材料力學第2章-89000764

第2章桿件的內(nèi)力分析清華大學航天航空學院謝惠民第二章桿件的內(nèi)力分析材料力學(I)清華大學范欽珊

2023年1月31日返回主目錄

引言

平衡微分方程

內(nèi)力圖

結(jié)論與討論第2章桿件的內(nèi)力分析內(nèi)力:相關(guān)概念

引言第2章桿件的內(nèi)力分析WHY桿件的內(nèi)力分析?跳板:固定在立柱---懸臂梁跳水運動在2008北京奧運經(jīng)過13天的激烈角逐，在國家游泳中心里共產(chǎn)生了8枚跳水金牌。中國跳水隊發(fā)揮近乎完美，在奧運會跳水比賽八個項目中，奪得7金1銀3銅，成為此次奧運會跳水項目比賽中的最大贏家。內(nèi)力分析是進行強度分析和設計的基礎(chǔ)分析內(nèi)力的意義:內(nèi)力(InternalForces)深入討論內(nèi)力相關(guān)概念內(nèi)力主矢與內(nèi)力主矩(ResultantForceandResultantMoment)內(nèi)力分量(ComponentsoftheInternalForces)內(nèi)力的正負號規(guī)則(SignRuleofInternalForces)內(nèi)力內(nèi)力主矢與內(nèi)力主矩內(nèi)力(InternalForces)

彈性體受力后，由于變形，其內(nèi)部各點均會發(fā)生相對位移，因而產(chǎn)生相互作用力。F1F3F2Fn

引言(Introduction)回顧

彈性體內(nèi)力的特征:

(1)連續(xù)分布力系.F1FnF3F2

引言(Introduction)(2)內(nèi)力與外力組成平衡力系(截取的局部)F1FRF3MF1FnF3F2內(nèi)力主矢與主矩：將分布內(nèi)力向某一特定點簡化—主矢、主矩

引言(Introduction)內(nèi)力主矢與內(nèi)力主矩(ResultantForceandResultantMoment)內(nèi)力分布力系的簡化結(jié)果內(nèi)力分量:將內(nèi)力主矢和主矩分解而成

引言(Introduction)注意本教材中將桿子的軸線定義為x軸。內(nèi)力分量(ComponentsoftheInternalForces)

FRFNxFQ

引言(Introduction)FNx:沿桿子軸向（x軸）,軸向變形(伸長或縮短),稱為軸力.FQ:橫截面內(nèi),桿件產(chǎn)生剪切變形,稱為剪力.x主矢FR的簡單分解:MMbMxMx使桿件截面繞桿軸轉(zhuǎn)動(扭轉(zhuǎn)變形),稱為扭矩.Mb使桿件產(chǎn)生彎曲變形,稱為彎矩.主矩x主矩M的簡單分解:FRFNxFQ內(nèi)力分量與變形效應相關(guān)聯(lián),這一點是材料力學與理論力學的重要區(qū)別討論主矩和主矢量在正交坐標系下的分解的形式y(tǒng)xzFP1

FP2FRMMzMyMxFQyFQzFNx截面內(nèi)力分解的形式是多種多樣,在x,y,z--坐標系的分解—常用y,z軸如何選取?請分析一下各分量產(chǎn)生變形的特征.

內(nèi)力的正負號規(guī)則

引言(Introduction)WHY進行內(nèi)力正負號規(guī)定?不管研究哪個局部,希望正負號是統(tǒng)一的.FFFFFF內(nèi)力的正負號規(guī)則(SignRuleofInternalForces)同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負號。判斷原則：根據(jù)變形的效果確定正負號FNFN軸力FN使桿件受拉為正，受壓為負軸力FN正負號+用假想截面將桿件切開，切開處不論左、右側(cè)橫截面使截開部分順時針方向轉(zhuǎn)動者為正,反之為負剪力的正負號FQFQ用假想截面將桿件切開，作用在左側(cè)截面上使截開部分逆時針方向轉(zhuǎn)動，或者作用在右側(cè)面上使截開部分順時針方向轉(zhuǎn)動者為正，反之為負。彎矩MB正負號MBMB+MBMB扭矩正負號扭矩矢量與截面外法線一致為正,反之為負轉(zhuǎn)向:按右手法則

平衡微分方程內(nèi)力規(guī)律分析重要內(nèi)容

疊加原理

總體平衡與局部平衡的概念

內(nèi)力與外力的相依關(guān)系

平衡微分方程

平衡微分方程

疊加原理

平衡微分方程

疊加原理

在一定條件下，桿件所有內(nèi)力分量作用的效果，可以視為各個內(nèi)力分量單獨作用效果的疊加。通?？蓺w結(jié)為三組平面內(nèi)內(nèi)力分量的疊加

yxzFP1

FP2FRMMzMyMxFQyFQzFNxFQ

平衡微分方程主矢FR與主矩MMB主矢和主矩在x,y,z下的分解得到6個內(nèi)力分量.xy平面xz平面yz平面xy

平面和xz平面的作用效果是相似的。三組平面內(nèi)內(nèi)力分量的疊加yxzMxyxzFQzMyyxzFQyFN1MzFN2FN1+FN2=FN整體平衡與局部平衡的概念

平衡微分方程整體局部

整體：單個桿件，或者由兩個及兩個以上桿件組成的系統(tǒng).平衡的概念與定義第3章力系的平衡局部：組成桿件的任意一部分。如何得到局部:切.X處切一刀局部有限長桿無限短桿局部：

對于變形體組成物體的任意一部分。由于dx是無窮小量,q(x)在dx長度內(nèi)變化很小,用q(x)表示x和x+dx處切一刀局部：

對于變形體組成物體的任意一部分。在梁內(nèi)軸線上一點,可以切出一個邊長為dx的單元(微單元)微單元FQ

平衡微分方程總體平衡，則其任何局部也必然是平衡的.

總體平衡與局部平衡的概念內(nèi)力與外力的相依關(guān)系

平衡微分方程

平衡微分方程內(nèi)力與外力的相依關(guān)系

某一截面上的內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿件上的外力相平衡；

在荷載無突變的一段桿的各截面上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化(建立圖示坐標)xBCDEFGHIOy在一段桿子上,內(nèi)力按同一種函數(shù)規(guī)律變化,這段桿子的兩個端點截面稱為控制面.控制面的概念如何判斷控制面?

控制面位置：

外力規(guī)律發(fā)生變化截面—集中力兩側(cè)、集中力偶作用點兩側(cè)、分布荷載的起點和終點處的橫截面。

平衡微分方程在一段桿子上,內(nèi)力按一種函數(shù)規(guī)律變化,這段桿子的兩個端點截面稱為控制面.求內(nèi)力分布規(guī)律的兩種方法:截面法控制面法截面法:直接列平衡方程求解內(nèi)力,將內(nèi)力表示為桿件截面位置的函數(shù).截,取,代,平舉例:截面法

一端為固定鉸鏈支座、另一端為輥軸支座的梁，稱為簡支梁(simplesupportedbeam)。梁上承受集度為q的均布載荷作用，梁的長度為2l。

試寫出：該梁的剪力方程和彎矩方程。

qllBAC例題1截面法例題剪力方程與彎矩方程－例題1解：1．確定約束力llBACqFRBFRA

于是，根據(jù)平衡條件不難求得：

Oyx解：2．確定控制面和分段llBACqFRBFRA3．建立Oxy坐標系以梁的左端點為坐標原點，建立Oxy坐標系，

xxFRAFQ(x)M(x)OyxllBACqFRBFRA

解：4．確定剪力方程和彎矩方程由左段梁的平衡條件

在x處切開，將內(nèi)力分量按正方向標在截面上，列出平衡方程

解：4．確定剪力方程和彎矩方程得到梁的剪力方程和彎矩方程分別為

結(jié)果表明，梁上的剪力方程是x的一次函數(shù)；彎矩方程是x的二次函數(shù)。

xxFRAFQ(x)M(x)OyxllBACqFRBFRA連續(xù)性假定應用截面法例題2lxq圖示的懸臂梁,長為l受均布載荷q的作用.試確定剪力方程和彎矩方程約束力找出控制面建立坐標系.研究x處的內(nèi)力,用假想截面在x處截開，平衡方程得到內(nèi)力方程.yABx在截開處標上內(nèi)力（按正方向）?xyxxyFQM列方程結(jié)果表明，梁上的剪力方程是x的線性函數(shù)；彎矩方程是x的二次函數(shù)。

應用控制面法確定內(nèi)力分布的規(guī)律思路:外力找到控制面(外力規(guī)律發(fā)生變化截面)確定控制面上內(nèi)力(平衡)如何確定相鄰控制面之間的內(nèi)力變化規(guī)律（？）研究桿件內(nèi)力的控制面法確定內(nèi)力函數(shù)變化區(qū)間

平衡微分方程(梁)桿件外力與內(nèi)力的關(guān)系分析的思路是具有代表性,可以推廣梁內(nèi)力與外力的關(guān)系:微段--平衡控制面間:取微段,如何取不失一般性?梁平衡微分方程坐標系x-y如圖,假設外力作用在x-y面內(nèi)xyq(x)由于dx是無窮小量,q(x)在dx長度內(nèi)變化很小,變?yōu)榫驾d荷q向上為正.dx

平衡微分方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系FQy+dFQyFQy考察dx

微段的受力與平衡特別注意的是q的正方向是向上為正.

平衡微分方程ΣFy=0:FQy+qdx-FQy－dFQy=0

略去高階項，得到ΣMc=0:-Mz+(Mz+dMz)-FQydx-qdx·dx/2=0

FQy+dFQyFQyCx

FQy

+dFQyFQy

平衡微分方程從數(shù)學表達式看:外力作用于x-y面,內(nèi)力與外力的相依的關(guān)系在x-z面有類似的結(jié)果不失一般性，略去下標，寫成

平衡微分方程綜合兩種情況,寫成統(tǒng)一的式子:微分方程力學意義？幾何意義？微分方程幾何意義:要把三個方程中包含的內(nèi)力函數(shù)的幾何圖形畫出平衡方程MxxFQFQ-xM-x橫軸x:截面位置坐標縱軸:剪力FQ橫軸x:截面位置坐標縱軸:彎矩M類型：剪力圖和彎矩圖。FQ(x)函數(shù)曲線畫出來,剪力圖M(x)函數(shù)曲線畫出來,彎矩圖M的正方向的規(guī)定需要特別注意幾何意義?曲線切線斜率凸凹性載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖在某一點切線斜率等于對應截面處作用在梁上的載荷集度；彎矩圖在某一點切線斜率等于對應截面處剪力的數(shù)值梁的剪力圖為斜直線；彎矩圖為二次拋物線如果一段梁上作用有均布載荷，即q＝常數(shù)，關(guān)于彎矩圖的凸凹性討論M分q<0,q>o討論xqMxq<0qMxq>0均布載荷--彎矩圖二次拋物線的凸凹性彎矩圖凸凹性與載荷集度q的正負有關(guān)：當q為負(向下)時，拋物線為凸曲線，凸的方向與M坐標正方向一致。當q為正(向上)時，拋物線為凹曲線，凹的方向與M坐標正方向一致。內(nèi)力圖----內(nèi)力方程圖形化的表示第6章桿件的內(nèi)力分析控制面法.

梁的剪力圖和彎矩圖

剛架的內(nèi)力圖

內(nèi)力圖

梁的剪力圖和彎矩圖

內(nèi)力圖

剪力圖和彎矩圖找到控制面,確定函數(shù)變化區(qū)間;確定控制面上FQ、M

數(shù)值(平衡);并在坐標系下標注.根據(jù)平衡微分方程可以確定兩控制面之間的FQ、M

的變化圖形。

內(nèi)力圖特別強調(diào):繪制FQ、M圖的需要注意的問題

內(nèi)力圖在FQ–x、M-x坐標的建立時:FQ–x坐標系：FQ縱軸指向(向上為正)M-x:坐標系：M縱軸指向(向下為正)MxxFQ控制面法例題見筆記

例題一

內(nèi)力圖

例題一xQFQxqa/2qa/2FQFQMxMxFQ

內(nèi)力圖剪力最大?彎矩最大?如何驗證內(nèi)力圖的正確性?剪力圖(邊界點剪力值是否正確,切線斜率的正負與q是否一致)彎矩圖(邊界點彎矩值是否正確，凸凹性與q的正負是否對應)例題二xFQxFQqa

內(nèi)力圖FQMxMxqa2/2qa2FQ剪力最大?彎矩最大?注意:A,D為極值點M曲線:BC為光滑

內(nèi)力圖例題三AqaqaFQxABCFQ剪力最大?1/2qa2MxFQ剪力最大?彎矩最大?M曲線:BC不光滑AFQ

討論FQFQ

比較三種情形下梁的受力、剪力和彎矩圖的相同之處和不同之處剪力圖:剪力曲線的斜率相等(q)彎矩:凸凹性相同均布載荷產(chǎn)生的彎矩圖:張弓搭箭FQ研究均布載荷下:彎矩圖特點(直觀)剛架的內(nèi)力圖

內(nèi)力圖火箭發(fā)射支承塔廣播電視塔剛架結(jié)構(gòu)強度設計:內(nèi)力分析廠房剛架結(jié)構(gòu)竣工后的廠房鋼結(jié)構(gòu)廠房

北京奧運主會場主設計師-德梅隆(瑞士)鋼結(jié)構(gòu)是世界上獨一無二鋼結(jié)構(gòu)總重4.2萬噸，最大跨度343米，結(jié)構(gòu)相當復雜，工程總造價22.67億元北京新的旅游亮點輕型鋼結(jié)構(gòu)特點：

鋼材強度高,安全可靠;抗震性好;大跨距，空間使用率高;工業(yè)化程度高，降低造價;

結(jié)構(gòu)造型美觀剛架:由兩個或兩個以上的桿件組成的結(jié)構(gòu),在連接處采用剛性連接的結(jié)構(gòu).P精確的定義特點:連接處采用剛性連接,連接處夾角保持不變.P變形前直角,變形后依然是直角.B’C’

例:左圖平面剛架的組成—橫梁、立柱與剛節(jié)點。立柱剛節(jié)點橫梁

內(nèi)力圖平面剛架各桿件在平面內(nèi)受力和變形在同一平面平面剛架畫內(nèi)力圖（目標）平面剛架的內(nèi)力形式:哪些內(nèi)力?研究:平面剛架的內(nèi)力符號?控制面法畫圖------------請看下面例題平面剛架立柱剛節(jié)點橫梁

內(nèi)力圖內(nèi)力符號?原規(guī)定是否成立?立柱:根據(jù)受力變形的特點(是否為基本形式)?軸力,剪力,彎矩軸力變形和彎曲變形平面剛架的內(nèi)力形式:剛架內(nèi)力正負號剛架：桿件由多根不同方位的桿件構(gòu)成，觀察者視角的不同可能影響觀察結(jié)果有必要研究一下原來桿件內(nèi)力正負號的適用性觀察者1:橫梁在上方觀察者2:橫梁在下方無關(guān)FQFQ有關(guān)無關(guān)FNFN

考察內(nèi)力分量的正負號與觀察者位置的關(guān)系：剛架內(nèi)力正負號軸力、剪力正負號剛架分析中的規(guī)定同前面的桿件內(nèi)力正負號規(guī)定.軸力:拉正,壓負剪力:使截開段順時針轉(zhuǎn)動者為正,反之為負.剛架各桿件的內(nèi)力的正負號規(guī)定M:

不規(guī)定正負但在畫彎矩圖時另有規(guī)定原規(guī)定失效彎矩的正負號MM取微段實際彎矩方向判斷受拉側(cè)畫在受拉側(cè)dx畫彎矩圖時的規(guī)定:按M的實際方向畫在受拉一側(cè)AC上下側(cè)？以水平桿C點為例M畫圖時按變形的實際效果確定,這個標準不隨觀察者視角變化.dxAC標在桿的左右側(cè)？判斷A點彎矩如何標?

畫剛架內(nèi)力圖的要點(1)找到控制面,分別確定控制面的內(nèi)力(軸力、剪力、彎矩)；(2)分別畫出軸力、剪力、彎矩圖：注意無需建立內(nèi)力坐標系；(3)彎矩的數(shù)值標在受拉邊（M不再考慮正負號）;(4)軸力、剪力畫在桿件的任一側(cè)均可，但需標出正負號；*(5)驗證結(jié)果正確性:注意剛節(jié)點處的平衡關(guān)系。立柱剛節(jié)點橫梁

內(nèi)力圖關(guān)注剛節(jié)點的平衡BAC節(jié)點處的平衡關(guān)系

內(nèi)力圖FNFNFQFQM