第八章第二講：抽屜原理.課后練習

教學(xué)目標學(xué)目標教學(xué)目標學(xué)目標抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據(jù)它來做出許多有趣的推理和判斷，同時能夠幫助同學(xué)證明很多看似復(fù)雜的問題。本講的主要教學(xué)目標是：1．理解抽屜原理的基本概念、基本用法；2．掌握用抽屜原理解題的基本過程；3.能夠構(gòu)造抽屜進行解題；4.利用最不利原則進行解題；5.利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結(jié)論及生活中的一些問題。知識點撥知識點撥一、知識點介紹抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理，它由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則．抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決很多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用．許多看起來相當復(fù)雜，甚至無從下手的問題，在利用抽屜原則后，能很快使問題得到解決．二、抽屜原理的定義（1）舉例桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個，有的可以放兩個，有的可以放五個，但最終我們會發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。（2）定義一般情況下，把n＋1或多于n＋1個蘋果放到n個抽屜里，其中必定至少有一個抽屜里至少有兩個蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。三、抽屜原理的解題方案（一）、利用公式進行解題蘋果÷抽屜＝商……余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)＝1，結(jié)論：至少有（商＋1）個蘋果在同一個抽屜里（2）余數(shù)＝，結(jié)論：至少有（商＋1）個蘋果在同一個抽屜里（3）余數(shù)＝0，結(jié)論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法．知識精講知識精講模塊一、利用抽屜原理公式解題（一）、直接利用公式進行解題（1）求結(jié)論只鴿子要飛進個籠子，每個籠子里都必須有只，一定有一個籠子里有只鴿子．對嗎？向陽小學(xué)有730個學(xué)生，問：至少有幾個學(xué)生的生日是同一天？三個小朋友在一起玩，其中必有兩個小朋友都是男孩或者都是女孩．“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人．試說明：在游園的小朋友中，至少有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被整除？證明：任取8個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)．任給11個數(shù)，其中必有6個數(shù)，它們的和是6的倍數(shù)．求證：可以找到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)．求證：對于任意的8個自然數(shù)，一定能從中找到6個數(shù)a，b，c，d，e，f，使得是105的倍數(shù)．把1、2、3、…、10這十個數(shù)按任意順序排成一圈，求證在這一圈數(shù)中一定有相鄰的三個數(shù)之和不小于17．證明：在任意的6個人中必有3個人，他們或者相互認識，或者相互不認識．上體育課時，21名男、女學(xué)生排成3行7列的隊形做操．老師是否總能從隊形中劃出一個長方形，使得站在這個長方形4個角上的學(xué)生或者都是男生，或者都是女生?如果能，請說明理由；如果不能，請舉出實例．8個學(xué)生解8道題目．(1)若每道題至少被5人解出，請說明可以找到兩個學(xué)生，每道題至少被過兩個學(xué)生中的一個解出．(2)如果每道題只有4個學(xué)生解出，那么(1)的結(jié)論一般不成立．試構(gòu)造一個例子說明這點.（2）求抽屜把十只小兔放進至多幾個籠子里，才能保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔？把125本書分給五⑵班的學(xué)生，如果其中至少有一個人分到至少4本書，那么，這個班最多有多少人？某班有16名學(xué)生，每個月教師把學(xué)生分成兩個小組．問最少要經(jīng)過幾個月，才能使該班的任意兩個學(xué)生總有某個月份是分在不同的小組里?（3）求蘋果班上有名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個小朋友能得到不少于兩本書？海天小學(xué)五年級學(xué)生身高的厘米數(shù)都是整數(shù)，并且在厘米到厘米之間（包括厘米到厘米），那么，至少從多少個學(xué)生中保證能找到個人的身高相同？一次數(shù)學(xué)競賽出了10道選擇題，評分標準為：基礎(chǔ)分10分，每道題答對得3分，答錯扣1分，不答不得分。問：要保證至少有4人得分相同，至少需要多少人參加競賽？（二）、構(gòu)造抽屜利用公式進行解題在一只口袋中有紅色、黃色、藍色球若干個，小聰明和其他六個小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出個球，那么不管怎樣挑選，總有兩個小朋友取出的兩個球的顏色完全一樣．你能說明這是為什么嗎？紅、藍兩種顏色將一個方格圖中的小方格隨意涂色（見下圖），每個小方格涂一種顏色．是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？將每一個小方格涂上紅色、黃色或藍色．（每一列的三小格涂的顏色不相同），不論如何涂色，其中至少有兩列，它們的涂色方式相同，你同意嗎？從、、、、、這個偶數(shù)中至少任意取出多少個數(shù)，才能保證有個數(shù)的和是？（北京市第十一屆“迎春杯”刊賽）從1，2，3，4，…，1994這些自然數(shù)中，最多可以取個數(shù)，能使這些數(shù)中任意兩個數(shù)的差都不等于9．（2023年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽決賽）從、、、、、、、、、、和中至多選出個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍．從1，3，5，7，…，97，99中最多可以選出多少個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)?從整數(shù)1、2、3、…、199、200中任選101個數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個數(shù)，其中的一個是另一個的倍數(shù).從1，2，3，……49，50這50個數(shù)中取出若干個數(shù)，使其中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除，則最多能取出多少個數(shù)？從1，2，3，…，99，100這100個數(shù)中任意選出51個數(shù)．證明：(1)在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)互質(zhì)；(2)在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差等于50；(3)在這51個數(shù)中，一定存在9個數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1．有49個小孩，每人胸前有一個號碼，號碼從1到49各不相同．現(xiàn)在請你挑選若干個小孩，排成一個圓圈，使任何相鄰兩個小孩的號碼數(shù)的乘積小于100，那么你最多能挑選出多少個孩子?要把61個乒乓球分裝在若干個乒乓球盒中，每個盒子最多可以裝5個乒乓球，問：至少有多少個盒子中的乒乓球數(shù)目相同？將400本書隨意分給若干同學(xué)，但是每個人不許超過11本，問：至少有多少個同學(xué)分到的書的本數(shù)相同？有蘋果和桔子若干個，任意分成堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？（難度等級※※※）在長度是厘米的線段上任意取個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于厘米？在邊長為3的正三角形內(nèi)，任意放入10個點，求證：必有兩個點的距離不大于1．在一個直徑為厘米的圓內(nèi)放入七個點，請證明一定有兩個點的距離不大于厘米9條直線的每一條都把一個正方形分成兩個梯形，而且它們的面積之比為2∶3。證明：這9條直線中至少有3條通過同一個點。如圖，能否在行列的方格表的每一個空格中分別填上，，這三個數(shù)，使得各行各列及對角線上個數(shù)的和互不相同？并說明理由．（南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽C卷第12題）如下圖=1\*GB3①，、、、四只小盤拼成一個環(huán)形，每只小盤中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盤中應(yīng)各有粒糖果.把各只盤中糖果的粒數(shù)填在下圖=2\*GB3②中.圖=1\*GB3①圖=2\*GB3②如右圖，分別標有數(shù)字的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個圓環(huán)上，開始時相對的滾珠所標的數(shù)字都不相同．當兩個圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動時，必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對．時鐘的表盤上按標準的方式標著1，2，3，…，11，12這12個數(shù)，在其上任意做n個120°的扇形，每一個都恰好覆蓋4個數(shù)，每兩個覆蓋的數(shù)不全相同．如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3個覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù)，求n的最小值．模塊三、最不利原則（2023年第六屆“走進美妙的數(shù)學(xué)花園”中國青年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽決賽）“走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題．每個年級道題，并且至少有道題與其他各年級都不同．如果每道題出現(xiàn)在不同年級，最多只能出現(xiàn)次．本屆活動至少要準備道決賽試題．有一個布袋中有40個相同的小球，其中編上號碼1、2、3、4的各有10個，問：一次至少要取出多少個小球，才能保證其中至少有3個小球的號碼相同？黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子。問至少要取多少根才能保證達到要求？有紅、黃、藍、白4色的小球各10個，混合放在一個布袋里．一次摸出小球8個，其中至少有幾個小球的顏色是相同的？兩個布袋各有12個大小一樣的小球，且都是紅、白、藍各4個。從第一袋中拿出盡可能少的球，但至少有兩種顏色一樣的放入第二袋中；再從第二袋中拿出盡可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每種顏色的球不少于3個。這時，兩袋中各有多少個球？一個玻璃瓶里一共裝有44個彈珠，其中：白色的2個，紅色的3個，綠色的4個，藍色的5個，黃色的6個，棕色的7個，黑色的8個，紫色的9個．如果要求每次從中取出1個彈珠，從而得到2個相同顏色的彈珠，請問最多需要取幾次？（2023年中國臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽選拔賽復(fù)賽）在張卡片上不重復(fù)地編寫上~，請問至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出卡片上的數(shù)相乘后之乘積可被整除？一副撲克牌，共54張，問：至少從中摸出多少張牌才能保證