《二倍角的正弦余弦正切》典型例題分析

二倍角的正弦、余弦、正切典型例題分析分析

本題關(guān)鍵在于使被開方式變?yōu)橥耆椒绞揭员闳サ舾?hào)．由于原式為算術(shù)根，因而在去根號(hào)時(shí)要注意符號(hào)的選?。梢阎?＜θ＜解：原式評(píng)注

化簡三角函數(shù)式要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)確定方法．一般情況下，無理式應(yīng)化為有理式，分式應(yīng)化為整式，能求出具體數(shù)值時(shí)，一定要求出數(shù)值來．本題就是依據(jù)θ的范圍進(jìn)行分類使得根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)完全平方式．評(píng)注

對(duì)于條件與結(jié)論中的角類型較多的求值問題，在分析時(shí)，盡可能將需求三角式中的各角轉(zhuǎn)化為已知條件中的已知角便于代換求值．在逆用公式進(jìn)行變換時(shí)，有多種方法．例3

化簡下列各式(2)cos20°cos40°cos60°cos80°(3)sin6°sin42°sin66°sin78°分析

(1)與(2)共同特點(diǎn)是前后角依次成倍數(shù)關(guān)系，而二倍角的正弦公式恰好是在右邊角成倍數(shù)關(guān)系；所以可考慮應(yīng)用二倍角正弦公式解題．另外，連續(xù)余弦之積問題，多次使用二倍角正弦公式可將兩項(xiàng)之積化為一項(xiàng)形式．對(duì)于(3)，由(1)與(2)的啟示可用誘導(dǎo)公式化為余弦之積后用同樣方法得到解決．評(píng)注

對(duì)于多個(gè)余弦相乘而且角恰好依次成二倍關(guān)系時(shí)，利用二倍角正弦公式是比較簡便的方法．對(duì)于角度不滿足此關(guān)系時(shí)，可考慮能否應(yīng)用三倍角正弦、余弦公式求解．如：利用cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α)，將α=20°代入即可得正弦公式也可解(3)，在三倍角正切公式中，此α為不同值，也可求一些正切之積的問題．分析

已知條件等式中次數(shù)較高，必須多次降次，所以應(yīng)用三角函數(shù)中降次方法．sin2α+cos2α=1為降次的一個(gè)常見公式，另外，還要掌握分解因式的方法．評(píng)注

對(duì)于分式化簡問題，通常要將分子、分母均化為積的形式且分子、分母有公因式．通過約分把函數(shù)式化簡．分析

本題雖為證明題，實(shí)質(zhì)是給值求角類型問題，因此既要確定α+2β范圍，而且要依據(jù)兩個(gè)條件等式求得α+2β的某一三角函數(shù)值．解法Ⅰ：∵3sin2α+2sin2β=1

①3sin2α-2sin2β=0

②由①得cos2β=3sin2αcos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β解法Ⅱ：由3sin2α-2sin2β=0得由3sin2α+2sin2β=1得3sin2α=1-2sin2β=cos2β么k和α的值為多少？分析

要變成sin(2x+α)的形式，必須把sin2x、cos2x、sinxcosx全轉(zhuǎn)化為2x的三角函數(shù)形式．欲滿足要求的sin(2x+α)的形式，必須有評(píng)注

sinxcosx可化為含sin2x的形式，結(jié)合同角關(guān)系式sinx±cosx利用此關(guān)系可解決較復(fù)雜的問題，也即將同時(shí)含有sinxcosx與sinx+cosx的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于π的代數(shù)問題，在應(yīng)用時(shí)注意π的范圍的限制．sinx-cosx的值．解

利用對(duì)數(shù)性質(zhì)，條件可化為化簡得例9

化簡下列各式(2)sinAcos5A-cosAsin=1=2例10

已知2sinα=sinθ+cosθ，sin2β=sinθcosθ，求證：2cos2證明

由已知2sinα=sinθ+cosθsin2β=sinθcosθ得：2cos2α=2(1-2sin2α)=2-(2sinα)2=2-(sinθ+