第三章 時間響應分析

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機械控制工程基礎主講：任立敏北華大學二零一一年十一月第三章時間響應分析3.1時間響應和典型輸入信號

3.2一階系統(tǒng)的時間響應3.3二階系統(tǒng)的時間響應3.4高階系統(tǒng)的響應分析3.5穩(wěn)態(tài)誤差分析與計算本章小結▼

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學習重點了解典型信號和自動控制系統(tǒng)時域指標的定義；掌握一階和二階系統(tǒng)分析與暫態(tài)性能指標計算方法；了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)暫態(tài)性能指標的影響，能夠定性分析高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應過程；理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)誤差的影響，熟練掌握穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法。時域分析法：是根據(jù)系統(tǒng)微分方程，以拉氏變換為工具，直接解出響應的時間函數(shù)，并依據(jù)函數(shù)表達式及響應過程曲線，分析系統(tǒng)的動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。時域法的作用和特點：

(1)直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析校正，直觀，準確；

(2)可以提供系統(tǒng)時間響應的全部信息；

(3)時域法是最基本的分析方法，該方法引出的概念、方法和結論是以后學習復域法、頻域法等的基礎。引言3.1.1時間響應

在輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間的變化過程稱為系統(tǒng)的時間響應。瞬態(tài)響應——系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程。穩(wěn)態(tài)響應——當某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的響應在時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。§3.1時間響應和典型輸入信號3.1.2典型輸入信號3.1.3時域性能指標

是指時域分析方法中對系統(tǒng)性能的定量描述，包括：穩(wěn)定性指標、穩(wěn)態(tài)性指標、動態(tài)性指標。a收斂b振蕩次數(shù)N穩(wěn)定性指標c延遲時間td動態(tài)性指標d上升時間tre峰值時間tpf調(diào)節(jié)時間tsg超調(diào)量Mp穩(wěn)態(tài)性指標h穩(wěn)態(tài)誤差ess快穩(wěn)準※在時域分析法中約定在單位階躍信號作用下測定系統(tǒng)的性能。收斂、振蕩次數(shù)①穩(wěn)定性指標：收斂是指系統(tǒng)從一個狀態(tài)運動到另一個狀態(tài)，在其動態(tài)響應過程中，振蕩逐漸減弱并穩(wěn)在某一狀態(tài)。反之則稱為發(fā)散。振蕩次數(shù)N是指在ts內(nèi)輸出量h（t）進入穩(wěn)態(tài)前，穿越穩(wěn)態(tài)值h（∞）次數(shù)的一半，反映了控制系統(tǒng)的阻尼特性。延遲時間td、②動態(tài)性指標：上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts、超調(diào)量Mp延遲時間是單位階躍響應第一次達到其穩(wěn)態(tài)值h（∞）的50％所需的時間。tr是響應從穩(wěn)態(tài)值的10％上升到90％所需的時間；對有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從0到第一次達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。峰值時間是響應超過穩(wěn)態(tài)值h（∞）到達第一個峰值所需的時間。調(diào)節(jié)時間是響應到達并停留在穩(wěn)態(tài)值的允許誤差范圍內(nèi)（

±5%或±2%）所需的最小時間。超調(diào)量是在動態(tài)過程中，輸出量的最大值h（tp）超出穩(wěn)態(tài)值h（∞）的百分比。定義為Mp③穩(wěn)態(tài)性指標：穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差：期望值與穩(wěn)態(tài)值之差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩(wěn)態(tài)誤差：期望值與穩(wěn)態(tài)值之差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量?！?.2一階系統(tǒng)的時間響應一階系統(tǒng)的數(shù)學模型一階系統(tǒng)的時域響應動態(tài)性分析穩(wěn)態(tài)性分析一階系統(tǒng)的基本性質及結論1、一階系統(tǒng)分析的步驟：2、時域分析法的分析思路：輸入信號的時域描述Xi(t)數(shù)學模型Φ(s)輸出信號的時域描述Xo(t)3、數(shù)學解算過程：Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)td、tr

、tp、ts

Mp、N、ess拉氏變換由Φ(s)定義拉氏反變換由性能指標的定義3.2.1一階系統(tǒng)及其數(shù)學模型

凡是能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其典型形式是慣性環(huán)節(jié)。uiCiuoUi(S)Uo(S)I

(S)-Uo(S)+Xi(s)Xo(s)下圖所示的RC電路是一個典型的一階系統(tǒng)。3.2.2一階系統(tǒng)的單位脈沖響應Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)拉氏變換由Φ(s)定義拉氏反變換數(shù)學解算過程單位脈沖響應曲線

從圖中可以看出：當t→∞時，xo（t）→0，即在后面的“穩(wěn)定性分析”中我們將看到滿足這個條件的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.2.3一階系統(tǒng)的單位階躍響應Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)拉氏變換由Φ(s)定義拉氏反變換數(shù)學解算過程單位階躍響應曲線動態(tài)性能指標：td=0.69T，

tr=2.20T，

ts=3T，峰值時間tP和超調(diào)量MP不存在.

可見一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T越小，響應速度越快，實際上，T反映了系統(tǒng)的慣性。穩(wěn)態(tài)性能指標：t→∞時，xo（t）→1，即ess

=1-xo（∞）=0。說明一階系統(tǒng)能無差的跟蹤單位階躍信號。3.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)拉氏變換由Φ(s)定義拉氏反變換數(shù)學解算過程單位斜坡響應曲線

可見，一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入，但存在一恒定的跟蹤誤差，這一點在“穩(wěn)態(tài)誤差分析”中將作進一步分析。補：一階系統(tǒng)的單位加速度響應曲線3.2.5一階系統(tǒng)對典型輸入信號時間響應的比較閉環(huán)傳遞函數(shù)輸入信號（時域）輸出響應ess01(t)0tT無窮大

線性定常系統(tǒng)對時間響應的一個重要性質：如果系統(tǒng)的輸入信號存在積分和微分關系，則系統(tǒng)的時間響應也存在對應的積分和微分關系?？梢宰C明，該結論可以推廣到任何階次的線性定常系統(tǒng)。即對于線性定常系統(tǒng)如果則

這是線性定常系統(tǒng)的一個重要特性。這使得我們在研究線性定常系統(tǒng)的時間響應時，不必對每種輸入信號形式進行分析，而只取其中一種典型形式進行分析，通常我們研究單位階躍響應。2011.11.21第10次課§3.3二階系統(tǒng)的時間響應二階系統(tǒng)及其數(shù)學模型二階系統(tǒng)的時域響應動態(tài)性分析穩(wěn)態(tài)性分析二階系統(tǒng)的基本性質及結論二階系統(tǒng)分析步驟：二階系統(tǒng)時域分析法的分析思路和數(shù)學解算過程與一階系統(tǒng)相同。3.3.1二階系統(tǒng)及其數(shù)學模型

凡是能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。其典型形式是振蕩環(huán)節(jié)。很多實際的系統(tǒng)都是二階系統(tǒng)。uiu0LRCUi(S)Uo(S)I

(S)-Uo(S)+Xi(s)Xo(s)根據(jù)ξ的大小，可將二階系統(tǒng)分為以下類型：jωs2s1[s平面]圖1）jωs1=s2圖2）jωs2s1圖3）jωs2s1圖4）jωs2s1圖5）jωs2s1圖6）左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個相等根jωnξ<0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1兩個不等根0負<-1ξ<-1兩個不等根正穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定？β—實軸負方向轉過角度“注”：此處“極”坐標與數(shù)學上有所區(qū)別3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應1、欠阻尼狀態(tài)數(shù)學解算過程Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)拉氏變換由Φ(s)定義拉氏反變換穩(wěn)態(tài)分量由輸入信號決定；瞬態(tài)分量是一個以ωd為頻率的衰減振蕩過程，其衰減的快慢取決于ωn和ξ的大小，指數(shù)ξωn個稱為衰減系數(shù)，由系統(tǒng)的極點決定。穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量0[s]欠阻尼單位階躍響應曲線jωs2s1衰減振蕩2、無阻尼狀態(tài)jωs2s1這是一條無阻尼的等幅振蕩曲線，二階系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。過渡過程是不收斂的，即不存在。等幅振蕩3、臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼單位階躍響應曲線可見：這是一條無振蕩、無超調(diào)的單調(diào)上升曲線，二階系統(tǒng)處于振蕩與不振蕩的臨界狀態(tài)。

jωs1=s2xo0t1不振蕩4、過阻尼狀態(tài)txo01jωs2s1[s平面]可見：這仍是一條無振蕩、無超調(diào)的單調(diào)上升曲線，二階系統(tǒng)的過渡過程時間較長。

不振蕩動態(tài)過程更長jωs2s1發(fā)散振蕩5、負阻尼狀態(tài)jωs2s1單調(diào)發(fā)散jωs2s1jωs1=s2jωs2s1jωs2s1xo01t無阻尼欠阻尼臨界阻尼過阻尼

左極點穩(wěn)定，右極點發(fā)散；復極點振蕩，實極點不振蕩；

極點起慣性延緩的作用，離虛軸越近影響越大；

零點起微分加快作用，可抵消最近極點作用；結論：總結xo01t衰減振蕩不振蕩不振蕩等幅振蕩jωs2s1jωs2s1負阻尼發(fā)散振蕩單調(diào)發(fā)散

實際系統(tǒng)一般設計為0.4≤ξ≤0.8的欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)可以既快又穩(wěn)的跟蹤輸入信號。在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應速度和較短的調(diào)節(jié)時間。

2011.11.23第11次課響應曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值的100%所用時間響應曲線達到第一個峰值所用時間在響應曲線的穩(wěn)態(tài)值上，用穩(wěn)態(tài)值的絕對百分數(shù)做一個允許誤差范圍，響應曲線達到并且永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所用的最小時間10t這些點已被確定0.05或0.023.3.3二階系統(tǒng)的性能指標不可能為0！0[s]04.39.416.325.437.252.772.910010.70.60.50.40.30.20.10表3-1不同阻尼比的最大超調(diào)量10t阻尼比0.707為最佳：總結：當ξ一定時，tr

，tp

，ts均與ωn成反比，提高ωn可減小tr

，

tp

，ts

，從而提高系統(tǒng)的響應速度；當ωn一定時，若ξ增大，則tr

，tp增大，系統(tǒng)響應速度降低，但Mp和N減小，即振蕩程度減輕，平穩(wěn)性好；響應速度和振蕩強度矛盾，應折衷選取ξ和ωn

，通常先根據(jù)Mp

確定ξ，繼而確定其他參數(shù)；上述公式只適用于的情況，否則應先求出單位階躍響應函數(shù)，再根據(jù)定義求性能指標。Xi(s)Xo(s)-例2：已知機械系統(tǒng)如圖，在質量塊上施加8.9N的階躍力作用，測得其時間響應如圖。求系統(tǒng)參數(shù)m，B，ktxo(t)00.030.00292解：首先求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。xiＢxomK聯(lián)立三式求出m、c、k。2011.11.24第12次課§3.4高階系統(tǒng)的時間響應t01二階系統(tǒng)階躍響應：1xot0一階系統(tǒng)階躍響應：二階以上的高階微分方程所描述的系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。大多數(shù)實際控制系統(tǒng)都屬于高階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)響應二階系統(tǒng)響應

結論：高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是由一些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應函數(shù)疊加組成的。當所有極點均具有負實部時，除了A0，其它各項隨著t→∞而衰減為零，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于高階系統(tǒng)的研究和分析，一般是比較復雜的。高階系統(tǒng)通過合理的簡化，可以用低階系統(tǒng)近似。1）對于二階振蕩環(huán)節(jié)，決定了振蕩衰減的快慢。極點離虛軸越遠，該環(huán)節(jié)響應曲線衰減越快。2）若某極點附近有零點，則該極點對系統(tǒng)響應的影響大大減小。jw[s]s2s1距虛軸最近且附近沒有閉環(huán)零點的閉環(huán)極點對應著瞬態(tài)響應中衰減最慢的項，該極點對（或極點）對瞬態(tài)響應起主導作用，稱之為主導極點。工程上當極點A距虛軸的距離大于5倍的極點B距虛軸的距離時，分析時可忽略極點A。1、主導極點閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點數(shù)值上相近，則可將該零點和極點一起消去，稱之為偶極子相消。工程上，某極點Pk與某零點Zi之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級時，可以認為這對零、極點為偶極子。2、偶極子§3.5穩(wěn)態(tài)誤差分析與計算

1、穩(wěn)定

2、準確

3、快速誤差動態(tài)誤差：誤差隨時間變化的過程值；穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后實際輸出量和希望輸出量之間的相差程度。跟蹤輸入信號的能力；抑制擾動信號的能力。對控制系統(tǒng)的基本要求：1、系統(tǒng)的誤差與偏差3.5.1穩(wěn)態(tài)誤差的概念偏差Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)-Xor(s)Er(s)+當控制系統(tǒng)的偏差信號E(s)=0時，控制系統(tǒng)無控制作用，此時系統(tǒng)的輸出為理想輸出Xor(t)Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-Xb(s)-Xor(s)Er(s)+※誤差與偏差有簡單的比例關系2、穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差∴求穩(wěn)態(tài)誤差，只需求出穩(wěn)態(tài)偏差即可。1）誤差是從系統(tǒng)輸出端來定義的，它是輸出的希望值與實際值之差，這種方法定義的誤差在性能指標提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法測量，因而一般只具有物理意義，便于工程應用。說明：2）偏差是從系統(tǒng)的輸入端來定義的，它是系統(tǒng)輸入信號與主反饋信號之差，這種方法定義的誤差，在實際系統(tǒng)中是可以測量的，便于理論分析。3）對單位反饋系統(tǒng)而言，誤差與偏差是一致的。3.5.2給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算先看單位反饋系統(tǒng)-非單位反饋系統(tǒng)-例1：-該系統(tǒng)為一階慣性系統(tǒng)，穩(wěn)定2011.11.28第13次課3.5.3靜態(tài)誤差系數(shù)設閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為1、系統(tǒng)的類型稱為0型系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)系統(tǒng)的型別以來劃分：K-系統(tǒng)的開環(huán)增益；

-開環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目；--2、靜態(tài)誤差系數(shù)的定義系統(tǒng)對單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)位置誤差系數(shù)系統(tǒng)對單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)速度誤差系數(shù)系統(tǒng)對單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)加速度誤差系數(shù)輸入誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別結論：1）提高系統(tǒng)型次，或增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)目，可減小或消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。2）增大系統(tǒng)開環(huán)增益，有利于減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。小結1、位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入為階躍、