第八章阻抗和導納

第八章阻抗和導納第三篇動態(tài)電路的相量分析法和S域分析法第八章阻抗和導納8.2復數(shù)8.4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式8.1變換方法的概念8.3振幅相量8.5三種基本電路元件VCR的相量形式8.10相量模型的等效8.9相量模型的網(wǎng)孔分析和節(jié)點分析8.11有效值有效值相量8.8正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析8.7正弦穩(wěn)態(tài)電路與電阻電路分析方法的類比——相量模型的引入8.6VCR的相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入8.12兩類特殊問題相量圖法教案目錄8.1正弦量的基本概念第八章阻抗和導納8.2正弦量的相量表示8.3正弦穩(wěn)態(tài)響應8.4三種基本電路元件伏安關系的相量形式8.5電路定律的相量形式和電路的相量模型8.6復阻抗和復導納8.7用相量法分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應1.理解正弦量的特征及其各種表示方法；2.掌握基本元件的VCR相量模型；3.理解電路基本定律的相量形式及阻抗、導納的概念；4.熟練掌握計算正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法，會畫相量圖。5.學會動態(tài)電路相量模型的網(wǎng)孔分析和節(jié)點分析法。本章要求8.1正弦量的基本概念一、幾個概念時變電壓和電流：隨時間變化的電壓和電流稱為時變的電壓和電流。交流電路：電路中所含的電源都是交流電源，則稱該電路為交流電路。交流動態(tài)電路：若交流電路中除電源外所含的元件至少有一個是動態(tài)元件，則稱該電路為交流動態(tài)電路。瞬時值：時變電壓和電流在任一時刻的數(shù)值，稱為瞬時值。u(t)t0周期電壓、電流如果電流或電壓每經(jīng)過一定時間（T）就重復變化一次，則此電流

、電壓稱為周期性電流或電壓。如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等。記做：u(t)=u(t+kT)Tut0uTt0ti0激勵和響應均為正弦量的電路稱為正弦交流電路。設正弦交流電流：角頻率：決定正弦量變化快慢幅值：決定正弦量的大小幅值、角頻率、初相角成為正弦量的三要素。初相角：決定正弦量起始位置Im2TiOt二、正弦量的三要素為正弦電流的最大值（振幅）正弦波特征量之一--幅度

在工程應用中常用有效值表示幅度。常用交流電表指示的電壓、電流讀數(shù)，就是被測物理量的有效值。標準電壓220V，也是指供電電壓的有效值。最大值電量名稱必須大寫,下標加m。如：Um、Im則有（均方根值）交流直流熱效應相當有效值電量必須大寫，如：U、I有效值概念交流電流i通過電阻R在一個周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量與一直流電流I通過同一電阻在同一時間T內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則稱I的數(shù)值為i的有效值可得當

時，i=2Isin(t+ψ)i可寫為：同理:u=Umsin(t+ψ)2mUU=u=2Usin(t+ψ)u可寫為：

電器~220V最高耐壓=300V

若購得一臺耐壓為300V的電器，是否可用于220V的線路上?

該用電器最高耐壓低于電源電壓的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V電源電壓問題與討論

描述變化周期的幾種方法1.周期

T：變化一周所需的時間

單位：秒，毫秒..正弦波特征量之二--角頻率3.角頻率

ω：每秒變化的弧度

單位：弧度/秒2.頻率

f：每秒變化的次數(shù)

單位：赫茲，千赫茲...iT正弦波特征量之三--初相位：t=0

時的相位，稱為初相位或初相位角。說明：

給出了觀察正弦波的起點或參考點，常用于描述多個正弦波相互間的關系。i：正弦波的相位角或相位Imti(t)=Imsin(wt+y)i波形圖一般

||tiO

=0

=/2=-/2同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。（以正弦函數(shù)分析）同頻率正弦量的相位差(phasedifference)設u(t)=Umsin(wt+yu),i(t)=Imsin(wt+yi)則相位差j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yij>0，u領先(超前)ij角，或i落后(滯后)uj角(u比i先到達最大值)；j<0，i領先(超前)uj角，或u落后(滯后)ij

角(i比u先到達最大值)。tu,iu

iyuyijOj=0，同相j=(180o)

，反相特殊相位關系：tu,iu

i0tu,iu

i0tu,iu

iO同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。相位比較時注意：1.同頻率才能比較相位

2.同用cos或sin表示

3.同符號=p/2：u領先ip/2,不說u落后i3p/2；

i落后up/2,不說

i領先u3p/2。正交例1幅度：已知：頻率：初相位：A例2已知正弦電流波形如圖，w＝103rad/s，（1）寫出i(t)表達式；（2）求最大值發(fā)生的時間t1ti010050t1解:例3已知余弦電流波形如圖，w＝103rad/s，（1）寫出i(t)表達式；（2）求最大值發(fā)生的時間t1ti010050t1解:由于最大值發(fā)生在計時起點之后例4計算下列兩正弦量的相位差。解

不能比較相位差兩個正弦量進行相位比較時應滿足同頻率、同函數(shù)、同符號，且在初相位角取值范圍內(nèi)比較。8.2正弦量的相量表示瞬時值表達式相量(重點)必須小寫前兩種不便于運算，重點介紹相量表示法。波形圖i正弦量的表示方法：0

概念

：一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉(zhuǎn)矢量在縱軸上的投影值來表示。一、正弦波的相量表示法矢量長度

=

矢量與橫軸夾角

=

初相位ω矢量以角頻率

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)ω旋轉(zhuǎn)相量及其在橫軸和縱軸上的投影:有效值1.描述正弦量的有向線段稱為相量(phasor)。若其幅值用最大值表示，則用符號：最大值相量的書寫方式2.在實際應用中，幅度更多采用有效值，則用符號：mUmIUI3.相量符號U、I

包含幅度與相位信息。mUU或二、正弦波的相量表示法舉例例1：將u1、u2

用相量表示

相位：幅度：相量大小設：U1U2相位哪一個領先？哪一個落后？U2U1領先于同頻率正弦波的相量畫在一起，構成相量圖。例2：同頻率正弦波相加--平行四邊形法則U2U1Uu=u1+u2=()2221

sin2

ψw+==tUu()11

sin2ψw+tUu()

sin2ψw+tU21UUU+=–==180o–

用余弦定理求U：U2=U12+U22–2U1U2cosU2U1U用正弦定理求角：sinUU2sin

==ψ1+()

sin2ψw+tUu=U2U1U注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同頻率的正弦量才能畫在一張相量圖上，不同頻率不行。新問題提出：平行四邊形法則可以用于相量運算，但不方便。故引入相量的復數(shù)運算法。相量

復數(shù)表示法復數(shù)運算實際是變換的思想三、相量的復數(shù)表示將相量放到復平面上，可如下表示：Uab+1UψψsincosjUUjbaU+=+=a、b分別為U在實軸和虛軸上的投影歐拉公式ψDTUψ=eUj代數(shù)式

指數(shù)式

極坐標形式

ψψ+=+=jUjbaU)sin(cosab+1U設a、b為正實數(shù)ψjeUjbaU=+=在第一象限在第四象限ψjeUjbaU=-=ψjeUjbaU=+-=在第二象限ψjeUjbaU=--=在第三象限ψ在一、二象限，一般ψ取值：180°ψ0°ψ在三、四象限，一般ψ取值：0°ψ-180°+1U1ψ1=60°ψ2=120°U2U3ψ3=-120°計算相量的相位角時，要注意所在象限。如：43jU--=43jU+-=43jU-=43jU+=例：相量的復數(shù)運算1.復數(shù)加、減運算222111jbaUjbaU+=+=設：ψjUebbjaaUUU=±+±=±=)()(212121則：2.復數(shù)乘、除法運算)(212121ψψ+==jeAAAAA乘法：212211ψψjjeAAeAA==設：()212121ψψ-=jeAAAA除法：3.旋轉(zhuǎn)因子復數(shù)ejq

=cosq+jsinq=1∠qReIm0ejqqAAA?ejq

相當于A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度q，而模不變。故把ejq

稱為旋轉(zhuǎn)因子。故+j,–j,-1都可以看成旋轉(zhuǎn)因子幾種不同值時的旋轉(zhuǎn)因子：ReIm0復數(shù)符號法應用舉例例1:已知瞬時值，求相量。已知:

求：i、u

的相量解：A506.86301003024.141jI+=D=D=ooV5.190110602206021.311jU-=-D=-D=oo求：例2：已知相量，求瞬時值。解：已知兩個頻率都為1000Hz的正弦電流其相量形式為：A10A601003021oojeII=-D=波形圖瞬時值相量圖復數(shù)符號法小結：正弦量的四種表示法TiψψDT=+=UeUjbaUjUI0符號說明瞬時值---小寫u、i有效值---大寫U、I復數(shù)、相量---大寫+“.”最大值---大寫+下標U？正誤判斷1.已知：？有效值？3.已知：復數(shù)瞬時值j45?？最大值？？負號2.已知：4.已知：例3:已知有效值I=16.8A求：解：例4.正弦量的微分、積分運算微分運算相量微分:積分運算:相量積分:一、正弦RL電路的零狀態(tài)響應Ri(t)u(t)L+-Ψu取決于計時時刻求iL(t),t≥0,iL(0-)=0.解:強制分量(特解)：Imsin(wt+yi)自由分量(齊次方程解)：Ae-R/Lt8.3正弦穩(wěn)態(tài)響應將強制分量(特解)Imsin(wt+yi)代入（1）則：比較得出：所以有：til(t)05其中：結果：二、正弦穩(wěn)態(tài)響應正弦穩(wěn)態(tài)響應：正弦激勵下的線性非時變電路的特解。正弦穩(wěn)態(tài)響應與初始狀態(tài)無關，是與輸入同頻率的正弦量，可用相量法求。條件：1.線性、非時變電路。

2.單一頻率下的正弦激勵。

3.穩(wěn)定狀態(tài)。一、電阻時域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值關系：UR=RI相位關系u=i(u,i同相)R+-URu相量關系：UR=RIu=i8.4三種基本電路元件伏安關系的相量形式瞬時功率：波形圖及相量圖：

itOuRpRu=iURI瞬時功率以2交變。但始終大于等于零，表明電阻始終是消耗功率。二、電感時域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型jL+-i相量關系：有效值關系：UL=wLI相位關系：u=i+90°

(u超前i90°)1.相量關系感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；XL=L=2fLXL=L=2fL，稱為感抗，單位為(歐姆)BL=-1/L=-1/2fL，感納，單位為S(同電導)2.感抗和感納電感L具有通直阻交的作用相量表達式:(3)由于感抗的存在使電流落后電壓。電感電路復數(shù)形式的歐姆定律(2)感抗和頻率成正比；O3.功率：波形圖：t

iOuLpL2瞬時功率以2交變，有正有負，一周期內(nèi)剛好互相抵消。三、電容時域形式：相量形式：相量模型有效值關系：IC=wCU相位關系：i=u+90°

(i超前u90°)uiC(t)u(t)C+-+-相量關系：1.相量關系令XC=-1/wC，稱為容抗，單位為W(歐姆)BC=wC，稱為容納，單位為Sw0，|XC|直流開路(隔直)w，|XC|0高頻短路(旁路作用)2.容抗和容納容抗的物理意義：(1)

表示限制電流的能力；所以電容C具有隔直通交的作用相量表達式:(3)由于容抗的存在使電流領先電壓。（2）頻率和容抗成反比；O電容電路中復數(shù)形式的歐姆定律3.功率：波形圖：t

iCOupC2瞬時功率以2交變，有正有負，一周期內(nèi)剛好互相抵消。指出下列各式中哪些是對的，哪些是錯的？在電阻電路中：在電感電路中：在電容電路中：【練習】1.三種基本電路元件伏安關系的相量形式電路參數(shù)基本關系復阻抗L復阻抗電路參數(shù)基本關系C電路參數(shù)R基本關系復阻抗小結在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復數(shù)阻抗（)表示，則復數(shù)形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。2.三種基本電路元件復數(shù)形式的歐姆定律

電阻電路電感電路電容電路復數(shù)形式的歐姆定律8.5電路定律的相量形式和電路的相量模型一、基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應的相量形式表示：上式表明：流入某一節(jié)點的所有正弦電流用相量表示時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足KVL。二、電路的相量模型(phasormodel)時域列寫微分方程相量形式代數(shù)方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-時域電路相量模型相量模型：電壓、電流用相量；元件用復數(shù)阻抗或?qū)Ъ{。三、相量圖1.同頻率的正弦量才能表示在同一個相量圖中；2.以角速度反時針方向旋轉(zhuǎn)；3.選定一個參考相量(設初相位為零。)jwL1/jwCR+-+-++--選

R為參考相量小結1.求正弦穩(wěn)態(tài)解是求微分方程的特解，應用相量法將該問題轉(zhuǎn)化為求解復數(shù)代數(shù)方程問題。2.引入電路的相量模型，不必列寫時域微分方程，而直接列寫相量形式的代數(shù)方程。3.采用相量法后，電阻電路中所有網(wǎng)絡定理和一般分析方法都可應用于正弦交流電路。電路元件的相量關系基爾霍夫定律的相量形式iu=iu感抗容抗感抗和容抗相量關系電抗一、復阻抗正弦激勵下Z+-無源線性+-8.6復阻抗、復導納及其等效變換電阻單位：阻抗模阻抗角1.定義純電阻純電感純電容感抗容抗2.R、L、C元件的復阻抗二、復導納正弦激勵下Y+-無源線性+-電導電納單位：S

導納的模導納角1.定義2.R、L、C元件的復導納純電阻純電感純電容感納容納三、RLC串聯(lián)電路阻抗分析1.用相量法分析R、L、C串聯(lián)電路的阻抗由KVL：其相量關系也成立LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+---++R—電阻(阻抗的實部)；X—電抗(阻抗的虛部)；|Z|—復阻抗的模；—阻抗角。Z：復阻抗實部為阻虛部為抗容抗感抗2.關于復數(shù)阻抗Z的討論由復數(shù)形式的歐姆定律可得：1）Z和總電流、總電壓的關系2）阻抗（Z）三角形阻抗三角形3）Z和電路性質(zhì)的關系

一定時電路性質(zhì)由參數(shù)決定當

時，表示u領先i－－電路呈感性當

時，表示u落后i

－－電路呈容性當時，

表示u、i同相－－電路呈電阻性阻抗角3.R-L-C串聯(lián)交流電路相量圖先畫出參考相量相量表達式：RLC電壓三角形4.阻抗三角形和電壓三角形的關系電壓三角形阻抗三角形相似正誤判斷？？？？在RLC串聯(lián)電路中，？？？？？？？？？？設例1.已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型為LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+---++則UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓。-3.4°相量圖思考RLC+_+_+_+_1.假設R、L、C已定，電路性質(zhì)能否確定？阻性？感性？容性？2.RLC串聯(lián)電路的是否一定小于1？3.RLC串聯(lián)電路中是否會出現(xiàn)，的情況？4.在RLC串聯(lián)電路中，當L>C時，u超前i，當L<C時，u滯后i，這樣分析對嗎？四、GLC并聯(lián)電路阻抗分析由KCL：iLCGuiLiC+-iGjLG+-Y—復導納；G—電導(導納的實部)；B—電納(導納的虛部)；|Y|—復導納的模；'—導納角。關系：|Y|GBj導納三角形Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jwC>1/wL，B>0，j'>0，電路為容性，i領先u；wC<1/wL，B<0，j'<0，電路為感性，i落后u；wC=1/wL，B=0，j=0，電路為電阻性，i與u同相。畫相量圖：選電壓為參考相量(wC<1/wL，<0)'GLC并聯(lián)電路同樣會出現(xiàn)分電流大于總電流的現(xiàn)象jLG+-五、復阻抗和復導納的等效互換一般情況G1/RB1/XooZRjXooGjBY1.Z變?yōu)閅的等效變化2.Y變?yōu)閆的等效變化ooZRjXooGjBY同直流電路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2六、阻抗串、并聯(lián)計算解：同理：++--+-例1:有兩個阻抗它們串聯(lián)接在的電源;求:和并作相量圖。或利用分壓公式：注意：相量圖++--+-例2:解:同理：+-有兩個阻抗它們并聯(lián)接在的電源上;求:和并作相量圖。相量圖注意：或下列各圖中給定的電路電壓、阻抗是否正確？思考兩個阻抗串聯(lián)時,在什么情況下:成立。U=14V?U=70V?(a)3-4V1V26V8V+_-6-830V40V(b)V1V2+_二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，正弦穩(wěn)態(tài)響應相量分析即可應用電阻電路的分析方法。8.7用相量法分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應比較：1、據(jù)原電路圖畫出相量模型圖（電路結構不變）2、根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖一般正弦交流