找規(guī)律-主題拓展性學(xué)習(xí)(江蘇省常州金壇市華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校 潘建明)

找規(guī)律潘建明常州市初中數(shù)學(xué)教育潘建明名師工作室企劃——主題拓展性學(xué)習(xí)江蘇省常州金壇市華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校1．觀察下列各組數(shù)，嘗試寫(xiě)出第n個(gè)數(shù)：（1）有一列數(shù)：1，2，3，4，5，…，則第n個(gè)數(shù)是

；序號(hào)：1，2，3，4，5，…，n數(shù)列：1，2，3，4，5，…，nn一、自覺(jué)體悟一：探究體驗(yàn)若無(wú)特殊說(shuō)明，本節(jié)課中的字母n都表示正整數(shù)，并且n從1開(kāi)始。（2）有一列數(shù)：2，4，6，8，10，…，則第n個(gè)數(shù)是

；序號(hào)：1，2，3，4，5，…，n數(shù)列：2，4，6，8，10，…，

2n2n數(shù)學(xué)思想：經(jīng)歷了一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程，體驗(yàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。（3）有一列數(shù)：2，4，8，16，32，…，則第n個(gè)數(shù)是

；序號(hào)：1，2，3，4，5，…，n數(shù)列：2，4，8，16，32，…，

21,22,23,24,25,…，數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！2n2n數(shù)學(xué)思想：經(jīng)歷了一個(gè)類比的過(guò)程，體驗(yàn)了類比的數(shù)學(xué)思想。變式：有一列數(shù)：4，8，16，32，64，…，則第n個(gè)數(shù)是

；序號(hào)：1，2，3，4，5，…，n數(shù)列：4，8，16，32，64…，

22,23,24,25,26，…，數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！2n+12n+1（4）有一列數(shù)：－4，8，－16，32，－64，…，第n個(gè)數(shù)

；

(-1)n2n+1也可以表示成：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)數(shù)為

；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第n個(gè)數(shù)為

；體現(xiàn)了分類數(shù)學(xué)思想-2n+12n+11．觀察下列各組數(shù)，嘗試寫(xiě)出第n個(gè)數(shù)：（2）有一列數(shù)：2，4，6，8，10，…，則第n個(gè)數(shù)是

；（3）有一列數(shù)：2，4，8，16，32，…，則第n個(gè)數(shù)是

；（4）有一列數(shù)：－4，8，－16，32，－64，…，則第n個(gè)數(shù)是

；2n2n體悟一：什么是找規(guī)律？初步感知：我們?cè)噲D用一個(gè)代數(shù)式表示出一個(gè)數(shù)列的演變準(zhǔn)則。核心概念一：找出一個(gè)代數(shù)式來(lái)表示某事物（或事件）的演變準(zhǔn)則的過(guò)程叫做找規(guī)律。要關(guān)注找規(guī)律的方法的多樣性(-1)n2n+12．暴露差異：觀察下列各組數(shù)，請(qǐng)嘗試寫(xiě)出第n個(gè)數(shù)：（1）有一列數(shù)：3，5，7，9，11…，則第n個(gè)數(shù)是；（2）有一列數(shù)：1，－4，9，－16，25，…，則第n個(gè)數(shù)；2n+1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)數(shù)為

；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第n個(gè)數(shù)為

。二、自覺(jué)體悟二：做中感悟問(wèn)題：一張矩形紙條的面積為1個(gè)平方單位，對(duì)這張矩形紙條進(jìn)行平行方向連續(xù)n次對(duì)折后展開(kāi)，在操作的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)哪些量是變化的？將提出什么問(wèn)題？經(jīng)驗(yàn)升華：建立聯(lián)系已知：一張矩形紙條的面積為1個(gè)平方單位，現(xiàn)將紙條進(jìn)行若干次平行方向?qū)φ?，根?jù)你的操作過(guò)程，填寫(xiě)下表：對(duì)折次數(shù)所得層數(shù)（層）單層面積（平方單位）折痕條數(shù)（條）1

2

3

4

……

……

……

……n

二、自覺(jué)體悟二：做中感悟問(wèn)題：一張矩形紙條的面積為1個(gè)平方單位，對(duì)這張矩形紙條進(jìn)行平行方向連續(xù)n次對(duì)折后展開(kāi)，在操作的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)哪些量是變化的？將提出什么問(wèn)題？序號(hào)：1，2，3，4，5，……，n層數(shù)：2，4，8，16，32，……，面積：，，，，，……，折痕：1，3，7，15，31，……，

2n-12n經(jīng)驗(yàn)升華：建立聯(lián)系已知：一張矩形紙條的面積為1個(gè)平方單位，現(xiàn)將紙條進(jìn)行若干次平行方向?qū)φ郏鶕?jù)你的操作過(guò)程，填寫(xiě)下表：對(duì)折次數(shù)所得層數(shù)（層）單層面積（平方單位）折痕條數(shù)（條）12124338741615……

……

……

……n2n2n-1說(shuō)說(shuō)你有什么感悟？三、變式引領(lǐng)例1．觀察：①9－1=2×4；②25－1=4×6；③49－1=6×8；④81－1=8×10；……；按此規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)等式是

。你的解題策略是什么？

例1．觀察：①9－1=2×4；32－1=2×4；1②25－1=4×6；52－1=4×6；2③49－1=6×8；72－1=6×8；3④81－1=8×10；92－1=8×10；4

……；第n個(gè)等式是（）2-1=()×（）。你的驗(yàn)證策略有哪些？左邊=4n2+4n+1-1=4n2+4n；右邊=4n2+4n=左邊；所以等式成立。

解完這道題你有什么感悟？

數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！2n+12n2n+2例2．下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子：觀察圖形的變化規(guī)律，則第n個(gè)小房子用的石子塊數(shù)為

個(gè)．

探究規(guī)律型題有時(shí)可以從可從圖形本身的規(guī)律入手，也可以從數(shù)量關(guān)系表示的規(guī)律入手.如圖，由若干根火柴棒拼成小金魚(yú)的圖形：（1）拼一個(gè)金魚(yú)需要

根火柴；（2）拼三個(gè)金魚(yú)需要

根火柴；（3）拼n個(gè)金魚(yú)需要

根火柴。8=6+220=3×6+2

6n+2四、形成測(cè)試解法分析1．觀察、比較各個(gè)圖形間的關(guān)聯(lián)；2．分離出基本圖形；3．每一個(gè)基本圖形與火柴棒數(shù)量的關(guān)系；4．基本圖形的數(shù)量與序號(hào)的關(guān)系。體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的基本圖形思想五、自覺(jué)回歸2．知識(shí)結(jié)構(gòu)分析探求數(shù)列的規(guī)律探求圖形的規(guī)律探求等式的規(guī)律1．概念回顧找出一個(gè)代數(shù)式來(lái)表示某事物（或事件）的演變準(zhǔn)則的過(guò)程叫做找規(guī)律。問(wèn)題：將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第一個(gè)圖形有6個(gè)小圓