第8章 時(shí)域離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)

第8章時(shí)域離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)本章內(nèi)容:8.4格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.3IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.2FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.1引言8.1引言時(shí)域離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法:(a)軟件實(shí)現(xiàn)：按所設(shè)計(jì)的軟件在通用的計(jì)算機(jī)運(yùn)行數(shù)字信號(hào)處理程序。優(yōu)點(diǎn)：經(jīng)濟(jì)，一機(jī)可以多用.缺點(diǎn)：處理速度慢.(b)硬件實(shí)現(xiàn)：用加法器、乘法器和延時(shí)器等組成的專用數(shù)字網(wǎng)絡(luò)設(shè)備,以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的處理運(yùn)算.優(yōu)點(diǎn)：處理速度快,容易做到實(shí)時(shí)處理.缺點(diǎn)：不靈活,開發(fā)周期較長(zhǎng),且設(shè)備只能專用.在實(shí)際應(yīng)用中,通常采用軟硬件結(jié)合實(shí)現(xiàn).數(shù)字濾波器的表示方法:(a)常系數(shù)線性差分方程:（b）數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：實(shí)現(xiàn)方法數(shù)字信號(hào)處理器中的基本運(yùn)算單元加法器方框圖乘法器單位延時(shí)基本運(yùn)算單元流圖本章重點(diǎn)討論下述內(nèi)容IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)FIR濾波器的直接型、級(jí)聯(lián)型、線性相位結(jié)構(gòu)，理解頻率抽樣型結(jié)構(gòu)

數(shù)字濾波器的格型結(jié)構(gòu)8.2FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)差分方程：系統(tǒng)函數(shù)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：N：FIR濾波器的長(zhǎng)度N-1：濾波器的階數(shù)FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn):(a)沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，非遞歸型結(jié)構(gòu)。(b)N-1階濾波器，N為濾波器的長(zhǎng)度，有N-1個(gè)零點(diǎn)分布于z平面，z=0處是N-1階極點(diǎn)。(c)其單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)序列。設(shè)N點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在Z模值大于0處收斂，有限z平面只有零點(diǎn)，全部極點(diǎn)在z=0

處（因果系統(tǒng)）本節(jié)主要講述：8.2.1FIR直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)8.2.2線性相位結(jié)構(gòu)8.2.3FIR頻率采樣結(jié)構(gòu)8.2.4快速卷積法FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的五種實(shí)現(xiàn)方法（1）直接型結(jié)構(gòu)（2）級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)（3）線性相位型結(jié)構(gòu)（4）頻率取樣型結(jié)構(gòu)（5）快速卷積法8.2.1FIR直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)1.FIR直接型結(jié)構(gòu)（卷積型、橫截型）按照H(z)或者差分方程直接畫出結(jié)構(gòu)圖。如圖8.2.1所示。特點(diǎn)：?jiǎn)挝谎訒r(shí)器串聯(lián)，有抽頭，稱為延時(shí)線；簡(jiǎn)單直觀，乘法運(yùn)算量少，但不易調(diào)整零點(diǎn).N-1個(gè)延時(shí)器N個(gè)乘法器N-1個(gè)加法器2.FIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式：這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。例8.2.1

設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解:將H(z)進(jìn)行因式分解，得到：它的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)分別如下圖所示:

級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)中:每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)控制一個(gè)零點(diǎn),調(diào)整零點(diǎn)只需調(diào)整該因式的兩個(gè)系數(shù);二階網(wǎng)絡(luò)控制一對(duì)零點(diǎn),調(diào)整它也只需調(diào)整該因式的三個(gè)系數(shù).相對(duì)于直接型結(jié)構(gòu)來說，F(xiàn)IR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點(diǎn):1）每個(gè)基本節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)，調(diào)整零點(diǎn)方便。2）需要對(duì)系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行因式分解，系數(shù)比直接型多，所需的乘法運(yùn)算多。MATLAB函數(shù)：直接型到級(jí)聯(lián)型的轉(zhuǎn)換：[sos,g]=tf2sos(b,1)級(jí)聯(lián)型到直接型的轉(zhuǎn)換：[b,a]=sos2tf(sos,g)FIR濾波器單位抽樣響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，且滿足：第一類偶對(duì)稱：第二類奇對(duì)稱：對(duì)稱中心在(N-1)/2處，這種FIR濾波器具有嚴(yán)格線性相位。8.2.2線性相位結(jié)構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)具有線性相位,它的單位脈沖響應(yīng)滿足下式：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，令m=N-n-1根據(jù)線性相位結(jié)構(gòu)流圖,和直接型結(jié)構(gòu)比較：如果N取偶數(shù),直接型需要N個(gè)乘法器,而線性相位結(jié)構(gòu)需要N/2個(gè),節(jié)約了一半的乘法器；如果N取奇數(shù),則乘法器減少到(N+1)/2個(gè),同樣也節(jié)約了一半的乘法器.b=[100016+1/160001];a=1;[sos,g]=tf2sos(b,1)sos=1.0000-2.82844.00001.0000001.00002.82844.00001.0000001.00000.70710.25001.0000001.0000-0.70710.25001.000000g=18.2.3FIR頻率采樣結(jié)構(gòu)根據(jù)頻率采樣定理,在頻率的區(qū)間,對(duì)系統(tǒng)的傳輸函數(shù)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣,如果N大于等于系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度M,不會(huì)引起信號(hào)失真,系統(tǒng)函數(shù)和采樣值之間服從下面的內(nèi)插關(guān)系：

其中，其中，其中子系統(tǒng)：是N節(jié)單位延時(shí)單元的梳狀濾波器，在單位圓上有N個(gè)等間隔角度的零點(diǎn)：頻率響應(yīng)：與第k個(gè)零點(diǎn)相抵消，使該頻率處的頻率響應(yīng)等于H(k)一階網(wǎng)絡(luò)，單位圓上有N個(gè)極點(diǎn)：子系統(tǒng)：頻率采樣結(jié)構(gòu)是由一個(gè)梳狀濾波器和N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行級(jí)聯(lián)而成.其結(jié)構(gòu)如下圖所示頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)：（1）調(diào)整H(k)就可以有效地調(diào)整頻響特性。（2）若h(n)長(zhǎng)度相同，除了各支路增益H(k)不同，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完全相同，便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。（1）系數(shù)多為復(fù)數(shù)，增加了復(fù)數(shù)乘法和存儲(chǔ)量。（2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來保證的，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)：8.2.4快速卷積法

對(duì)于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積,可以采用DFT(FFT)計(jì)算,從而使運(yùn)算速度加快.同樣,輸入序列是無限長(zhǎng)的,也可采用FFT計(jì)算卷積,但需要應(yīng)用重疊相加法或重疊保留法(詳見本書第三章).對(duì)于IIR網(wǎng)絡(luò),其單位脈沖響應(yīng)是無限長(zhǎng)的,因此無法采用FFT算法實(shí)現(xiàn).利用快速卷積法實(shí)現(xiàn)是FIR濾波器的一個(gè)優(yōu)點(diǎn).8.3IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn):信號(hào)流圖中含有反饋支路,即含有環(huán)路,遞歸型結(jié)構(gòu)；單位脈沖響應(yīng)序列是無限長(zhǎng)的.差分方程：系統(tǒng)函數(shù)：其網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)有直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型三種本節(jié)主要講述：8.3.1IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.3.2IIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)8.3.3IIR并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.3.4轉(zhuǎn)置型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.3.1IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)考慮N階差分方程,即：其系統(tǒng)函數(shù)：令,

其中取M=N=2,H(z)的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下圖(a)所示將H1(z)和H2(z)交換位置,結(jié)點(diǎn)變量w1=w2，即輸入結(jié)點(diǎn)變量相等，對(duì)應(yīng)延時(shí)支路輸出結(jié)點(diǎn)變量相等,其結(jié)構(gòu)圖如下圖觀察上圖,結(jié)點(diǎn)w1=w2,前后延時(shí)支路合并,可以得到下圖8.3.1(c)所示的IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由于

由上圖可以看出，IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)需要M+N+1次乘法，M+N次加法，延時(shí)單元數(shù)為M和N中較大的數(shù).典范型IIR直接型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：可直接由傳輸函數(shù)或差分方程畫出網(wǎng)結(jié)構(gòu)流圖，簡(jiǎn)單直觀。缺點(diǎn):（1）調(diào)整零、極點(diǎn)困難；（2）對(duì)參數(shù)的量化非常敏感，這是由極點(diǎn)對(duì)系數(shù)的變化過于敏感造成的；（3）容易產(chǎn)生較大誤差。例8.3.1

設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為寫出系統(tǒng)的差分方程,并畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu).解:由系統(tǒng)函數(shù)H(z)寫出差分方程如下：可根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)或差分方程畫出直接型結(jié)構(gòu)如下圖所示8.3.2IIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)將濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母分解為一階和二階實(shí)系數(shù)因子之積的形式.畫出各二階基本網(wǎng)絡(luò)的直接型結(jié)構(gòu)，再將它們級(jí)聯(lián)。除實(shí)數(shù)極、零點(diǎn)外，共軛零點(diǎn)放在一起；共軛極點(diǎn)放在一起，形成實(shí)系數(shù)二階因式連乘形式。例8.3.2

設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：試畫出其級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解:將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到：

b=[8-411-2]；a=[1-5/43/4-1/8]；[sos,g]=tf2sos(b,a)sos=1.0000-0.190001.0000-0.250001.0000-0.31001.31611.0000-1.00000.5000g=88.3.3IIR并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)將濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開成部分分式之和，每部分可用一個(gè)一階或二階網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)畫出各二階基本網(wǎng)絡(luò)的直接型結(jié)構(gòu)，再將它們并聯(lián)。例8.3.3

假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式畫出它的并聯(lián)型結(jié)構(gòu).解:將系統(tǒng)函數(shù)展開成下式將式中的每一部分畫成直接型結(jié)構(gòu),再進(jìn)行并聯(lián)可以得到并聯(lián)型結(jié)構(gòu),如下圖示并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)：（1）調(diào)整極點(diǎn)方便（因?yàn)橐浑A網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，二階網(wǎng)絡(luò)決定對(duì)共軛極點(diǎn)）（2）運(yùn)算誤差最小，運(yùn)算速度最高。（3）系數(shù)量化誤差敏感度低。缺點(diǎn)：當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)階數(shù)較高時(shí)，部分分式展開較難，并且調(diào)整零點(diǎn)不如級(jí)聯(lián)型方便。[C,B,A]=dir2par(b,a)I=cplxcomp(p1,p2)C=-18B=-10.0500-3.950028.1125-13.3625A=1.00001.00000.50001.0000-0.2500-0.1250b=[1,-3,11,-27,18];a=[16,12,2,-4,-1];[C,B,A]=dir2par(b,a)8.3.4轉(zhuǎn)置型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)將一個(gè)實(shí)系數(shù)線性時(shí)不變系的結(jié)構(gòu)流圖中所有支路方向翻轉(zhuǎn),增益不變,輸入和輸出位置交換,即可形成原網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)置型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),系統(tǒng)傳輸函數(shù)不變.例8.3.4

系統(tǒng)函數(shù)直接型結(jié)構(gòu)及其轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)分別如下圖(a)和(b)所示

[例]已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫出其直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。(a)直接型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為:(b)級(jí)聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為一階、二階實(shí)系數(shù)分式之積(c)并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為部分分式之和的形式8.4格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)既可用于FIR系統(tǒng),也可用于IIR系統(tǒng),這種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是:對(duì)有限字長(zhǎng)效應(yīng)的敏感度低,適合于遞推算法,在一’般數(shù)字濾波器、自適應(yīng)濾波器和線性預(yù)測(cè)等有廣泛的應(yīng)用.可以分為：全零點(diǎn)(AZ)濾波器的格型結(jié)構(gòu)全極點(diǎn)（AP）濾波器的格型結(jié)構(gòu)有極點(diǎn)和零點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)本節(jié)主要從以下幾個(gè)結(jié)構(gòu)分節(jié)講述：8.4.1全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.4.2全極點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.4.3有極點(diǎn)和零點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)8.4.1全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)AZ系統(tǒng)的基本格形單元1全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)—FIR格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)，由高階系數(shù)遞推各低階反射系數(shù)Kp該流圖可以看作是由如下圖示的基本單元級(jí)聯(lián)而成的.根據(jù)右圖寫出差分方程:

進(jìn)行Z變換,得

寫成矩陣形式:

8.4.38.4.4將N個(gè)基本單元級(jí)聯(lián)后,得令,輸出為從而得到全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為系數(shù)給定后,由上式可以求出網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù).2由FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換到全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)：式中，是FIR網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)，令，得到式中，遞推公式：例8.4.1

k=tf2latc(b)b=latc2tf(k)b=[1-0.90.64-0.576