2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

競競賽之2009年初中數(shù)第一試

根,則(a2-1)(b2-1)的最小值 DE∥BCACEDF∥ACBC7設(shè)a -1. 73a3+12a2-6a-12= )(A) (B)(C)47+ (D)47+在△ABC中,最大角A是最小角C的2,且AB=7,AC=8.則BC=(.

n.則四邊形DECF的面積 a2+b2=1,|1-2a+b|+2a+1=b2-a2則a+b 設(shè)ab是正整數(shù),且滿足 15a2(A (B10 (D)7 是整數(shù).則這樣的有序數(shù)對(duì)(a,b)共有2[x]表示不超過x的最大整數(shù).則方程x2-2[x]-3=0的解的個(gè)數(shù)為( ).(A) (B) (C) (D)設(shè)正方形ABCD的中心為O

對(duì)A個(gè)點(diǎn)ABCDO為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè),它們的面積相等的概率為().

20)yx2+bxcc<0)的圖像與x軸的交點(diǎn)分別為AB與y軸的交點(diǎn)為C.ABC的外接圓的圓心(A)

(B)7

(C)2

(D)7

為

(1)證明 P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為1ABCDAB3BC2,以BC為直徑在矩A作AE.則sinCBE=().

點(diǎn)2)AB恰好為P2bc的值二、25CDRt△ABC,(A)3(C)3

(B)3(D

AC3BC4求I1a+b+c= b+c-a+c+a-b+a+b-c=1 設(shè)n是大于1909的正整數(shù).則使 2009n-1909 證明:以a、b、c為三邊長可構(gòu)成一個(gè)為完全平方數(shù)的n有 2009 直角三角形(A) (B) (C) (D)已知t是實(shí)數(shù).若ab是關(guān)于xx2-2x+t-1=0

B二、(25分)在△ABC中,已 ACB90,AB上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)AMBNPQPM、QN的中點(diǎn)分別為EF.:EF∥AB.三、25分)同A卷第三題C一、20分)同A卷第一題二、25分)同B卷第二題a+b+c= b+c-a+c+a-b+a+b-c=1

x]3,x29x3個(gè)解容易知道以五個(gè)點(diǎn)ABCDO為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形都是等腰直角三角形,它們可以分為兩類:ABCD這樣的三角形有4它們的面積都為1;2 )是否存在以ab、c為三邊長的三角形?如果存在求出三角形的最大內(nèi)角.第一試一1.a=7-1

ABCDO414以五個(gè)點(diǎn)ABCDO為頂點(diǎn)可4+4=8個(gè)三角形.從中任意取出兩個(gè)28種取法要使取出的兩個(gè)三角形的面積相等則只能都取1或都取自2)a2=8-27=6-2a]a2+2a=3a312a2-6a-=3a(a2+2a)+6a2-6a-

12種

.=. =6a2+12a-12=6×6-12= 2CA至點(diǎn)D使ADAB.則D=ABD= CAB 2

設(shè)BC的中點(diǎn)為O聯(lián)結(jié)OE因?yàn)锳BBC,AEOE,所以,ABOE四點(diǎn)共圓.故BAE=COE.ABAE,OCOE△AB 因此,CE 故 圖

BE=

=3]BE=]BDCDAB=]

又CEBE,BC BE2+CE2=BD ]BD2=AB·CD=7×(8+7BD

故 CB = 10 C=D,則BC=BD x2-32xx

2009-na.n-1 100-a則x2-3≤2x,即x2-2x-3≤0.解得-1 2009-n =a-≤3x-1012,當(dāng)[x]=-1時(shí),x2=1,解得x=- +

)故

=m2x0x23無符合條件的解;x1x25無符合條件的解;[x]2,x27解得x=7;

m1,2,3,7上式a50,20,10,因此,使得n-1 ==2009- 4

+a-

a為有理數(shù)41959,1989,1999,2二1.-因?yàn)閍、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+t-10

令a=p2(p N+,且(p,q)=1).aq2bp2q2|15]qΔ=(-2)2-4(t-1)ab=t-1≥0,a+b=2

]

=p(15=1 N)(+故(a2-1)(b2-1)=(ab)2-(a2+b2)+ =(ab)2-(a+b)2+2ab+=(t-1)2-4+2(t-1)+1=t2-

,1+1=k -

當(dāng)t1,a2-1)(b2-1)2m

m≥1,p≥12,k1,2,3,當(dāng)k1

=p+mS△AD △ABC]ADS

1+

1](p-2)(m-2)=2 △BAC]BDS△ADEm F=AD+BD=n=1]S=(m+n)所以四邊形DECF的面積

p,m)=4,4)3,6)6,k2,p,m)=2,k3時(shí),p,m)=2,1)1,k4,p,m)=1,a,b)7:240,240),135,540),540,135),(60,60),(60,15),(15,60),(15, +n2-m-n2m A3.-a2b21-1≤a≤1,-|1-2ab|+2a1=b2-a2|1-2a+b|=b2-a2-2a-=1-a2-a2-2a-1=-2a2-]-2a2--1≤a≤0,1-2a,1-2ab=-2a2-2a即1+b=-2a2=-21-b2.2b2-b-3b=-1,b=3(

b=-11+b=-2a2a,ab=-1)C0,cAx1,0Bx2,0).x1+x2=-b,x1x2=設(shè)Py因?yàn)锳BCD是P的兩條相它們的交點(diǎn)為O所以,

故 OA·OB|x1x2 |c|= |c | c0C在y軸的負(fù)半軸上Dy軸的正半軸上,因?yàn)锳BCD,如果AB恰好 C0,-1)]c=-1.(x+x)-4xb2+(x+x)-4xb2+ =2( N+). (-b)2-4c則 =1AB·OC=

b(c-a+b)+c(a+b+c)]=b2+×1b2+△AB ](b-c+ 解得b=±2 [2ab-a-b+c]=二3,I1EAB于點(diǎn)E,I2AB于點(diǎn)F.Rt△ABC中AC2+AC3AC2+AB=又CDAB, 圖

](b-c+a)[c2-(a-b)2]=](b-c+a)(c+a-b)(c-a+b)=0.故b-ca0ca-b0或c-ab0baccab或cb以a、b、c為三邊長可以構(gòu)成一 BAD=AB=5BD=ABAD=16CD5

一A卷第一題=5 二I1ERt△ACD

4,因?yàn)锽NABC的平分IE=1(AD+CD-

=3

DI1DI2DI1DI2ADC、BDC的平分線.故

又 I1DI2=90]I1 3

I2DB

AB, 圖DI1

=3

BQH= sinAD同理,I 4,D

sin45°5 = CBN CQ DI+DDI+D

5=

由F是QN的中點(diǎn),知CFQN.所以,CFB=90°=CHB.b+c-ac+a-ba+b-c ](b+c)2- (c+a)2-+

(a+b+c)=(a+b)2-

FBH FBC,則FC=FCH的中垂線上ECH的中垂線上 -4 (b+c)2-]

=(a =(a+b)2-因此 =,.又因?yàn)橐浴?](b