信號(hào)與系統(tǒng)分析(第2版)第6章-5-7

1第6章離散傅里葉變換6.3

離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析6.2離散時(shí)間傅里葉變換6.4離散傅里葉變換6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)6.7快速傅里葉變換簡介6.1引言2

6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算1.周期信號(hào)的頻譜分析2.非周期信號(hào)的頻譜分析3.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}3

1.周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算1.周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)xT(t)的樣本xN[n]與xT(t)的離散頻譜c[k]的關(guān)系：

對(duì)頻帶有限的xT(t)，若一個(gè)周期中抽樣的離散點(diǎn)數(shù)N大于最高諧波次數(shù)km的二倍即：N>2km，則在忽略數(shù)值誤差的情況下，c[k]可以精確計(jì)算：4

1.周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算

若xT(t)頻譜無限分布，用DFT必然會(huì)出現(xiàn)頻普混疊，從而帶來誤差。解決的方法：適當(dāng)提高抽樣頻率，以減少頻譜混疊的影響。一般取兩種不同的抽樣頻率進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)二者的計(jì)算頻譜基本一致時(shí)可認(rèn)為結(jié)果正確。

根據(jù)c[k]求xT(t)在主值區(qū)間離散值：52.非周期信號(hào)的頻譜分析（1）DFT與DTFT的關(guān)系①

有限長DFT離散變化，共N個(gè)點(diǎn)DTFT連續(xù)變化，周期為結(jié)論：DFT是對(duì)DTFT在頻域內(nèi)取N個(gè)點(diǎn)等間隔抽樣的結(jié)果，DFT的包絡(luò)線即為DTFT。2.非周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算6DFT：

DTFT：對(duì)DTFT連續(xù)的頻譜離散化的結(jié)果MATLAB實(shí)現(xiàn)：利用FFT計(jì)算，用繪圖語句stem繪出的離散頻譜圖。

例6-9

非周期離散序列連續(xù)的頻譜，是DFT的包絡(luò)線

MATLAB實(shí)現(xiàn)：利用FFT計(jì)算，用繪圖語句plot繪出的包絡(luò)線，即的連續(xù)頻譜圖。2.非周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算7在分析信號(hào)頻譜的時(shí)候，由于受到計(jì)算能力的影響，只能處理有限長的信號(hào)。這就必須截取時(shí)間函數(shù)的一個(gè)有限范圍，即把觀測到的信號(hào)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)。換句話說，就是要取出信號(hào)的某一個(gè)時(shí)間段。這種過程就是截?cái)鄶?shù)據(jù)的過程。這種截?cái)噙^程相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗，即信號(hào)乘以窗函數(shù)，變成的N點(diǎn)有限長序列，然后可以利用DFT計(jì)算DTFT，N的大小會(huì)影響結(jié)果的準(zhǔn)確性，應(yīng)視情況慎重選擇。②無限長、N越大，間隔越密，在給定的情況下，可補(bǔ)零加大N。

（2）N與譜線間隔DFT對(duì)DTFT離散化的頻譜間隔2.非周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算

①DFT與FT的關(guān)系

（a）關(guān)系8DFT與FT的關(guān)系為：非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換抽樣樣本的頻譜設(shè)在周期延拓時(shí)的頻譜混疊可忽略不計(jì)，由上式得在頻譜的一個(gè)周期內(nèi)（3）非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜分析：用DFT計(jì)算FT2.非周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算9

（b）頻譜換位按上式計(jì)算出的前個(gè)樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)于的頻譜，而后半部分的樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)于向左移位的頻譜，即在負(fù)頻率軸上。由于模擬頻率間隔為，則頻譜中第k個(gè)樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為②利用DFT對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)進(jìn)行FT的參數(shù)選擇 (a)根據(jù)指標(biāo)要求的模擬頻率分辨率來確定抽樣的時(shí)間T

因?yàn)椋核裕?.非周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算10

(d)確定時(shí)域抽樣間隔

(c)確定抽樣點(diǎn)數(shù)N調(diào)整(b)根據(jù)抽樣定理，選擇，即由信號(hào)的

定因?yàn)?，根?jù)對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣后得N點(diǎn)序列

(e)利用DFT的快速算法計(jì)算的FT2.非周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算11例6-10利用DFT方法計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜，要求滿足如下指標(biāo)：頻譜分辨率f0

≤5Hz；信號(hào)的最高頻率fm≤1.25kHz；抽樣點(diǎn)數(shù)等于2的整數(shù)次方。試確定：（1）應(yīng)記錄的信號(hào)長度T；（2）抽樣點(diǎn)數(shù)N；（3）時(shí)間抽樣間隔Ts。2.非周期信號(hào)的頻譜分析6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算解：（1）由于頻率分辨率取決于時(shí)域信號(hào)的長度，其值為（2）根據(jù)信號(hào)的最高頻率，抽樣點(diǎn)數(shù)N要滿足故取N=29=512（3）時(shí)間抽樣間隔123.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}DFT在數(shù)字信號(hào)處理中具有極其重要的地位。在應(yīng)用DFT對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)行處理時(shí)，會(huì)遇到一些具體的問題。正確認(rèn)識(shí)和對(duì)待這些問題對(duì)于分析處理的結(jié)果有至關(guān)重要的作用。一般情況下，待研究的連續(xù)時(shí)間信號(hào)不具備離散性或周期性，也可能有無限長度。為了能利用DFT進(jìn)行分析，應(yīng)對(duì)此波形進(jìn)行抽樣和截?cái)?。這樣一來，勢必會(huì)引入誤差。引入誤差的原因主要有以下幾種：用DFT逼近FT可能出現(xiàn)的問題3.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算13(1)時(shí)限信號(hào)抽樣及頻譜的混疊現(xiàn)象①計(jì)算機(jī)只能處理時(shí)限信號(hào)，對(duì)非時(shí)限信號(hào)應(yīng)先截短；②時(shí)限信號(hào)的頻帶無限，抽樣定理無法實(shí)現(xiàn)，所以頻率混疊不可避免。③減少混頻的措施：a、

應(yīng)盡量取大，這需要大儲(chǔ)存空間和快速計(jì)算設(shè)備；b、先經(jīng)過低通濾波器，濾掉信號(hào)中大于的頻率分量。

3.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算14①頻域抽樣與時(shí)域混疊a、帶限信號(hào)都是非時(shí)限的。帶限信號(hào)的來源b、對(duì)帶限信號(hào)進(jìn)行頻域抽樣條件無法實(shí)現(xiàn)，所以時(shí)域混疊不可避免。②頻譜泄露a、避免時(shí)域混疊的方法：為了利用DFT計(jì)算FT，也為了避免時(shí)域混疊，必須對(duì)帶限信號(hào)（非時(shí)限）在時(shí)域內(nèi)截短，相當(dāng)于乘上一個(gè)矩形窗。這樣可以利用頻域抽樣條件，使得對(duì)信號(hào)的頻域抽樣避免時(shí)域混疊。(2)帶限信號(hào)頻域抽樣及頻譜泄露3.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算15b、由時(shí)域截短造成的頻譜泄露據(jù)傅里葉變換的卷積定理，信號(hào)加窗后的頻譜相當(dāng)于原信號(hào)頻譜與窗信號(hào)的頻譜在頻域作卷積。即圖中所以時(shí)域混疊與頻譜泄露是一對(duì)矛盾。這種卷積過程造成了信號(hào)頻譜的失真。失真頻譜將產(chǎn)生“拖尾”（頻譜延伸擴(kuò)展）現(xiàn)象，使原有受限的頻譜圖形“擴(kuò)展”開來，這種現(xiàn)象就稱之為頻譜泄漏。只要對(duì)帶限信號(hào)進(jìn)行DFT計(jì)算，就必須先截?cái)?，這樣一來，頻譜泄露就無法避免。3.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算16c、減小頻譜泄露的措施由于實(shí)際應(yīng)用的需要，對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)嗍潜仨毜?，所以由此引起的頻譜泄漏也顯然是無法避免的。不過，通過改善窗函數(shù)的形狀，可以達(dá)到減少泄漏的目的。通常的矩形窗在時(shí)域有突變，使得頻域拖尾嚴(yán)重，收斂很慢。為了解決這個(gè)矛盾，人們已經(jīng)研究了各種形式的窗函數(shù)，例如三角窗、布萊克曼窗、海明窗、漢寧窗等，它們都在不同程度上壓低了窗函數(shù)頻譜的旁瓣，減弱了頻率泄漏現(xiàn)象。三角窗

布萊克曼窗

海明窗

漢寧窗Triang

Blackman

Hamming

Hanning3.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算17（3）頻率分辨率和柵欄效應(yīng)①頻率分辨率DFT本身不是非周期、有限長序列的頻譜，而只是頻譜的等間隔抽樣樣本。因此，為了使DFT能更精確地反映原信號(hào)的頻譜FT，在用DFT分析信號(hào)的頻譜時(shí)，就有一個(gè)頻率分辨率的問題。結(jié)論：數(shù)字頻率分辨率與點(diǎn)數(shù)N有關(guān)，模擬頻率分辨率與時(shí)域信號(hào)的持續(xù)時(shí)間T有關(guān)。離散信號(hào)的頻率分辨率N越大分辨率越高。連續(xù)信號(hào)的頻率分辨率T越大分辨率越高，T為信號(hào)長度。3.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算18②柵欄效應(yīng)由于DFT是對(duì)有限長序列的頻譜等間隔抽樣得到的樣本，就相當(dāng)于是在柵欄的一邊通過柵欄的縫隙(對(duì)應(yīng)離散點(diǎn))去觀看另一邊的景象(對(duì)應(yīng)連續(xù)頻譜)，只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象，因此，那些被柵欄擋住的（頻譜）部分是看不到的，這些被遮擋的部分就是未被抽樣所抽到的部分，這就有可能漏掉一些較大頻率分量。我們稱這種現(xiàn)象為“柵欄效應(yīng)”。當(dāng)然，在實(shí)際問題中，“大的頻譜分量”被擋住的情形還是很少的，柵欄效應(yīng)并不是一個(gè)很嚴(yán)重的問題。盡管如此，我們還是有必要討論清楚如何避免或者說減少這種柵欄效應(yīng)。提高分辨率可以減小柵欄效應(yīng)，卻不能消除。以上幾個(gè)問題是DFT使用者必須了解的，否則無法對(duì)計(jì)算出現(xiàn)的問題做出解釋，甚至?xí)?dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。3.數(shù)據(jù)截?cái)鄦栴}6.5信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算196.6離散傅里葉變換的性質(zhì)6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)2.圓周移位3.圓周卷積4.奇偶虛實(shí)性206.6離散傅里葉變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)

1.線性性質(zhì)

若和是兩個(gè)有限長度序列，長度分別為和，則其線性組合的N點(diǎn)DFT為其中，和為常數(shù)，，和分別為和的N點(diǎn)DFT。216.6離散傅里葉變換的性質(zhì)2.圓周移位

2.圓周移位

（1）圓周移位

①對(duì)應(yīng)于DTFT的平移如圖示226.6離散傅里葉變換的性質(zhì)2.圓周移位②對(duì)應(yīng)于DFT的移位b、移位a、c、截取主周期的序列，即乘上矩形窗，得到位移后的序列236.6離散傅里葉變換的性質(zhì)③圓周位移的圖示

右移出去的m個(gè)數(shù)據(jù)從左邊補(bǔ)進(jìn)來，數(shù)據(jù)不少，只是重新排隊(duì)。2.圓周移位246.6離散傅里葉變換的性質(zhì)此性質(zhì)表明，有限長序列圓移位，其DFT等于移位前的DFT再乘上相移因子如果為偶數(shù)時(shí)，若對(duì)圓移位，由于

，故有2.圓周移位

（2）圓移特性

①時(shí)域圓移特性設(shè)為的位圓移序列的DFT為，則的DFT為256.6離散傅里葉變換的性質(zhì)②頻域圓周移位特性：即給序列乘以指數(shù)函數(shù)，其DFT為，圓周移位位。此特性用于卷積計(jì)算。2.圓周移位

3.圓周卷積

卷積定理

線性卷積線性卷積圓周卷積⊙26

（一）時(shí)域圓周卷積（圓周卷積定理）

若和均為點(diǎn)有限長序列，且則點(diǎn)圓周卷積為：⊙⊙（1）時(shí)域圓周卷積定理（只有數(shù)學(xué)定義，無物理意義）6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積27證明：6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積28④每一個(gè)n點(diǎn)圓周卷積的計(jì)算包括：變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位、相乘、求和共5個(gè)步驟。③對(duì)每一個(gè)n點(diǎn)圓移位，先計(jì)算對(duì)應(yīng)各個(gè)m點(diǎn)的乘積，再對(duì)范圍內(nèi)的全部乘積求和。②是把變量代換后的N點(diǎn)序列，

是把變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位后，取其前N

個(gè)點(diǎn)后的N點(diǎn)序列。①圓卷積只在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，圓卷積結(jié)果也為N點(diǎn)有限長序列。

（2）圓周卷積的計(jì)算特點(diǎn)（以⊙為例）6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積29

（3）圓周卷積5個(gè)步驟的圖解變量代換—圓反轉(zhuǎn)—圓移位—相乘—求和以4點(diǎn)圓周卷積為例，全部過程可以用矩陣表示為：6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積30解：（1）變量代換

（2）圓反轉(zhuǎn)把圓反轉(zhuǎn)為（3）圓移位—相乘—求和例6-12

用圖解法求有限長序列，的4點(diǎn)圓卷積。將、的變量置換為，6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積311234n=0h[-m]4123n=1h[1-m]3412n=2h[2-m]2341n=3h[3-m]1234（4）豎式法

481216

369122468

+12341234

4112030201144321

481216

12

3696824

+

23411234242224304321線性卷積圓周卷積6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積32圓周卷積線性卷積線性卷積圓周卷積⊙

6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積33（二）有限長序列的線性卷積與圓周卷積的關(guān)系（1）線性卷積則線性卷積為：（2）圓周卷積與線性卷積相等的條件①二者結(jié)果不同的原因6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積34－3－2－1012N1-1序號(hào)計(jì)算結(jié)果1234000x[m]1234000123h[0-m]y[0]=1×4＝4123400012h[1-m]y[1]=1×3+2×4＝1112340001h[2-m]y[2]=1×2+2×3+3×4＝201234000h[3-m]y[3]=1×1+2×2+3×3+4×4＝300123400h[4-m]y[4]=2×1+3×2+4×3＝200012340h[5-m]y[5]=3×1+4×2＝110001234h[6-m]y[6]=4×1＝4N1N2-1②解決辦法：補(bǔ)零。使和

均有L長：對(duì)上例，補(bǔ)個(gè)零，補(bǔ)個(gè)零。補(bǔ)零后圓卷的計(jì)算結(jié)果等同于線卷。6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積35對(duì)序列補(bǔ)零后求圓卷積。這是因?yàn)閳A卷積可以借助快速傅里葉變換FFT技術(shù)以較高的速度完成運(yùn)算。用DFT進(jìn)行快速線性卷積只需做3次FFT計(jì)算。補(bǔ)零后補(bǔ)零后（三）用DFT進(jìn)行快速線性卷積6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積36注意：若不補(bǔ)零，結(jié)果不是，而是。只有數(shù)學(xué)結(jié)果沒有物理意義。利用FFT計(jì)算卷積與直接卷積的實(shí)數(shù)乘法次數(shù)比較：N1+N2-11612825651210242048直接卷64409616384655362621441048576FFT卷4485888133122969665536143360

序列的點(diǎn)數(shù)越大，用FFT計(jì)算卷積的優(yōu)越性越明顯。6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積37例

有一離散時(shí)間系統(tǒng)，其單位樣值響應(yīng)，輸入信號(hào)。試用DFT方法計(jì)算系統(tǒng)的輸出。n=0:16;L=32h=(0.8).^n;Hk=fft(h，L);x=[ones(1，10)];Xk=fft(x，L);Yk=Hk.*Xk;y=ifft(Yk，L);n=0:31;stem(n，y);

解：先分別求得和的DFT，相乘后再求其逆變換。程序：程序運(yùn)行結(jié)果如圖所示：6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.圓周卷積386.6離散傅里葉變換的性質(zhì)4.奇偶虛實(shí)性

4.奇偶虛實(shí)性若序列為實(shí)序列，其離散傅里葉變換為，則則幅度頻譜為，是偶對(duì)稱函數(shù)，相位頻譜為，是奇對(duì)稱函數(shù)。39N為奇數(shù)N為偶數(shù)根據(jù)對(duì)稱性，實(shí)序列的DFT在時(shí)不需要專門計(jì)算，從而節(jié)省了計(jì)算量。注意：因?yàn)樽兞康娜≈捣秶鸀椋瑢?duì)稱不是關(guān)于原點(diǎn)，而是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱函數(shù)。6.6離散傅里葉變換的性質(zhì)4.奇偶虛實(shí)性401、DFT的重要意義解決了數(shù)字信號(hào)處理的基本問題（時(shí)頻域均離散和有限），給計(jì)算機(jī)編程提供了實(shí)用算法。使FS、FT、DFS、DTFT都可以用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算。2、DFT的問題難以實(shí)時(shí)快速，不能用于自動(dòng)控制、同聲傳譯、自動(dòng)追蹤。只能用于數(shù)據(jù)的事后處理或系統(tǒng)模擬研究。6.7快速傅里葉變換簡介6.7快速傅里葉變換簡介413、DFT的運(yùn)算速度每計(jì)算一個(gè)值需要進(jìn)行N次復(fù)數(shù)相乘和N-1次復(fù)數(shù)相加，對(duì)于N個(gè)點(diǎn)，應(yīng)重復(fù)N次上述運(yùn)算。因此，完成全部DFT運(yùn)算共需次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法。由求的IDFT的計(jì)算量也同樣是次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法。DFT計(jì)算速度提高