第六章軸向拉伸與壓縮

第六章軸向拉伸與壓縮6.1軸向拉伸與壓縮的概念在工程中以拉伸或壓縮為主要變形的桿件，稱為：拉、壓桿若桿件所承受的外力或外力合力作用線與桿軸線重合的變形，稱為軸向拉伸或軸向壓縮。6.2軸向拉(壓)桿的內(nèi)力與軸力圖6.2.1拉壓桿的內(nèi)力

唯一內(nèi)力分量為軸力其作用線垂直于橫截面沿桿軸線并通過形心。通常規(guī)定：軸力使桿件受拉為正，受壓為負(fù)。

6.2.2軸力圖

用平行于軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，以此表示軸力與橫截面位置關(guān)系的幾何圖形，稱為軸力圖。作軸力圖時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1、軸力圖的位置應(yīng)和桿件的位置相對(duì)應(yīng)。軸力的大小，按比例畫在坐標(biāo)上，并在圖上標(biāo)出代表點(diǎn)數(shù)值。

2、習(xí)慣上將正值（拉力）的軸力圖畫在坐標(biāo)的正向；負(fù)值（壓力）的軸力圖畫在坐標(biāo)的負(fù)向。例題6.1

一等直桿及受力情況如圖（a）所示，試作桿的軸力圖。如何調(diào)整外力，使桿上軸力分布得比較合理。解：1）求AB段軸力1–1截面：

2–2截面：

3–3截面：

（4）按作軸力圖的規(guī)則，作出軸力圖，（5）軸力的合理分布：如果桿件上的軸力減小，應(yīng)力也減小，桿件的強(qiáng)度就會(huì)提高。該題若將C截面的外力和D截面的外力對(duì)調(diào)，軸力圖如（f）圖所示，桿上最大軸力減小了，軸力分布就比較合理。6.3軸向拉(壓)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、應(yīng)力的概念內(nèi)力在一點(diǎn)處的集度稱為應(yīng)力

應(yīng)力與截面既不垂直也不相切，力學(xué)中總是將它分解為垂直于截面和相切于截面的兩個(gè)分量

與截面垂直的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力表示；

（或法向應(yīng)力），用與截面相切的應(yīng)力分量稱為剪應(yīng)力表示。（或切向應(yīng)力），用應(yīng)力的單位是帕斯卡，簡(jiǎn)稱為帕，符號(hào)為“Pa”。1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1GPa=109Pa1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm26.3.1橫截面上的應(yīng)力平面假設(shè)：受軸向拉伸的桿件，變形后橫截面仍保持為平面，兩平面相對(duì)的位移了一段距離。軸向拉壓等截面直桿，橫截面上正應(yīng)力均勻分布

正應(yīng)力與軸力有相同的正、負(fù)號(hào)，即：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。例6.2一階梯形直桿受力如圖所示，已知橫截面面積為試求各橫截面上的應(yīng)力。解：計(jì)算軸力畫軸力圖利用截面法可求得階梯桿各段的軸力為F1=50kN,F2=-30kN,F3=10kN,F4=-20kN。軸力圖。（2）、計(jì)算各段的正應(yīng)力AB段：BC段：CD段：DE段：例6.3

石砌橋墩的墩身高

其橫截面尺寸如圖所示。如果載荷材料的重度求墩身底部橫截面上的壓應(yīng)力。墩身橫截面面積：墩身底面應(yīng)力：（壓）

6.3.2應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中的程度用最大局部應(yīng)力

與該截面上的名義應(yīng)力

的比值表示

比值K稱為應(yīng)力集中因數(shù)。

在設(shè)計(jì)時(shí)，從以下三方面考慮應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響:

1.在設(shè)計(jì)脆性材料構(gòu)件時(shí)，應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。

2.在設(shè)計(jì)塑性材料的靜強(qiáng)度問題時(shí)，通?？梢圆豢紤]應(yīng)力集中的影響。

3.設(shè)計(jì)在交變應(yīng)力作用下的構(gòu)件時(shí)，制造構(gòu)件的材料無論是塑性材料或脆性材料，都必須考慮應(yīng)力集中的影響。6.4軸向拉(壓)時(shí)的變形6.4.1軸向變形與胡克定律長(zhǎng)為的等直桿，在軸向力作用下，伸長(zhǎng)了軸向正應(yīng)變?yōu)椋涸囼?yàn)表明：當(dāng)桿內(nèi)的應(yīng)力不超過材料的某一極限值，則正應(yīng)力和正應(yīng)變成線性正比關(guān)系

稱為胡克定律

英國(guó)科學(xué)家胡克（RobetHooke，1635~1703）于1678年首次用試驗(yàn)方法論證了這種線性關(guān)系后提出的。胡克定律：

EA稱為桿的拉壓剛度

上式只適用于在桿長(zhǎng)為l長(zhǎng)度內(nèi)FN、E、A均為常值的情況下，即在桿為l長(zhǎng)度內(nèi)變形是均勻的情況。6.4.2橫向變形、泊松比則橫向正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

當(dāng)應(yīng)力不超過一定限度時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)。

法國(guó)科學(xué)家泊松（1781~1840）于1829年從理論上推演得出的結(jié)果。

，

橫向變形因數(shù)或泊松比表4-1給出了常用材料的E、值。

材料名稱牌號(hào)E低碳鋼Q235200~2100.24~0.28中碳鋼452050.24~0.28低合金鋼16Mn2000.25~0.30合金鋼40CrNiMoA2100.25~0.30灰口鑄鐵60~1620.23~0.27球墨鑄鐵150~180鋁合金LY12710.33硬鋁合金380混凝土15.2~360.16~0.18木材（順紋）9.8~11.80.0539木材（橫紋）0.49~0.98表6.1常用材料的E、值6.4.3拉壓桿的位移等直桿在軸向外力作用下，發(fā)生變形，會(huì)引起桿上某點(diǎn)處在空間位置的改變，即產(chǎn)生了位移。

F1=30kN，F(xiàn)2=10kN,AC段的橫截面面積

AAC=500mm2,CD段的橫截面面積ACD=200mm2，彈性模量E=200GPa。試求：

（1）各段桿橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力；（2）桿件內(nèi)最大正應(yīng)力；（3）桿件的總變形。

解：(1)、計(jì)算支反力=－20kN(2)、計(jì)算各段桿件橫截面上的軸力AB段：

FNAB=FRA=－20kNBD段：

FNBD=F2=10kN(3)、畫出軸力圖，如圖（c）所示。

(4)、計(jì)算各段應(yīng)力AB段：

BC段：CD段：

(5)、計(jì)算桿件內(nèi)最大應(yīng)力（6）計(jì)算桿件的總變形整個(gè)桿件伸長(zhǎng)0.015mm。=0.015mm橫截面面積為，鋼材的彈性模量節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移和水平位移？例6.5

圖示托架，已知，圓截面鋼桿AB的直徑，桿BC是工字鋼，其。求托架在F力作用下，解：（1）取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，求兩桿軸力（2）求AB、BC桿變形（3）求B點(diǎn)位移，利用幾何關(guān)系求解。水平位移：

鉛垂位移：

總位移：

6.4

圖示鋼制階梯形直桿，各段橫截面面積分別鋼材的彈性模量試求：

（1）各段的軸力，指出最大軸力發(fā)生在哪一段，最大應(yīng)力發(fā)生在哪一段；（2）計(jì)算桿的總變形；為：6.5材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能：是材料在受力過程中表現(xiàn)出的各種物理性質(zhì)。在常溫、靜載條件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能。6.5.1標(biāo)準(zhǔn)試樣為比例試樣。國(guó)際上使用的比例系數(shù)k的值為5.65。

試樣原始標(biāo)距與原始橫截面面積有關(guān)系者若k為5.65的值不能符合這一最小標(biāo)距要求時(shí)，可以采取較高的值（優(yōu)先采用11.3的值）。采用圓形試樣，換算后和兩種

試樣按照GB/T2975的要求切取樣坯和制備試樣。

6.5.2低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼為典型的塑性材料。在應(yīng)力–應(yīng)變圖中呈現(xiàn)如下四個(gè)階段：段）1、彈性階段（段為直線段，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力P表示

稱為比例極限，用正應(yīng)力和正應(yīng)變成線性正比關(guān)系，即遵循胡克定律，彈性模量E和的關(guān)系：

2、屈服階段（段）過b點(diǎn)，應(yīng)力變化不大，應(yīng)變急劇增大，曲線上出現(xiàn)水平鋸齒形狀，材料失去繼續(xù)抵抗變形的能力，發(fā)生屈服現(xiàn)象

工程上常稱下屈服強(qiáng)度為材料的屈服極限，表示。

用材料屈服時(shí)，在光滑試樣表面可以觀察到與軸線成的紋線，稱為滑移線。

3、強(qiáng)化階段（段）材料晶格重組后，又增加了抵抗變形的能力，要使試件繼續(xù)伸長(zhǎng)就必須再增加拉力，這階段稱為強(qiáng)化階段。處的應(yīng)力，稱為強(qiáng)度極限()曲線最高點(diǎn)冷作硬化現(xiàn)象，在強(qiáng)化階段某一點(diǎn)處，緩慢卸載，則試樣的應(yīng)力–應(yīng)變曲線會(huì)沿著回到點(diǎn)。

冷作硬化使材料的彈性強(qiáng)度提高，而塑性降低的現(xiàn)象4、局部變形階段（段）試樣變形集中到某一局部區(qū)域，由于該區(qū)域橫截面的收縮，形成了圖示的“頸縮”現(xiàn)象

最后在“頸縮”處被拉斷。

代表材料強(qiáng)度性能的主要指標(biāo)：和強(qiáng)度極限

屈服極限可以測(cè)得表示材料塑性變形能力的兩個(gè)指標(biāo)：伸長(zhǎng)率和斷面收縮率。（1）伸長(zhǎng)率。

低碳鋼的伸長(zhǎng)率約為（26～30）%的材料稱為塑性材料(鋼、鋁、化纖等)；

的材料稱為脆性材料(灰鑄鐵、玻璃、陶瓷、混凝土等)。（2）斷面收縮率

低碳鋼的斷面收縮率約為50%～

60%左右

4.5.3其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能灰口鑄鐵是典型的脆性材料，其應(yīng)力–應(yīng)變圖是一微彎的曲線，如圖示沒有明顯的直線。無屈服現(xiàn)象，拉斷時(shí)變形很小，強(qiáng)度指標(biāo)只有強(qiáng)度極限其伸長(zhǎng)率對(duì)于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常以產(chǎn)生0.2%的塑性應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值作為屈服極限表示。

稱為名義屈服極限，用（2002年的標(biāo)準(zhǔn)稱為規(guī)定殘余延伸強(qiáng)度，為0.2%時(shí)的應(yīng)力。）

表示，例如，表示規(guī)定殘余延伸率用6.5.4材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能

金屬材料的壓縮試樣，一般制成短圓柱形，圓柱的高度約為直徑的1.5~3倍，試樣的上下平面有平行度和光潔度的要求

非金屬材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。低碳鋼是塑性材料，壓縮時(shí)的應(yīng)力–應(yīng)變圖，如圖示。

在屈服以前，壓縮時(shí)的曲線和拉伸時(shí)的曲線基本重合，屈服以后隨著壓力的增大，試樣被壓成“鼓形”，最后被壓成“薄餅”而不發(fā)生斷裂，所以低碳鋼壓縮時(shí)無強(qiáng)度極限。鑄鐵是脆性材料，壓縮時(shí)的應(yīng)力–應(yīng)變圖，如圖示，試樣在較小變形時(shí)突然破壞，壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限遠(yuǎn)高于拉伸強(qiáng)度極限（約為3~6倍），破壞~的傾角。

斷面與橫截面大致成鑄鐵壓縮破壞屬于剪切破壞。

建筑專業(yè)用的混凝土，壓縮時(shí)的應(yīng)力–應(yīng)變圖，如圖示?；炷恋目箟簭?qiáng)度要比抗拉強(qiáng)度大10倍左右。

6.6安全因數(shù)、許用應(yīng)力、強(qiáng)度條件6.6.1安全因數(shù)與許用應(yīng)力塑性材料，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，構(gòu)件已發(fā)生明顯的塑性變形，影響其正常工作，稱之為失效，因此把屈服極限作為塑性材料的極限應(yīng)力。脆性材料，直到斷裂也無明顯的塑性變形，斷裂是失效的唯一標(biāo)志，因而把強(qiáng)度極限作為脆性材料的極限應(yīng)力。根據(jù)失效的準(zhǔn)則，將屈服極限與強(qiáng)度極限通稱為極限應(yīng)力()把極限應(yīng)力除以一個(gè)大于1的因數(shù)，得到的應(yīng)力值稱為許用應(yīng)力()大于1的因數(shù)n稱為安全因數(shù)。

許用拉應(yīng)力()、許用壓應(yīng)力用()工程中安全因數(shù)n的取值范圍，由國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，一般不能任意改變。6.6.2強(qiáng)度條件為了保障構(gòu)件安全工作，構(gòu)件內(nèi)最大工作應(yīng)力必須小于許用應(yīng)力。公式稱為拉壓桿的強(qiáng)度條件

利用強(qiáng)度條件，可以解決以下三類強(qiáng)度問題：1、強(qiáng)度校核：在已知拉壓桿的形狀、尺寸和許用應(yīng)力及受力情況下，檢驗(yàn)構(gòu)件能否滿足上述強(qiáng)度條件，以判別構(gòu)件能否安全工作。3、計(jì)算許用載荷：已知拉壓桿的截面尺寸及所用材料的許用應(yīng)力，計(jì)算桿件所能承受的許可軸力，再根據(jù)此軸力計(jì)算許用載荷，表達(dá)式為：

2、設(shè)計(jì)截面：已知拉壓桿所受的載荷及所用材料的許用應(yīng)力，根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)截面的形狀和尺寸，表達(dá)式為：在計(jì)算中，若工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力的5%，在工程中仍然是允許的。例題6.6

已知：一個(gè)三角架，AB桿由兩根80×80×7等邊角鋼組成，橫截面積為A1，長(zhǎng)度為2m，AC桿由兩根10號(hào)槽剛組成，橫截面積為A2，鋼材為3號(hào)鋼，容許應(yīng)力求：許可載荷？解：（1）對(duì)A節(jié)點(diǎn)受力分析：（2）、計(jì)算許可軸力查型鋼表：

由強(qiáng)度計(jì)算公式：

（3）計(jì)算許可載荷：

例題6.7

起重吊鉤的上端借螺母固定，若吊鉤螺栓內(nèi)徑材料許用應(yīng)力試校核螺栓部分的強(qiáng)度。

解：計(jì)算螺栓內(nèi)徑處的面積吊鉤螺栓部分安全。例題6.8

圖示一托架，AC是圓鋼桿，許用拉應(yīng)力，BC是方木桿，

試選定鋼桿直徑d？解：（1）軸力分析。并假設(shè)鋼桿的軸力為研究對(duì)象。取結(jié)點(diǎn)6.7連接件的強(qiáng)度計(jì)算連接構(gòu)件用的螺栓、銷釘、焊接、榫接等這些連接件，不僅受剪切作用，而且同時(shí)還伴隨著擠壓作用。6.7.1剪切實(shí)用計(jì)算稱為剪切面。

在外力作用下，鉚釘?shù)慕孛鎸l(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，在剪切面上與截面相切的內(nèi)力，如圖所示。稱為剪力()

在剪切面上，假設(shè)切應(yīng)力均勻分布，得到名義切應(yīng)力，即：

剪切極限應(yīng)力，可通過材料的剪切破壞試驗(yàn)確定。

極限應(yīng)力除以安全因數(shù)。即得出材料的許用應(yīng)力剪切強(qiáng)度條件表示為：剪切計(jì)算主要有以下三種：1、剪切強(qiáng)度校核；2、截面設(shè)計(jì)；3、計(jì)算許用荷載。例題6.9

正方形截面的混凝土柱，其橫板，邊長(zhǎng)為200mm，其基底為邊長(zhǎng)1m的正方形混凝土板，柱承受軸向壓力

設(shè)地基對(duì)混凝土板的支反力為均勻分布，混凝土的許用切應(yīng)力試設(shè)計(jì)混凝土板的最小厚度為多少時(shí)，才不至于使柱穿過混凝土板？解：（1）混凝土板的受剪面面積（2）剪力計(jì)算（3）、混凝土板厚度設(shè)計(jì)(4)、取混凝土板厚度才能在鋼板上沖出一個(gè)直徑的圓孔。例題6.10

鋼板的厚度，其剪切極限應(yīng)力，問要加多大的沖剪力F，解：（1）鋼板受剪