第七章 直梁的彎曲

第七章

直梁的彎曲第一節(jié)彎曲的概念第二節(jié)梁彎曲時橫截面的內(nèi)力第三節(jié)梁純彎曲時的正應(yīng)力第四節(jié)梁彎曲時正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算第一節(jié)

彎曲的概念橋板墻樓板1.基本概念7-1F梁：通常將只發(fā)生彎曲變形（或以彎曲變形為主）的構(gòu)件稱為梁。常用梁截面桿件受到與軸向垂直的力的作用發(fā)生變形，稱為彎曲變形。

平面彎曲：當(dāng)梁具有縱向?qū)ΨQ平面時，如果作用在梁上的所有外力和力偶都在縱向?qū)ΨQ平面之內(nèi)，則變形后梁的軸線將是該平面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲變形形式稱為平面彎曲。這是彎曲問題中最基本也是最重要的一種變形形式。

（l）簡支梁

梁的兩端均有約束，一端可簡化為固定鏈支座，另一端可簡化為活動鉸支座的梁稱為簡支梁。2.梁的基本形式ABP2P1YAYBXAABP1P2MAYAXA

（2）懸臂梁一端為固定端、另一端自由的梁稱為懸臂梁。P1P2ABCYAYBXA

（3）外伸梁若簡支梁有一端或兩端伸出支座之外，則為外伸梁。

梁的計(jì)算簡圖

在計(jì)算簡圖中，通常以梁的軸線表示梁。作用在梁上的載荷，一般可以簡化為三種形式:1.集中力:2.集中力偶:3.分布載荷(均

布載荷)

第二節(jié)梁彎曲時橫截面的內(nèi)力1.基本概念

梁的彎曲內(nèi)力有與橫截面平行的剪力Q和使梁的軸線發(fā)生彎曲的彎矩M。

2.剪力和彎矩的計(jì)算

以圖a所示的簡支梁為例，用截面法來計(jì)算梁橫截面上的彎曲內(nèi)力。先用平衡方程求出約束反力

再取左段梁（圖c）為研究對象，取橫截面的形心O為矩心，列平衡方程，計(jì)算彎曲內(nèi)力：剪力Q和彎矩M。

若取右段梁（圖d）為研究對象，同樣可求得剪力Q和彎矩M為：

計(jì)算彎曲內(nèi)力－剪力與彎矩的一般步驟是：先根據(jù)梁的外載荷求出約束反力；然后用截面法，根據(jù)外載荷和約束反力，利用平衡方程求出剪力和彎矩。

3.剪力與彎矩的符號規(guī)定

對剪力和彎矩的正負(fù)作出如下規(guī)定：⑴截面上的剪力使所取梁段有順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢時為正；反之為負(fù)；⑵截面上的彎矩使所取梁段產(chǎn)生向下凸的變形時為正；反之為負(fù)。橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于其左段或右段梁上所有外力的代數(shù)和；橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于其左段或右段梁上所有外力對該截面形心的力矩的代數(shù)和。

外載荷正負(fù)號規(guī)定：

左上右下生正剪，左順右逆生正彎

一般情況下，應(yīng)先按彎矩、剪力的符號規(guī)定，假設(shè)截面上的彎矩和剪力為正方向，然后由平衡方程計(jì)算截面上的彎矩、剪力。若結(jié)果為正，則說明假設(shè)的正方向是正確的，即該截面上的彎矩、剪力為正；若結(jié)果為負(fù)，則說明彎矩、剪力的實(shí)際方向相反，即為負(fù)?；蛘撸篬例7.1]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。xy解：截面法求內(nèi)力。

1--1截面處截取的分離體

如圖（b）示。圖（a）qqLab1122qLQ1AM1圖（b）x12--2截面處截取的分離體如圖（c）xy圖（a）qqLab1122qLQ2BM2x2圖（c）

4.剪力圖和彎矩圖

以截面離梁的某一端（左端）的距離x來表示截面的位置，剪力Q就是一個x的函數(shù)Q=Q（x），這個關(guān)系式稱為剪力方程。相應(yīng)地，表示彎矩的方程M=M（x）則稱為彎矩方程。剪力圖和彎矩圖：表示剪力和彎矩沿梁軸線變化的圖形。實(shí)際上，只有在梁的跨度很小的情況下，剪力才能對梁的強(qiáng)度和剛度產(chǎn)生較明顯影響，而絕大多數(shù)的梁，彎矩是強(qiáng)度、剛度的決定因素。因此，一般只著重于彎矩的分析計(jì)算?！纠?.2】簡支梁AB受集中力P作用，如下圖所示，試列出剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。QOOMxx[例7.3]如下圖所示的簡支梁跨度為l，試建立自重q作用下梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。1計(jì)算支座反力2建立剪力、彎矩方程3繪制剪力、彎矩圖一、剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系三、剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系即：剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。即：彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。彎矩與荷載集度的關(guān)系是：29二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q圖特征M圖特征CPCm水平直線xQQ>0QQ<0x斜直線增函數(shù)xQxQ降函數(shù)xQCQ1Q2Q1–Q2=P自左向右突變xQC無變化斜直線xM增函數(shù)xM降函數(shù)曲線xM墳狀xM盆狀自左向右折角

自左向右突變與m反xM折向與P反向MxM1M2簡易作圖法:利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來作圖的方法。[例7.4]

用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解:利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來作圖。特殊點(diǎn):端點(diǎn)、分區(qū)點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)等。aaqaqAaaqaqA左端點(diǎn)：線形：根據(jù)；；及集中載荷點(diǎn)的規(guī)律確定。分區(qū)點(diǎn)A：M的駐點(diǎn)：右端點(diǎn)：Qxqa2–qa–xM[例7.5]

用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解：求支反力左端點(diǎn)A：B點(diǎn)左：B點(diǎn)右：C點(diǎn)左：M的駐點(diǎn)：C點(diǎn)右：右端點(diǎn)D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+

第三節(jié)梁純彎曲時的正應(yīng)力

純彎曲：若某段梁的橫截面上只有彎矩、沒有剪力，則這段梁的受力狀態(tài)稱為純彎曲。純彎曲梁的所有截面上彎矩為常量。如圖所示的AB段梁，其受力狀態(tài)就是純彎曲。一、正應(yīng)力的分布規(guī)律1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)

橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM梁由無數(shù)縱向纖維組成，各纖維的變形為拉伸或壓縮。

平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。

2.推論3.兩個概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。③橫截面上沒有剪應(yīng)力，只有正應(yīng)力。

A1B1O2O14.幾何方程：

abcdABdqryO1O2O

（二）物理關(guān)系：（三）靜力學(xué)關(guān)系：……(3)EI

梁的抗彎剛度。中性軸Z是通過截面形心且與縱向?qū)ΨQ軸垂直，中性層的曲率為：根據(jù)胡克定律，應(yīng)力在材料的比例極限內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變的規(guī)律：

I為橫截面對中性軸的慣性矩。I是對指定的軸而言的，是一個僅與截面的尺寸和形狀有關(guān)的幾何量，表征截面的抗彎能力，I的單位是m4。梁純彎曲時橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式為：橫截面上應(yīng)力與彎矩的關(guān)系⑴每一點(diǎn)的正應(yīng)力值都與彎矩成正比，與截面軸慣性矩I成反比；⑵應(yīng)力沿截面高度線性分布，在中性軸處正應(yīng)力為零，上下邊緣處最大?！?4)（四）最大正應(yīng)力：……(5)其中：W:截面對中性軸Z的抗彎截面模量，mm3注意：若中性軸z不是截面的對稱軸，則計(jì)算最大拉、壓應(yīng)力時，需將中性軸兩側(cè)不同的y值代入計(jì)算。dDdDd=abh例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩30Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求應(yīng)力18030求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030第四節(jié)梁彎曲時正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算

如果是等截面梁，彎矩最大的截面就是危險截面；要先（通過畫彎矩圖的方法）確定最大彎矩所在截面，算出最大彎矩值，然后計(jì)算出該截面上應(yīng)力最大點(diǎn)的應(yīng)力。它就是全梁中的最大應(yīng)力σmax,稱為危險點(diǎn)應(yīng)力，這個點(diǎn)就稱為危險點(diǎn)。如果是變截面梁，則危險點(diǎn)未必出現(xiàn)在彎矩最大的截面上，因?yàn)檫€要考慮截面抗彎截面模量的大小。這就需要綜合彎矩和抗彎截面模量兩個因素，才能找到危險點(diǎn)，算出危險點(diǎn)應(yīng)力，再進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。梁彎曲的強(qiáng)度條件，是梁內(nèi)的危險點(diǎn)應(yīng)力不超過材料的許用彎曲應(yīng)力[σ]，即

運(yùn)用梁彎曲的強(qiáng)度條件式可解決的三類強(qiáng)度計(jì)算問題：強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面尺寸、確定最大載荷。

例7.6T字形截面外伸梁，其截面尺寸如圖，截面的慣性矩為IZ=2.6×107mm4，梁的材料為鑄鐵，其許用拉應(yīng)力[σ+]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σ-]=120MPa，且外力q=16kN/m，試校核梁的強(qiáng)度。解

1.確定危險截面①由梁的平衡方程求約束反力∴

②對于AB段在AB段內(nèi)取距離A端x的任意截面，將梁截開，取左端為研究對象?！?/p>

∴

∴

③對于BC段在BC端內(nèi)取距離A端x的任意截面，將梁截開，取右端為研究對象?！?/p>

∴

④作梁的剪力圖、彎矩圖如圖所示。⑤由彎矩圖