《自動控制原理71-2》

《自動控制原理》

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第七章（第1、2節(jié)）洛陽理工學院電氣工程與自動化系Ldyichm@163.com郵箱1第7章離散控制系統(tǒng)的分析與校正內(nèi)容提要

離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于離散系統(tǒng)中既包含有連續(xù)信號，又包含有脈沖(采樣或脈沖控制系統(tǒng))或數(shù)碼信號(數(shù)字控制或計算機控制系統(tǒng))，是一個混和信號系統(tǒng)。分析和設計離散系統(tǒng)的數(shù)學工具是Z變換，采用的數(shù)學模型是差分方程、脈沖傳遞函數(shù)。2

離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是離散系統(tǒng)的特征根均位于Z平面的單位圓內(nèi)，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可仿照連續(xù)系統(tǒng)，離散系統(tǒng)的校正有連續(xù)校正和數(shù)字校正，離散周期是離散系統(tǒng)的重要參數(shù)，它對系統(tǒng)的性能有較大影響。3知識要點

離散控制系統(tǒng)的特點，連續(xù)信號的離散化，采樣定理，信號的恢復，保持器，Z變換，差分方程，脈沖傳遞函數(shù)，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，離散系統(tǒng)的分析，離散系統(tǒng)的校正，最小拍控制器。4目錄§7.1離散系統(tǒng)的基本概念§7.2信號的采樣與保持§7.3z變換理論§7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學模型§7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差§7.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析§7.7離散系統(tǒng)的數(shù)字校正5課本圖7-1爐溫采樣控制系統(tǒng)原理圖有一套專門的同步電動機通過減速器帶動凸輪運轉(zhuǎn),使減流器指針周期地上下運動,每隔T秒與電位器接觸一次，每次接觸時間為τ為什么采用采樣控制?不采用連續(xù)控制方式?1采樣控制系統(tǒng)§7.1離散系統(tǒng)的基本概念6圖7-2：電位器輸出電壓信號在圖7-1中，電位器信號是由連續(xù)型的時間函數(shù)e(t)通過采樣開關的采樣而獲得的。采樣開關經(jīng)一定時間T重復閉合，每次閉合叫間為τ，且有τ<T，見圖7-2。7

本章介紹采樣控制系統(tǒng)即線性離散控制系統(tǒng)理論與前幾章討論的連續(xù)控制系統(tǒng)的控制理論不同。

離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)間的根本區(qū)別在于：連續(xù)系統(tǒng)中的控制信號、反饋信號以及偏差信號都是連續(xù)型的時間函數(shù)。在離散系統(tǒng)中則不然，在一般情況下，控制信號是離散型的時間函數(shù)r*(t)，所以取自系統(tǒng)輸出端的負反饋信號在和上述離散控制信號進行比較時，也需要采取離散型的時間函數(shù)b*(t)，于是比較后得到的偏差信號將是離散型的時間函數(shù)，即8圖7-3：離散系統(tǒng)結(jié)構圖因此，在離散系統(tǒng)中，通過控制器對被控對象進行控制的直接作用信號是離散型的偏差信號。上述離散系統(tǒng)的方塊圖示于圖7-3。9

在采樣系統(tǒng)中，采樣開關重復閉合的時間間隔T稱為采樣周期分別稱為采樣頻率及采樣角頻率。其中T代表采樣周期。連續(xù)性時間函數(shù)經(jīng)采樣開關采樣后變成重復周期等于采樣周期的時間序列。該時間序列通常在連續(xù)型時間函數(shù)上打*號來表示。這種時間序列屬于離散型時間函數(shù)。10圖7-4：離散系統(tǒng)簡化結(jié)構圖在圖7-3中，兩個采樣開關的動作一般是同步的，因此，圖7-3所示離散系統(tǒng)方塊圖可等效地簡化成圖7-4。11離散控制系統(tǒng)的應用范圍非常廣泛，一般離散控制系統(tǒng)的構成如圖7-5所示。圖7-5：離散控制系統(tǒng)結(jié)構圖采樣器122、數(shù)字(計算機)控制系統(tǒng)

數(shù)字控制系統(tǒng)是一種離散型的控制系統(tǒng)，只不過是通過數(shù)字計算機閉合而已。因此，它包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計算機(或?qū)Ｓ玫臄?shù)字控制器)和具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象兩大部分，其方塊圖如圖7-6所示。圖中，有用于控制目的的數(shù)字計算機，或數(shù)字控制器，它構成控制系統(tǒng)的數(shù)字部分，通過這部分的信號均以離散形式出現(xiàn)。被控對象一般用G(s)表示是系統(tǒng)的不可變部分，它是構成連續(xù)部分的主要成分。13圖7-6：數(shù)字(計算機)控制系統(tǒng)結(jié)構圖數(shù)字控制器143、離散控制系統(tǒng)的特點1)由數(shù)字計算機構成的數(shù)字校正裝置，效果比連續(xù)式校正裝置好，由軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活；2）采樣信號，特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)的抗擾能力；3）允許采用高靈敏度的控制元件，以提高系統(tǒng)的控制精度；4）可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng)，提高設備的利用率，經(jīng)濟性好；5）對于具有傳輸延遲，特別是大延遲控制系統(tǒng)，可引入采樣的方式穩(wěn)定。15拉氏變換方法建立系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(出現(xiàn)了復變函數(shù)s的超越函數(shù)，引入Z變化)，建立離散系統(tǒng)數(shù)學模型---脈沖傳遞函數(shù)。分析穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差計算、時間響應分析及系統(tǒng)校正等。4、離散控制系統(tǒng)的研究方法16§7.2信號的采樣與保持

1采樣過程實現(xiàn)采樣控制首先遇到的問題，就是如何把連續(xù)信號變換為脈沖序列的問題。按一定的時間間隔對連續(xù)信號進行采樣，將其轉(zhuǎn)換為相應的脈沖序列的過程稱為采樣過程。實現(xiàn)采樣過程的裝置叫采樣器或采樣開關。17實際采樣系統(tǒng)如圖7-10所示。采樣器可以用一個周期性閉合的開關來表示，其閉合周期為T，每次閉合時間為τ。理想采樣系統(tǒng)如圖7-11所示。在實際上，由于采樣持續(xù)時間τ通常遠小于采樣周期T，也遠小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù)，因此，在分析采樣系統(tǒng)時，可近似認為τ趨近于0。在這種條件下，當采樣開關的輸入信號為連續(xù)信號e(t)時，其輸出信號e*(t)是一個脈沖序列，采樣瞬時e*(t)的幅值等于相應瞬時e(t)的幅值，即e(0T)、e(T)、e(2T)……e(nT)

。18圖7-10：實際采樣過程圖7-11：理想采樣過程相乘19采樣過程可以看成是一個脈沖調(diào)制過程。理想的采樣開關相當于一個單位理想脈沖序列發(fā)生器，它能夠產(chǎn)生一系列單位脈沖。

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采樣過程的數(shù)學描述20采樣開關相當于一個單位脈沖發(fā)生器，采樣信號的調(diào)制過程如圖所示。圖7-11：采樣信號的調(diào)制過程理想采樣過程21采樣定理(shannon定理)

由于它給出了從采樣的離散信號恢復到原連續(xù)信號所必需的最低采樣頻率，所以在設計離散系統(tǒng)時是很重要的。

3采樣定理22在這里，關于采樣定理做一簡單介紹。則有采樣信號取拉氏變換23上式表明，采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)是以ωs為周期的周期函數(shù)。另外，上式還表示了采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)與連續(xù)函數(shù)拉氏變換式E(s)之間的關系。通常E*(s)的全部極點均位于s平面的左半部，因此可用jω代替上式中的復變量s，直接求得采樣信號的傅氏變換：上式即為采樣信號的頻譜函數(shù)。它也反映了離散信號頻譜和連續(xù)信號頻譜之間的關系。

7-1124一般說來，連續(xù)函數(shù)的頻譜是孤立的，其帶寬是有限的，即上限頻率為有限值(見圖7-12（a）)。而離散函數(shù)e*(t)則具有以ωs

為周期的無限多個頻譜，如圖7-12（b）所示。在離散函數(shù)的頻譜中n=0的部分E(jω)／T稱為主頻譜。它對應于連續(xù)信號的頻譜。除了主頻譜外，E*(jω)還包含無限多個附加的高頻頻譜。為了準確復現(xiàn)采樣的連續(xù)信號，必須使采樣后的離散信號的頻譜彼此不重疊，這樣就可以用一個比較理想的低通濾波器，濾掉全部附加的高頻頻譜分量，保留主頻譜。25

圖7-12：連續(xù)及離散信號的頻譜

26由圖7-13可見，相鄰兩頻譜互不重迭的條件是ωs≥2ωmax

如果滿足條件，并把采樣后的離散信號e*(t)加到如圖7-15所示特性的理想濾波器上，則在濾波器的輸出端將不失真地復現(xiàn)原連續(xù)信號(幅值相差l／T倍)。倘若ωs<2ωmax,則會出現(xiàn)圖7-13所示的相鄰頻譜的重疊現(xiàn)象，這時，即使用理想濾波器也不能將主頻譜分離出來，因而就難以準確復現(xiàn)原有的連續(xù)信號。27綜上所述，可以得到一條重要結(jié)論，即只有在ωs≥2ωmax的條件下，采樣后的離散信號e*(t)才有可能無失真地恢復到原來的連續(xù)信號。這里2ωmax為連續(xù)信號的有限頻率。這就是香農(nóng)(Shannon)采樣定理。由于它給出了無失真地恢復原有連續(xù)信號的條件，所以成為設計采樣系統(tǒng)的一條重要依據(jù)。28

4采樣周期得選取采樣周期T選得越小，即數(shù)字采樣角頻率ωs選得越大，對控制過程的信息獲得越多，控制效果越好。但是采樣周期T選得過小，將增加計算負擔，造成實現(xiàn)較復雜控制規(guī)律得困難，而且采樣周期選取小到一定程度后，就沒有多大得實際意義。反之，采樣周期選取得過大，又會給控制系統(tǒng)帶來較大誤差，降低控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，甚至有可能導致整個控制系統(tǒng)失去穩(wěn)定。采樣周期的選取取決于系統(tǒng)的性能指標。見《胡壽松課本》p282表7－1從頻域性能指標來看，隨動系統(tǒng)的數(shù)字采樣角頻率可近似取為ωs

＝10ωc，即采樣周期為：從時域性能指標來看，數(shù)字采樣周期可近似取經(jīng)驗公式為：295采樣信號保持器實現(xiàn)采樣控制遇到的另一個重要問題，是如何把采樣信號恢復為連續(xù)信號。根據(jù)采樣定理，在滿足ωs≥2ωmax的條件下，離散信號的頻譜彼此互不重疊。這時，就可以用具有圖7-15特性的理想濾波器濾去高頻頻譜分量，保留主頻譜，從而無失真地恢復原有的連續(xù)信號。30圖7-15：理想濾波器頻率特性31但是，上述的理想濾波器實際上是不能實現(xiàn)的。因此，必須尋找在特性上接近理想濾波器，而且在物理上又是可以實現(xiàn)的濾波器。在采樣系統(tǒng)中廣泛采用的保持器就是這樣一種實際的濾波器(保持器)。

保持器是一種時域的外推裝置，即根據(jù)過去或現(xiàn)在的采樣值進行外推。32（1）零階保持器通常把具有恒值、線性和拋物線外推規(guī)律的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。其中最簡單、最常用的是零階保持器。零階保持器是一種按照恒值規(guī)律外推的保持器。它把前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)不增不減地保持到下一采樣時刻(n+1)T，其輸入信號和輸出信號的關系如下圖。33圖零階保持器：輸入和輸出關系34由圖可見，零階保持器的輸出信號是階梯信號。它與要恢復的連續(xù)信號是有區(qū)別的，包含有高次諧波。若將階梯信號的各中點連接起來，可以得到比連續(xù)信號退后T／2的曲線。這反映了零階保持器的相位滯后特性。35零階保持器的傳遞函數(shù)零階保持器頻率特性（如圖7-18）36圖7-18零階保持器頻率特性37零階保持器具有如下特性低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明零階保持器基本上是一個低通濾波器，但與理想濾波器特性相比，在ω=ωs/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止頻率不止一個，所以零階保持器允許主要頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過,從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。38相角特性：由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角遲后，且隨的增大而加大，在ω=ωs/2時，相角遲后可達－180o，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。時間遲后：零階保持器的輸出為階梯信號eh(t)其平均響應為e[t－(T/2)],表明