人教A版函數(shù)學(xué)案2-指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

開始學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)三學(xué)點(diǎn)四學(xué)點(diǎn)五學(xué)點(diǎn)六學(xué)點(diǎn)七1.一般地，函數(shù)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是

，函數(shù)的定義域是

值域是

.2.函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)，當(dāng)

時(shí)，在(-∞,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)

時(shí)，在(-∞,+∞)上是減函數(shù).3.y=ax(a>0,且a≠1)的圖象一定過點(diǎn)

.當(dāng)a>1時(shí)，若x>0,則y

，若x<0，則y

;當(dāng)0<a<1時(shí)，若x>0,則y

,若x<0，則y

.4.函數(shù)y=2x-2的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向

平移

個(gè)單位得到的；函數(shù)y=ax-m(a>0,且a≠1,m>0)的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象向

平移個(gè)

單位得到的；函數(shù)y=ax+m(a>0,且a≠1,m>0)的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象向

平移個(gè)

單位得到的.y=ax(a＞0,且a≠1)自變量R（0,+∞）a>10<a<1(0,1)>1∈(0,1)∈(0,1)>1右2右m左m返回5.函數(shù)y=ax和y=a-x的圖象關(guān)于

對稱；函數(shù)y=ax和y=-ax的圖象關(guān)于

對稱；函數(shù)y=ax和y=-a-x的圖象關(guān)于

對稱.6.當(dāng)a>1時(shí)，af(x)>ag(x)

；當(dāng)0<a<1時(shí)，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).7.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，則函數(shù)y=af(x),當(dāng)a>1時(shí)，在區(qū)間D上是

函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，在區(qū)間D上是

函數(shù).y軸y軸原點(diǎn)f(x)>g(x)增（減）減（增）返回學(xué)點(diǎn)一基本概念指出下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a>,且a≠1.）【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.【解析】由定義，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù).由此可以確定（1）（5）（8）是指數(shù)函數(shù).

（2）不是指數(shù)函數(shù).

（3）是-1與指數(shù)函數(shù)4x的積.返回(4)中底數(shù)-4<0,所以不是指數(shù)函數(shù).(6)是二次函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).(7)底數(shù)x不是常數(shù),不是指數(shù)函數(shù).【評析】基本初等函數(shù):一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及后面將要學(xué)到的對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，都有一定的形式,要注意定義的要求.返回已知指數(shù)函數(shù)y=(m2+m+1)·（）x,則m=

.解：∵y=(m2+m+1)·（）x為指數(shù)函數(shù),∴m2+m+1=1,即m2+m=0,∴m=0或-1.0或-1返回學(xué)點(diǎn)二函數(shù)的定義域值域求下列函數(shù)的定義域、值域:（1）y=2;（2）y=（）;（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.【分析】由于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)的定義域是R，所以函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)與函數(shù)f(x)的定義域相同，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域.返回【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4.∴定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠4}.∴≠0,∴2≠1,∴y=2的值域?yàn)閧y|y>0，且y≠1}.（2）定義域?yàn)閤∈R.∵|x|≥0,∴y==≥=1,故y=的值域?yàn)閧y|y≥1}.（3）定義域?yàn)镽.∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1.故y=4x+2x+1+1的值域?yàn)閧y|y>1}.返回【評析】求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.如第（1）小題切記不能漏掉y>0.（4）令≥0,得≥0,解得x<-1或x≥1.

故定義域?yàn)閧x|x<-1或x≥1}.

值域?yàn)閧y|y≥0,且y≠10}.返回（1）要使函數(shù)有意義，必須1-x≠0，即x≠1,∴函數(shù)的定義域是{x|x∈R,且x≠1}.（2）要使函數(shù)有意義，必須-≥0,則≥2-1,∴-x2≥-1,即-1≤x≤1,∴函數(shù)的定義域是{x|-1≤x≤1}.返回求下列函數(shù)的定義域:（1）y=2;（2）y=；（3）返回(3)∵1-≥0∴≤1,∴x≥0,即定義域?yàn)閧x|x≥0}.學(xué)點(diǎn)三比較大小比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大?。海?）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.【分析】將所給指數(shù)值化歸到同一指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小；若不能化歸為同一底數(shù)時(shí)，或求范圍或找一個(gè)中間值再比較大小.返回【解析】（1）指數(shù)函數(shù)y=1.7x，由于底數(shù)1.7>1，∴指數(shù)函數(shù)y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函數(shù).∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.（2）函數(shù)y=0.8x，由于0<0.8<1,∴指數(shù)函數(shù)y=0.8x在(-∞,+∞)上為減函數(shù).∵-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2.（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.【評析】比較大小一般用函數(shù)單調(diào)性，而比較1.70.3與0.93.1的大小，可在兩數(shù)間插入1，它們都與1比較大小可得結(jié)論，注意此類題在求解時(shí)，常插入0或±1.返回比較下列各題中數(shù)的大?。?1)-0.8,-0.9;(2)-0.23,-0.25;(3)(3+2),(-1).(1)∵y=x在R上是減函數(shù),又∵-0.8>-0.9,∴(2)∵-0.25=0.25,∴由y=x在R上是增函數(shù)得即.(3)∵,而y=為R上的減函數(shù),∴.即.返回【解析】設(shè)u=-x2+3x+2=,則當(dāng)x≥時(shí),u是減函數(shù),當(dāng)x≤時(shí),u是增函數(shù),又當(dāng)a>1時(shí),y=au是增函數(shù),當(dāng)0<a<1時(shí),y=au是減函數(shù),所以當(dāng)a>1時(shí),原函數(shù)f(x)=a-x+3x+2在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí),原函數(shù)f(x)=在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).2a-x+3x+22學(xué)點(diǎn)四單調(diào)性的判定已知a>0，且a≠1,討論f(x)=a-x+3x+2的單調(diào)性2【分析】這是一道與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)討論單調(diào)性題.指數(shù)-x2+3x+2=當(dāng)x≥時(shí)，是減函數(shù),x≤時(shí)，是增函數(shù),而f(x)的單調(diào)性又與0<a<1和a>1兩種范圍有關(guān),應(yīng)分類討論.返回【評析】一般情況下,兩個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù),則其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù);如果兩個(gè)函數(shù)中一增一減,則其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).但一定要注意考慮復(fù)合函數(shù)的定義域.返回討論函數(shù)f(x)=的單調(diào)性,并求其值域.∵f(x)的定義域?yàn)镽,令u=-x2+2x,則f(u)=.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1］上是增函數(shù),即當(dāng)時(shí)，有.又∵f(u)=在其定義域內(nèi)為減函數(shù),∴.∴函數(shù)f(x)在(-∞,1］上為減函數(shù),同理可得f(x)在［1,+∞)上為增函數(shù).又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,f(u)=在(-∞,1］上是減函數(shù),∴f(u)≥.即f(x)的值域?yàn)榉祷貙W(xué)點(diǎn)五最值問題求函數(shù)y=，x∈［-3,2］的最大值和最小值.【分析】令=t，化函數(shù)為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求解.【解析】令=t,∵x∈［-3,2］,∴t∈,∴y==t2-t+1=,當(dāng)t=時(shí)，y=;當(dāng)t=8時(shí)，y=57.∴函數(shù)的最大值為57,最小值為.【評析】化為二次函數(shù),用配方法求解是一種常用的方法.返回已知函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>1)在區(qū)間［-1,1］上的最大值是14,求a的值.令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a>1,∴t∈.原函數(shù)化為y=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴單調(diào)增區(qū)間是［-1,+∞),∴當(dāng)t∈時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,∴當(dāng)t=a時(shí),=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又∵a>1,∴a=3.返回學(xué)點(diǎn)六函數(shù)的圖象及應(yīng)用【解析】其圖象是由兩部分合成的，一是把y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位，在x≥1的部分，二是把的圖象向右平移1個(gè)單位，在x<1的部分，對接處的公共點(diǎn)為(1,1)，如上圖.【分析】指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)常常由指數(shù)函數(shù)經(jīng)過平移變換、對稱變換、翻折變換等得到，經(jīng)過這些變換其性質(zhì)與圖象將發(fā)生變化.畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象指出這個(gè)函數(shù)的一些重要性質(zhì).返回由圖象可知函數(shù)有三個(gè)重要性質(zhì)：（1）對稱性：對稱軸為x=1;（2）單調(diào)性：(-∞,1］上單調(diào)遞減，［1,+∞)上單調(diào)遞增；（3）函數(shù)的值域：［1,+∞).【評析】作較復(fù)雜函數(shù)的圖象（本題稱分段函數(shù)），要把各部分變換而得到一個(gè)整體，為了表示某部分是某個(gè)函數(shù)圖象的一部分，常畫出一些虛線進(jìn)行襯托，虛線部分不是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，應(yīng)注意區(qū)別.返回畫出函數(shù)y=2x-1+1的圖象，然后指出其單調(diào)區(qū)間及值域.先畫出指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象，然后將其向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位即可，由圖象可看出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞),函數(shù)的值域?yàn)?1,+∞).返回設(shè)a>0，f(x)=在R上滿足f(-x)=f(x).（1）求a的值；（2）證明：f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).【分析】f(-x)=f(x)說明f(x)是偶函數(shù)，由此求a；單調(diào)性只能用定義證明.【解析】（1）因?yàn)閷σ磺衳∈R有f(x)=f(-x)，即，所以對一切x∈R成立.由此可得即a2=1.又因?yàn)閍>0，所以a=1.學(xué)點(diǎn)七指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用返回【評析】指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，研究這些性質(zhì)，使用的方法仍是前面學(xué)習(xí)的基本方法.（2）證明：∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).返回設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(x)=a-(x∈R).（1）證明：不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)均為增函數(shù)；（2）試確定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.(1)證明：設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2，x1-x2<0,則f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)==.由于指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且x1<x2,所