎn)的滑動平均器：系統(tǒng)的穩(wěn)定性和H(z)LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：H(z)的收斂域包含單位圓穩(wěn)定因果系統(tǒng)非穩(wěn)定非因果系統(tǒng)

穩(wěn)定非因果系統(tǒng)穩(wěn)定因果系統(tǒng)的極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)利用DFT分析信號的頻譜雙音多頻信號（DTMF）頻域比時域分析更容易一、四種信號頻譜之間的關(guān)系

CFT、FS、DTFT、DFT二、利用DFT分析連續(xù)非周期信號頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象三、DFT參數(shù)選取利用DFT分析信號的頻譜連續(xù)←→離散←→非周期周期時域←→頻域1、傅里葉級數(shù)(FS)--連續(xù)時間、離散頻率周期函數(shù)分解成一系列諧波的線性組合0基頻時域連續(xù)、周期→t0非周期信號對應(yīng)連續(xù)頻譜頻域非周期、離散2、傅里葉變換(FT)--連續(xù)時間、連續(xù)頻譜時域連續(xù)、非周期→0t0頻域非周期、連續(xù)3、序列傅里葉變換(DTFT)--離散時間、連續(xù)頻譜時域離散、非周期→n00頻域周期、連續(xù)4、離散傅里葉級數(shù)(DFS)--離散時間、離散頻譜n0時域的離散、周期→0頻域的周期、離散tnn是2p的N等分隱含周期性n取一個周期取一個周期問題：如何利用數(shù)字方法分析信號的頻譜？

X=fft(x)

x=ifft(X)利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜

加窗出現(xiàn)三種現(xiàn)象：混疊、泄漏、柵欄抽樣DFT)j(X0Ap2-p2)(jeX0p2-p2)(jeXN0時域加窗(數(shù)據(jù)截斷)造成頻譜泄漏現(xiàn)象混疊失真頻譜泄漏柵欄效應(yīng)混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象1)混疊現(xiàn)象的解決辦法:抗混濾波抽樣DFT0Ap2p2-)(j0eX)j(X0A)j(X0A0mm-增大采樣頻率fs，加抗混濾波器2）泄漏現(xiàn)象（時域加窗對頻譜的影響）加窗泄漏現(xiàn)象減輕的方法:NNp2Np4pp-Np2-主瓣旁瓣旁瓣0截取更長的數(shù)據(jù)、不要突然截斷，即選擇漸變的窗函數(shù)

矩形窗巴特列特窗（三角窗）漢寧窗（升余弦窗）海明窗（改進(jìn)的升余弦窗）布萊克曼窗（二階升余弦窗）凱澤窗是一個可以自由選擇的參數(shù)，用于調(diào)整主瓣寬度和旁瓣的幅度3）柵欄現(xiàn)象：就像通過柵欄看景象.解決柵欄現(xiàn)象的方法：頻率分辨率T0信號的實(shí)際長度序列后補(bǔ)零DFT參數(shù)選取1.2.3.抽樣頻率:時間長度:抽樣點(diǎn)數(shù):END快速傅里葉變換（FFT）基2、基4、分裂基算法WFTA、素因子算法IIR

數(shù)字濾波器FIR

數(shù)字濾波器理想數(shù)字濾波器理想低通濾波器)(jLPeH

pp-cc

-1理想高通濾波器)(jHPeHpp-cc-1理想帶通濾波器)(jBPeH

pp-1c12c1c-2c-理想帶阻濾波器)(jBSeHpp-1c12c1c-2c-IIR數(shù)字濾波器設(shè)計這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃思濾波器:具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器:幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動，可以提高選擇性；橢圓濾波器:選擇性相對前兩種是最好的,在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋幅頻特性。根據(jù)具體要求可以選用不同類型的濾波器。

常用模擬原型濾波器有巴特沃思(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器等利用MATLAB實(shí)現(xiàn)[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)[N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)[N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)[N,Wn]=ellip(Wp,Ws,Rp,Rs)[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn)[b,a]=butter(N,Wn)[b,a]=cheby2(N,Rs,Wn)[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,Wn)一、IIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)直接I型濾波器需要?個延時單元?（N+M）直接II型結(jié)構(gòu)交換級聯(lián)子系統(tǒng)只需?級延遲單元max(N,M)IIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡單直觀缺點(diǎn)：

1.改變某一個{ak

}將影響所有的極點(diǎn)

2.改變某一個{bk

}將影響所有的零點(diǎn)

3.對有限字長效應(yīng)太敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象對于三階以上的IIR濾波器，幾乎都不采用直接型結(jié)構(gòu)，而是采用級聯(lián)型、并聯(lián)型等其它形式的結(jié)構(gòu)二、IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)將濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母分解為一階和二階實(shí)系數(shù)因子之乘積的形式畫出各二階基本節(jié)的直接型結(jié)構(gòu)，再將它們級聯(lián)二階基本節(jié)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)信號流圖基于直接II型的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)y[n]x[n][sos,G]=zp2sos(z,p,c)[z,p,c]=tf2zp(b,a)roots(b)IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1.硬件實(shí)現(xiàn)時，可以用一個二階節(jié)進(jìn)行時分復(fù)用2.每一個基本節(jié)系數(shù)變化只影響該子系統(tǒng)的零極點(diǎn)3.對系數(shù)變化的敏感度小，受有限字長的影響比直接型低問題：最優(yōu)化問題三、IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)將濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開成部分分式之和，并將子系統(tǒng)仍采用二階基本節(jié)表示畫出各二階基本節(jié)的直接型結(jié)構(gòu)，再將它們并聯(lián)。[r,p,k]=residuez(num,den)[num,den]=residuez(r,p,k)IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：

1.運(yùn)算速度快

2.各基本節(jié)的誤差互不影響

3.可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)的位置缺點(diǎn):

不能向級聯(lián)型那樣直接調(diào)整零點(diǎn)IIR濾波器系數(shù)量化中的有限精度問題例.已知IIR濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為假設(shè)該濾波器系數(shù)以4比特硬件實(shí)現(xiàn)：0.9,0.2,0.4,0.5分別被量化為：0.875,0.125,0.375,0.5則，直接型實(shí)現(xiàn)時，極點(diǎn)位置變?yōu)椋?.18,0.695串聯(lián)型實(shí)現(xiàn)時，極點(diǎn)變?yōu)椋?.375,0.5級聯(lián)11，并聯(lián)10，直接20零點(diǎn)、極點(diǎn)分布簡單陷波器設(shè)計要求：去掉0.2pi的正弦信號IIR濾波器實(shí)現(xiàn)y=filter(b,a,x)for(i=0;i<M;i++){yn1=yn1+x[i]*b[i];}for(j=1;j<N;j++){yn2=yn2+y[j]*a[j];}yn=yn1-yn2;數(shù)組x[i]移位x[0]對應(yīng)當(dāng)前時刻輸入數(shù)據(jù)x[1]對應(yīng)上一時刻輸入數(shù)據(jù)…….數(shù)組y[j]移位y[1]對應(yīng)上一時刻的輸出…….直接型temp=input;for(k=0;k<IIR_section;k++){w[k][0]=temp–a[k][1]*w[k][1]-a[k][2]*w[k][2];temp=b[k][0]*w[k][0]+b[k][1]*w[k][1]+b[k][2]*w[k][2]w[k][2]=w[k][1];w[k][1]=w[k][0];}output=temp;串聯(lián)型(子系統(tǒng)用直接II型實(shí)現(xiàn))IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計有大量圖表可查，方便簡單。在相同的過渡帶性能下，階數(shù)遠(yuǎn)比FIR的低！缺點(diǎn)：相位的非線性，將引起頻率的色散；若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正,使濾波器設(shè)計變得復(fù)雜，成本也高。在對相位要求不敏感的場合，可以選用IIR。而在圖像信號處理，數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)中，要求系統(tǒng)具有嚴(yán)格的線性相位(1)很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真。這一特點(diǎn)在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；(2)極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；(3)任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉(zhuǎn)為因果序列，所以因果性總是滿足；(4)可以使用FFT算法實(shí)現(xiàn)過濾信號，從而提高效率。FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)缺點(diǎn)：因?yàn)闆]有極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需要較高的階數(shù)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計窗函數(shù)設(shè)計法頻率抽樣設(shè)計法最優(yōu)化設(shè)計法b=fir1(N,Wn,’filtertype’,window)b=fir2(N,f,m,window)b=remez(N,f,m)firpm()N取奇數(shù)窗函數(shù)窗性能指標(biāo)加窗后濾波器性能旁瓣峰值主瓣寬度過渡帶寬度阻帶最小衰減Rectangular-13dB-21dBBartlett-25dB-25dBHanning

-31dB-44dBHamming-41dB-53dBBlackman-57dB-74dB阻帶衰減只與窗函數(shù)形狀有關(guān)；過渡帶寬度既和窗函數(shù)形狀有關(guān)又和N有關(guān)，隨著N的增大，過渡帶變窄一、FIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)M+1個乘法器，M個延遲器M階FIR數(shù)字濾波器x[n]y[n]二、FIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)將H(z)分解為若干個實(shí)系數(shù)一階二階因子相乘x[n]y[n]優(yōu)點(diǎn)：便于控制零點(diǎn)，可分別控制每個子系統(tǒng)的零點(diǎn)缺點(diǎn)：所需系數(shù)較多，所需乘法較多三、線性相位FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)奇數(shù)個系數(shù)利用線性相位FIRh[n]的對稱特性：h[n]=±h[M-n]相同系數(shù)的共用乘法器，省略近一半的乘法器x[n]y[n]偶數(shù)個系數(shù)相同系數(shù)的共用乘法器，省略一半的乘法器x[n]y[n]四、FIR數(shù)字濾波器的快速卷積結(jié)構(gòu)L-pointDFTL-pointDFTL-pointIDFT有兩種分段卷積的辦法:重疊相加法和重疊保留法分段卷積法：將x(n)分成點(diǎn)數(shù)和h(n)相仿的段，分別求出每段的卷積結(jié)果，然后用某種方式把它們合在一起，得到總的輸出，每段的卷積均采用FFT方法。FIR濾波器實(shí)現(xiàn)y=filter(b,1,x)y=conv(x,b)typecoef_arrisarray(0to12)ofsigned(8downto0);constantcoefs:coef_arr:=("000001100",--0C->12->0.0474--1"111110111",--F7->-9->-0.0336--2"111101101",--ED->-19->-0.0762--3"111110101",--F5->-11->-0.0436--4"000011010",--1A->26->0.1034--5"001001010",--4A->74->0.2887--6"001100000"--60->96->0.3736–7"001001010",--4A->74->0.2887--8"000011010",--1A->26->0.1034--9"111110101",--F5->-11->-0.0436--10"111101101",--ED->-19->-0.0762--11"111110111",--F7->-9->-0.0336--12"000001100",--0C->12->0.0474--13);系數(shù)的量化ifrst='0'thenforiin0to12loop

shift(i):=(others=>'0');endloop;result<=(others=>'0');elsif(clk'eventandclk='1')then

tmp:=sample;acc:=tmp*coefs(0);foriin11to0loopold:=shift(i);pro:=old*coefs(i+1);acc:=acc+pr