小學(xué)奧數(shù)總復(fù)習(xí)(上)

（上）

小學(xué)奧數(shù)總復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題——單位“1”轉(zhuǎn)換

知識(shí)點(diǎn)梳理基本步驟：1、確定單位“1”，2、準(zhǔn)確找出“量”與“率”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，3、確定乘除法，4、統(tǒng)一單位“1”。

在題目中常常出現(xiàn)幾個(gè)不同的單位“1”，這時(shí)需要將它們轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的單位“1”，以便于比較和發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。典型例題精講例1.媽媽買來一桶油，第一次倒出全部的

，第二次倒出余下的

，還剩下6千克，求這桶油原來共有多少千克？解析

整體對(duì)應(yīng)式：6千克+第一次倒的+余下的→“1”第一次倒出，單位“1”是這桶油第二次倒出余下的，單位“1”是(1-)=的即是全部的×=解：6÷[1－－（1－）×]=12（千克）

答：這桶油原來12千克。例2.甲校人數(shù)是乙校人數(shù)的

，乙校人數(shù)是丙校人數(shù)的，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？解析

統(tǒng)一單位“1”，抓住中間量“乙”。甲校人數(shù)是乙校人數(shù)的，單位“1”是“乙”，乙校人數(shù)是丙校人數(shù)的，單位“1”是“丙”，

可以轉(zhuǎn)化為，丙是乙的。

乙：450÷（－）=750（人）甲：750×=600（人）

丙：750×=1050（人）例3.商店運(yùn)來白菜和土豆共630千克，運(yùn)來白菜的

與土豆的一樣多，商店運(yùn)來白菜、土豆各多少千克？解析

方法一：按比分配解決白菜×=土豆×白菜××=土豆××白菜:土豆=11:10白菜：630÷（11+10)×11=330（千克）土豆：630-330=300（千克）方法二：統(tǒng)一單位“1”以白菜為單位“1”，土豆是白菜的÷=630÷（1+）=330（千克）630-330=300（千克）答：運(yùn)來白菜330千克，土豆300千克。

例4.新光小學(xué)有音樂、美術(shù)和體育三個(gè)特長(zhǎng)班，音樂班人數(shù)相當(dāng)于另外兩個(gè)班的

，美術(shù)班人數(shù)相當(dāng)于另外兩個(gè)班的

，體育班有58人，音樂和美術(shù)各有多少人？解析

2+5=73+7=10解答：58÷（1--）=140（人）

140×=40（人）140×=42（人）答：音樂班40人，美術(shù)班42人。例5.甲乙兩戶共養(yǎng)雞2700只，如果甲賣出所養(yǎng)雞的，乙賣出300只，則兩戶余下的只數(shù)相等，兩戶各養(yǎng)雞多少只？

解析看圖分析解答

2700-300=2400（只）1-=2400÷（1+）=1500（只)2700-1500=1200（只)

答：甲戶養(yǎng)雞1500只，乙戶養(yǎng)雞1200只。甲戶養(yǎng)雞:乙戶養(yǎng)雞:例6.兄弟四人合修一條路，結(jié)果老大修了另外三人總數(shù)的一半，老二修了另外三人總數(shù)的

，老三修了另外三人總數(shù)的

，老四

修了91米，問這條路長(zhǎng)多少米？解析統(tǒng)一單位：以總路程為單位“1”

老大修了總路程的老二修了總路程的老三修了總路程的

=420（千米）

答：這條路長(zhǎng)420米。例7.哥哥和弟弟共有人民幣10．8元，哥哥用去自己錢數(shù)的75％，弟弟用去自己錢數(shù)的80％，兩人所剩的錢正好相等，哥哥原來有多少錢？解析

哥哥的錢×（1-75%）=弟弟的錢×（1-80%）

哥哥的錢×25%=弟弟的錢×20%

哥哥的錢：弟弟的錢=4:5

哥哥：10.8÷（4+5）×4=4.8（元）

弟弟：10.8-4.8=6（元）

答：哥哥原來有4.8元錢。分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題——抓不變量解決分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本步驟

1.要找準(zhǔn)單位“1”2.是要看所給“量”3.要決定乘除法4.是乘法知道“1”

5.要除法求出“1”6.是“量”“率”要對(duì)應(yīng)

特別提示：畫線段圖是解題的關(guān)鍵，畫圖時(shí)，要先畫單位“1”典型例題精講例1.小強(qiáng)和小明各有圖書若干本。已知小強(qiáng)的圖書本數(shù)占兩人圖書總數(shù)的60%，當(dāng)小強(qiáng)借給小明20本后，小強(qiáng)和小明圖書本數(shù)的比是2：3。兩人一共有圖書多少本？解析

小強(qiáng)借給小明20本之前；小強(qiáng)和兩人圖書的本數(shù)比是:60%=3:5小強(qiáng)借給小明20本之后；小強(qiáng)和兩人圖書的本數(shù)比是:2+3=52:520÷（3-2）=20（本）共有書：20×5=100（本）例2.一批葡萄運(yùn)進(jìn)倉(cāng)庫(kù)時(shí)的質(zhì)量是100千克，測(cè)得含水量為99%，過一段時(shí)間，測(cè)得含水量為98%，這時(shí)葡萄的質(zhì)量是多少千克？解析

剛進(jìn)來時(shí)，100千克葡萄含水量99%，葡萄干的含量是1-99%=1%，100×1%=1（千克）過一段時(shí)間后，測(cè)得含水量為98%，葡萄干的含量是1-98%=2%，葡萄干的質(zhì)量不變，1÷2%=50（千克）答：這時(shí)葡萄的質(zhì)量是50千克。例3.某校六年級(jí)上學(xué)期男生占總?cè)藬?shù)的54％，本學(xué)期轉(zhuǎn)進(jìn)3名女生，轉(zhuǎn)走3名男生，這時(shí)女生占總?cè)藬?shù)的48％?，F(xiàn)在有男生多少人？解析方法一：男生人數(shù)和女生人數(shù)都在變，只有六年級(jí)的總?cè)藬?shù)不變，本學(xué)期轉(zhuǎn)進(jìn)3名女生，轉(zhuǎn)走3名男生之前，男生占總?cè)藬?shù)的54%，轉(zhuǎn)走之后男生占總?cè)藬?shù)的1-48%=52%總?cè)藬?shù)：3÷（54%-52%）=150（人）現(xiàn)在男生：150×52%=78（人）解析方法二：用比例解決

解設(shè)：六年級(jí)有學(xué)生X人，男生54%X,女生46%X.(54%X-3）：（46%X+3）=52%：48%200X=30000X=150現(xiàn)在有男生：150×52%=78（人）行程問題——相遇問題知識(shí)點(diǎn)梳理解答行程問題的基礎(chǔ)，在于正確理解并掌握速度、時(shí)間、路程三種量之間的如下關(guān)系：

路程=速度×?xí)r間S=VT

時(shí)間=路程÷速度T=S÷V

速度=路程÷時(shí)間V=S÷T相遇問題是行程問題中的一種類型，解答相遇問題要緊緊抓住“速度和”這個(gè)關(guān)鍵條件。相遇問題的基本關(guān)系是：

速度和×相遇時(shí)間=路程路程÷速度和=相遇時(shí)間

路程÷相遇時(shí)間=速度和速度和一甲速度=乙速度典型例題精講例1.甲、乙兩列火車從相距824千米的兩城相向出發(fā)，6小時(shí)以后還相差200千米沒相遇，甲車每小時(shí)行48千米，求乙車每小時(shí)行多少千米？解析

解：824-200=624（千米）624÷6=104（千米）104-48=56（千米）答：乙車每小時(shí)行56千米。例2.甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A、B兩地相向開出，甲車每小時(shí)行56千米，乙車每小時(shí)行48千米，兩車在距中點(diǎn)32千米處相遇,求A、B兩地間的距離是多少千米？解析

甲、乙兩車的速度差：56-48=8（千米）甲、乙兩車的路程差：32×2=64（千米）甲、乙兩車的相遇時(shí)間：64÷8=8（小時(shí)）A、B兩地間的距離：（56+48）×8=832（千米）答：A、B兩地間的距離是832千米。例3.甲村，乙村相距6千米，小張和小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一個(gè)村后馬上返回）。在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇，小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇，問小王和小張的速度各是多少？看圖解析解答二次相遇，小張和小王一共行了三個(gè)全程：6×3=18千米行駛一個(gè)全程用40分鐘，行駛?cè)齻€(gè)全程共40×3=120分=2小時(shí)小王行駛的路程是6+2=8千米，用2小時(shí)，小王速度是：8÷2=4千米小張2小時(shí)行駛18-8=10千米，小張的速度是：10÷2=5千米。答：小王速度的速度是每小時(shí)行駛4千米，小張的速度是每小時(shí)5千米。例4.甲、乙兩人分別同時(shí)從A、B兩地相向而行，相遇時(shí)距A地120米，相遇后，他們繼續(xù)前進(jìn)，到達(dá)目的地后立即返回，在距B地150米處再次相遇，求A、B兩地之間的距離?？磮D解析甲、乙二人兩次相遇一共走了三個(gè)全程。第一次相遇距離A地120米，說明甲乙走一個(gè)全程時(shí)，甲走120米，速度不變，走三個(gè)全程，甲共走120×3=360米。走一個(gè)全程多150米。360-150=210米答:求A、B兩地之間的距離是210米。例5.A、B是圓的直徑的兩端點(diǎn)，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C點(diǎn)離A點(diǎn)有80米，在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)有60米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)?

看圖解析甲、乙二人走半個(gè)圓時(shí)，第一次相遇，甲走80米，相遇后，又走一個(gè)圓，二次相遇，共走3個(gè)半圓，甲走80×3=240米，走了一個(gè)半圓多60米，所以半圓長(zhǎng)240-60=180米，圓周長(zhǎng)180×2=360米例6.小張與小王分別從甲乙兩地同時(shí)出發(fā)，在兩地之間往返行駛（到達(dá)另一地后就立即返回），他們?cè)陔x甲地3.5千米處第一次相遇，在離乙地2千米處第二次相遇。問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙地多遠(yuǎn)？（相遇指迎面相遇）看圖解析

解答二次相遇時(shí)，小張行了:3.5×3=10.5千米相距:10.5-2=8.5千米兩人第四次相遇,共行2×4-1=7個(gè)全程小張行了:3.5×7=24.5千米24.5÷8.5=2個(gè)全程余7.5千米即第四次相遇時(shí),小張行了兩個(gè)全程多7.5千米，第四次相遇點(diǎn)與乙的距離:8.5-7.5=1千米例7.甲、乙、丙三人步行的速度分別是：每分鐘甲走90米，乙走75米，丙走60米。甲、丙從某長(zhǎng)街的西頭、乙從該長(zhǎng)街的東頭同時(shí)出發(fā)相向而行，甲、乙相遇后恰好4分鐘乙、丙相遇，那麼這條長(zhǎng)街的長(zhǎng)度是多少米？看圖解析甲、丙的路程差：（60+75）×4=540米甲、丙速度差：90-60=30米甲乙相遇時(shí)間：540÷30=18分全長(zhǎng)：（90+75）×18=2970米

練習(xí)：

甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，出發(fā)時(shí)，甲和乙的速度比是5:4，相遇后，甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米，那么A、B兩地相距多少千米？行程問題——追及問題知識(shí)點(diǎn)梳理

運(yùn)動(dòng)的物體或人同向而不同時(shí)出發(fā)，或不同地點(diǎn)出發(fā)，后出發(fā)的速度快，經(jīng)過一段時(shí)間追上先出發(fā)者。這樣的問題叫做追及問題。追及問題的三要素：“追及路程”、“速度差”和追及時(shí)間。追及問題的基本關(guān)系是：

追及路程÷速度差＝追及時(shí)間

速度差×追及時(shí)間＝追及路程

追及路程÷追及時(shí)間＝速度差典型例題精講例1.妹妹以每分鐘40米的速度從家步行去學(xué)校，哥哥比她晚8分鐘騎自行車從家出發(fā)去追妹妹，哥哥每分鐘騎行200米，哥哥幾分鐘可以追上妹妹？解析路程差：40×8＝320（米）速度差：200-40=160（米/分鐘）解：320÷（200-40）＝2（分鐘）答：哥哥2分鐘可以追上妹妹。例2.

A、B兩地相距1200米。甲、乙兩個(gè)人分別從兩地同時(shí)出發(fā)。若相向而行，8分鐘相遇；若同向行走，60分鐘甲可以追上乙。甲從A地走到B地要用多長(zhǎng)時(shí)間？（和+差）÷2=大數(shù)（和-差）÷2=小數(shù)解析例3.兩條公路呈十字交叉。甲從十字路口南1350米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。同時(shí)出發(fā)10分鐘后，二人離十字路口的距離相等；二人仍保持原來速度直行，又過了80分鐘，這時(shí)二人離十字路口的距離又相等。求甲、乙二人的速度。解析

速度和：1350÷10=135（米）速度差：1350÷90=15（米）甲的速度：（135+15）÷2=75（米）乙的速度：135-75=60（米）答：甲、乙二人的速度分別是每分鐘走75米和60米。例4.上午8時(shí)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)。8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他。在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回頭去追小明。再追上他的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾時(shí)幾分？解析——解法1小明8:08從家出發(fā)爸爸8:16從家出發(fā)爸爸的速度是小明的幾倍：（4＋8）÷4＝3爸爸走4千米所需的時(shí)間：8÷（3-1）＝4（分鐘）爸爸的速度：4÷4＝1（千米/時(shí)）解：爸爸所用的時(shí)間：（4＋4＋8）÷1＝16（分鐘）16＋16＝32（分鐘）答：這時(shí)是8時(shí)32分。解析——解法2圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上：小明走了

：8-4＝4（千米）爸爸騎的距離：4＋8＝12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4＋12＝16（千米）.8分鐘少騎行24-16＝8（千米），可以得到摩托車的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16＝32.所以這時(shí)是8點(diǎn)32分。

例5.從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，在經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？看圖分析解析：指向4點(diǎn)時(shí),時(shí)針和分針角度差：4×30-0=120度

可以當(dāng)做行程問題

分針每分走360÷12÷5=6度,時(shí)針每分走30÷60=0.5度

速度差為6-0.5=5.5度

120÷5.5=240/11分鐘

再經(jīng)過240/11分重合例6.馬路上有一輛身長(zhǎng)為15米的公共汽車，由東向西行駛，車速為18千米/小時(shí)。馬路邊的人行道上有甲、乙兩個(gè)人在練長(zhǎng)跑、甲由東向西跑，乙由西向東跑。某一刻，汽車追上了甲，6秒后汽車離開了甲。半分鐘后，汽車遇上了迎面跑來的乙，又過了2秒，汽車離開了乙，問，再多少秒后，甲乙兩個(gè)人相遇?？磮D解析解析先把“車速”化為每秒18×1000÷3600=5（米）甲的速度為每秒：5-15÷6=2.5（米）乙的速度為每秒：15÷2-5=2.5（米）汽車離開乙時(shí)，甲、乙兩人之間相距：（5-2.5）×（0.5×60＋2）=80（米）甲、乙相遇時(shí)間：80÷（2.5＋2.5）=16（秒）例7.如圖,一個(gè)圓周長(zhǎng)為90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周三等分，3只爬蟲A、B、C分別在這3個(gè)點(diǎn)上，它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行。A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？解析

A第一次和B相遇時(shí)間：30÷(10-5)=6秒，

以后每次相遇時(shí)間間隔為：90÷(10-5)=18秒，

所以A、B相遇的時(shí)間6,24,42,60,78,96,114,132,…。B第一次和C相遇時(shí)間：30÷(5-3)=15秒,

以后每次相遇時(shí)間為90÷(5-3)=45秒,

所以B、C相遇的時(shí)間為15,60,105…。所以3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次到達(dá)同一位置。例8.快、中、慢三輛汽車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面一個(gè)騎自行車的人，這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人。現(xiàn)在知道快車每分鐘行400米，中車每分鐘行320米，那么，慢車每分鐘行多少米？看圖分析24003200騎車人4分鐘800米行程問題--流水行船知識(shí)點(diǎn)梳理（一）基本概念船在江河里航行時(shí)，除了本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和所行的路程，叫做流水行船問題。古語：“逆水行舟不進(jìn)則退”船速：是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過的路程。水速：是指水在單位時(shí)間里流過的路程。順?biāo)俣群湍嫠俣龋悍謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單位時(shí)間里所行的路程。(二）計(jì)算公式流水行船問題，是行程問題中的一種。三個(gè)量（速度、時(shí)間、路程）流水行船問題還有以下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?船速+水速（1）逆水速度=船速-水速.（2）由公式（1）得：水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2）得到：

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2。典型題例1.甲、乙兩港間的水路長(zhǎng)208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度。解析

順?biāo)俣龋?08÷8=26（千米/小時(shí)）逆水速度：208÷13=16（千米/小時(shí)）船速：（26+16）÷2=21（千米/小時(shí)）

水速：（26—16）÷2=5（千米/小時(shí)）答：船在靜水中的速度和水流速度。

例2.某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時(shí)，水速每小時(shí)3千米，問從乙地返回甲地需要多少時(shí)間？解：

從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18（千米/時(shí)），甲乙兩地路程：18×8=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小時(shí)），返回時(shí)逆行用的時(shí)間：144÷12＝12（小時(shí)）。答：從乙地返回甲地需要12小時(shí)。例3.甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了5小時(shí).現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí)12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？解：

輪船逆流航行的時(shí)間：（35+5）÷2=20（小時(shí)）順流航行的時(shí)間：（35—5）÷2=15（小時(shí)）輪船逆流速度：360÷20=18（千米/小時(shí)）順流速度：360÷15=24（千米/小時(shí)）水速：（24—18）÷2=3（千米/小時(shí)）帆船的順流速度：12＋3＝15（千米/小時(shí)）帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小時(shí)）帆船往返兩港所用時(shí)間：360÷15＋360÷9＝24+40=64（小時(shí)）。河流中相遇問題車輛相遇問題：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)路程和等于甲乙兩車的速度和。路程=時(shí)間×速度和在河流中甲、乙兩船速度和。推導(dǎo)：甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。結(jié)論：兩船在水中的相遇問題與兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系。水上追及問題車輛同向：路程差=速度差×?xí)r間兩船同向：路程差=船速差×?xí)r間推導(dǎo)：甲船順?biāo)俣?乙船順?biāo)俣?（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。結(jié)論：水中追及問題與在靜水中追及問題及兩車在陸地上追及問題一樣。如果兩船逆向追趕時(shí)，也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）

=甲船速-乙船速。例4小剛和小強(qiáng)租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進(jìn)江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船頭時(shí)，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時(shí)4千米，水流速度是每小時(shí)2千米，那么他們追上水壺需要多少時(shí)間？解析速度差=船順?biāo)俣?水壺飄流的速度解：路程差÷船速=追及時(shí)間2÷4=0.5（小時(shí)）答：他們二人追回水壺需用0.5小時(shí)。例5.甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時(shí)24千米和每小時(shí)32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時(shí)后乙船追上甲船？解析解：①相遇時(shí)用的時(shí)間336÷（24+32）=336÷56=6（小時(shí)）。②追及用的時(shí)間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336÷（32—24）＝42（小時(shí)）。例6.一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí)，回來時(shí)順?biāo)?，比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米，求AB兩地間的距離?？磮D解析解析例7.一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭?，由乙至甲是逆水行駛。已知船在靜水中的速度為8千米/時(shí)，平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為2:1。某天恰逢暴雨，水流速度為原來的2倍，這條船往返共用9時(shí)。問：甲、乙兩港相距多少千米？解析

平時(shí)：T逆:T順=2：1，所以,V逆:V順=1：2，設(shè)平時(shí)水流速度為V水，所以平時(shí)逆水航行速度為8-V水，平時(shí)順?biāo)叫兴俣葹?+V水，（8-V水）：（8+V水）＝1：2，所以V水＝8/3km/h，暴雨時(shí)：水流速度為：2V水=16/3km，所以逆水航行速度為：8-2V水=8/3km/h，順?biāo)叫兴俣葹椋?+2V=40/3km/h，V逆:V順=1：5，T逆:T順=5：1，T逆=9÷（1+5）×5=7.5小時(shí)，8/3×7.5=20千米答：甲乙兩港相距20km。例8.有甲、乙兩船，甲船和漂流物同時(shí)從河西向東而行，乙船也同時(shí)從河?xùn)|向西而行。甲船行4小時(shí)后與漂流物相距100千米，乙船行12小時(shí)后與漂流物相遇，兩船的劃速相同，河長(zhǎng)多少千米？看圖解析解析因?yàn)槠魑锏乃俣染褪撬鞯乃俣?，甲船順?biāo)叫校俣?船速+水流的速度，4小時(shí)相距100千米，就是船在靜水中的速度，就是船速。而乙船12小時(shí)與漂流物相遇，乙船是逆水行駛，與漂流物的速度和就是乙船的速度。乙船在靜水中行駛的路程就是河長(zhǎng)。解：船速：100÷4=25(千米)河長(zhǎng)：25×12=300(千米)答：河長(zhǎng)是300千米。工程問題——一般工程問題知識(shí)點(diǎn)梳理1、計(jì)算有關(guān)工程的工作總量、工作時(shí)間、工作效率的問題叫工程問題。2、工程問題中有整數(shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，它們討論同樣都是工作總量、工作時(shí)間、工作效率三者之間的關(guān)系。3、分?jǐn)?shù)工程問題的特點(diǎn)：一般沒有具體的工作總量，工作總量通常用單位“1”表示。4、工程問題的基本數(shù)量關(guān)系式：工作效率×工作時(shí)間=工作總量工作總量÷工作效率=工作時(shí)間工作總量÷工作時(shí)間=工作效率典型例題精講例1.生產(chǎn)一批零件，甲單獨(dú)做需要15天，乙單獨(dú)做需要12天，丙單獨(dú)做需要10天，如果甲、乙、丙三人合做，多少天可以完成？

解析

把一批零件看成單位“1”甲工作效率：乙工作效率：丙工作效率：三人合做需要的天數(shù)：答：甲、乙、丙三人合做4天可以完成。例2.一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成?，F(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成。乙需要做幾天可以完成全部工作？解析甲工作效率：乙工作效率：甲做3天完成的工作量：余下的由乙做需要的天數(shù)：（天）答：乙需要做4天可以完成全部工作。

例3.一房屋由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)合蓋，需要24天完成，現(xiàn)由甲隊(duì)先蓋6天，再由乙隊(duì)蓋2天，共蓋了這間房屋的，如果這間房屋由甲隊(duì)單獨(dú)蓋，需要多少天完成？解析工效和：1÷24=合蓋2天：×2=甲隊(duì)的工作效率：（-）÷（6-2）=甲隊(duì)單獨(dú)蓋所用的天數(shù)：1÷=60天例4.某工程先由甲單獨(dú)做40天，再由乙做28天就可以完成?，F(xiàn)在甲乙合作35天就完成了，如果先由甲單獨(dú)做30天，再由乙接著做，乙還要工作多少天才能完成？解析甲乙工作效率和：甲的工作效率：乙的工作效率：甲做30天完成的工作量：剩下由乙做需要的天數(shù)：答：乙還要工作42天才能完成。例5.一項(xiàng)工程甲單干50天完成，乙單干75天完成，兩人一起合作，中間乙休息了幾天，這樣從開工到完成共用了40天，求乙休息了幾天？解析甲的工作效率：乙的工作效率：甲40天完成的工作量：乙完成的工作量：乙工作的天數(shù)：乙休息的天數(shù)：40-15=25（天）例6.一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需30天完成，兩隊(duì)合作期間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)也休息了若干天（兩個(gè)隊(duì)不能同時(shí)休息），結(jié)果用16天完成任務(wù)，乙隊(duì)休息了多少天？解析甲的工作效率：乙的工作效率：甲工作的天數(shù)：16-3=13（天）甲13天完成的工作量：乙完成的工作量：乙工作的天數(shù)：乙休息的天數(shù)：例7.有甲乙兩項(xiàng)工作，張明單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李亮單獨(dú)完成甲工作要用8天，單獨(dú)完成乙工作要用20天。如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合做，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少要多少天？解析張明完成甲的工作效率：張明完成乙的工作效率：李亮完成甲的工作效率：李亮完成乙的工作效率：共同完成甲工作效率和：共同完成乙工作效率和：張明和李亮完成甲工作：張明和李亮完成乙工作：共需要的天數(shù)：李亮完成甲工作，張明完成乙工作張明8天完成的工作量：剩下的工作共同完成：需要的天數(shù)：8+4=12（天）方案一方案二例8.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天，乙單獨(dú)做需15天，如果兩人合做，他們的工作效率就要降低，甲只能完成原來的，乙只能完成原來的?，F(xiàn)在要求8天完成這項(xiàng)工程，兩人合做的天數(shù)盡可能少，那么兩人要合做多少天？解析甲的工作效率：乙的工作效率：合做時(shí)甲的工效：合做時(shí)乙的工效：甲乙合做時(shí)的工效：解設(shè)：甲乙合做X天。

答：甲乙合做5天。

例9.搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí)。有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B，甲在A倉(cāng)庫(kù)、乙在B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn)。最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完。問丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？解析甲的工作效率：乙的工作效率：丙的工作效率：把整個(gè)工作量看做“2”完成需要的時(shí)間：甲8小時(shí)完成的工作量：丙幫助甲用的時(shí)間：丙幫乙所用的時(shí)間：8-3=5（小時(shí)）答：丙幫助甲3小時(shí)，幫助乙5小時(shí)。速算與巧算---分?jǐn)?shù)拆分識(shí)點(diǎn)梳理

一、簡(jiǎn)便計(jì)算方法：

二、裂項(xiàng)求和的規(guī)律：典型例題精講例1.

解析例2.解析例3.解析例4.解析例5.解析例6.解析例7.

解析例8.

找規(guī)律

例1.的積中有多少個(gè)奇數(shù)字，多少個(gè)偶數(shù)字？

思路分析：如此大的因數(shù)，不可能按一般方法列豎式去乘，一定存在著某些規(guī)律，使問題得到簡(jiǎn)化。我們可以從“簡(jiǎn)單”入手去尋找規(guī)律：不難發(fā)現(xiàn)：積中有數(shù)字1、0、8、9，其中1和8的個(gè)數(shù)相同，比左邊因數(shù)中1的個(gè)數(shù)少1，積中0和9只有1個(gè)。

所以積中有700個(gè)奇數(shù)字，有700個(gè)偶數(shù)字。例2.一個(gè)數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5……，那么1997第1次出現(xiàn)在第幾項(xiàng)？思路分析：這個(gè)數(shù)列中1有1個(gè)，2有2個(gè)，3有3個(gè)，4有4個(gè)，……，1996就有1996個(gè)。

1~1996這些自然數(shù)中一共的個(gè)數(shù)是：利用等差數(shù)列求和公式：可得說明1996這個(gè)自然數(shù)結(jié)束后，這個(gè)數(shù)列中已有1993006個(gè)數(shù)，1997第1次出現(xiàn)在它后面，所以1997第1次出現(xiàn)在第1993007項(xiàng)。例3.計(jì)算思路分析：

……根據(jù)這個(gè)規(guī)律，把原式拆分后，再利用加、減抵消的方法進(jìn)行簡(jiǎn)算。例4.已知最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)可以表示成：試說明分子m是1993的倍數(shù)。思路分析：此題所有加數(shù)的分母是個(gè)自然數(shù)列，調(diào)整一下寫，可以是從這個(gè)結(jié)果看，無論括號(hào)中的結(jié)果是一個(gè)什么樣的分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)的計(jì)算法則，知道積的分子m一定是質(zhì)數(shù)1993的倍數(shù)。例5.在一個(gè)圓周上標(biāo)出一些數(shù)，第一次先把圓周二等分，在兩個(gè)分點(diǎn)旁分別標(biāo)上和，如圖（1）。第二次把兩段半圓弧二等分，在分點(diǎn)旁標(biāo)上相鄰兩分點(diǎn)所標(biāo)兩數(shù)的和，如圖（2），。第三次把4段圓弧再二等分，并在4個(gè)分點(diǎn)旁標(biāo)上相鄰兩分點(diǎn)旁所標(biāo)兩數(shù)的和，如圖（3），。如此繼續(xù)下去，當(dāng)?shù)诎舜螛?biāo)完數(shù)之后，圓周上所有已標(biāo)的數(shù)的總和是多少？思路分析：第一次等分和是第二次等分和是第三次等分后，和是第四次等分，……各次總和分別是每一次總和都是上一次的3倍，因此和是一個(gè)公比是3的等比數(shù)列。

例6.如下圖虛線框中的9個(gè)數(shù)的和恰好是162，請(qǐng)你像這樣用一個(gè)長(zhǎng)方形框出9個(gè)數(shù)，其和恰好是1998，其中最大的數(shù)是多少？思路分析：作業(yè)：1.把自然數(shù)中的偶數(shù)2，4，6，8……依次排成5列（如下面所示），把最左邊的一列叫做第一列。

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列

2468

16141210

18202224

32302826

問：數(shù)“1986”出現(xiàn)在第幾列？

所以1986出現(xiàn)在第2列。數(shù)論問題知識(shí)點(diǎn)梳理

我們常見的形式有數(shù)字謎，計(jì)數(shù)，行程，綜合應(yīng)用題等。涉及到我們學(xué)過的因數(shù)、倍數(shù)、余數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、整除性等知識(shí)點(diǎn)。所以要求同學(xué)們一定打好基礎(chǔ)，熟練掌握，才能靈活應(yīng)用。解決數(shù)論題目的主要方式就是——分解質(zhì)因數(shù)(把合數(shù)表示質(zhì)數(shù)乘積的形式)，我們一定要有分拆、分解、分類討論的思想意識(shí)。

一、整除的特征：（1）2的倍數(shù)特征：末位數(shù)是0、2、4、6、8的數(shù).（2）3、9的倍數(shù)特征：各位數(shù)之和是3的倍數(shù)或9的倍數(shù).（3）5的倍數(shù)特征：末位數(shù)是0或5.（4）4的倍數(shù)特征：末兩位數(shù)是4的倍數(shù).（5）8的倍數(shù)特征：末3位數(shù)是8的倍數(shù).（6）11的倍數(shù)特征：奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差是0或11的倍數(shù).

二、分解質(zhì)因數(shù)：指的就是把一個(gè)合數(shù)表示成質(zhì)數(shù)乘積的形式的過程。唯一分解定理：那么N的因數(shù)個(gè)數(shù)n=（1+p1）×(1+p2)×…(1+pn)

三、輾轉(zhuǎn)相除法

輾轉(zhuǎn)相除法主要針對(duì)兩個(gè)較大數(shù)求最大公因數(shù)而言的。就是用其中較大數(shù)除以較小數(shù)，得余數(shù)r1;接下來每一步都用上一步的除數(shù)除以余數(shù)r2…以此類推，直到除盡為止，最后一步除數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。典型例題精講例1.9600共有多少個(gè)因數(shù)？解析9600=因數(shù)個(gè)數(shù)=（7+1）×（1+1）×（2+1）

=48（個(gè)）例2.七位數(shù)A1994BC能被9,5和8整除，試確定數(shù)字A、B、C的值。解析

（1）此七位數(shù)可被5整除,則個(gè)位必須為0或5;此七位數(shù)又可被8整除,則個(gè)位數(shù)"C"一定是0.（2）七位數(shù)可被8整除,則后三位數(shù)"4B0"可被8整除,故B只能為0、4或8。（3）七位數(shù)又能被9整除,則各位數(shù)字之和可被9整除.故當(dāng)B=0時(shí),A=4;當(dāng)B=4時(shí),A=9;當(dāng)B=8時(shí),A=5.所以符合條件的七數(shù)為4199400、9199440或5199480。原數(shù)：A1994BC例3.求2821和1519的最大公因數(shù)。解析輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因數(shù)2821÷1519=1……13021519÷1302=1……2171302÷217=6（2821,1519）=217例4.有一個(gè)三位數(shù)，被4除余1，被5除余4，被7除余2，這個(gè)數(shù)最小是多少？解析

設(shè)這個(gè)數(shù)為X,X÷4=A……1X÷5=B……4X÷7=C……2每個(gè)算式中，每次商減一，余數(shù)就增加一個(gè)除數(shù)，這樣可以得到同余是“9”，再求4、5、7的最小公倍數(shù)是140，再加9等于149。

例5.要使185×84×135×52×（）乘積的末五位數(shù)都是0，（）中應(yīng)填入的自然數(shù)最小值是多少？解析

要使乘積末五位都是0，就要使這五個(gè)因數(shù)中有5個(gè)2和5個(gè)5。所以要把這四個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，看缺少幾個(gè)5和幾個(gè)2，括號(hào)里就填出它們的乘積。解:185=5×37共有4個(gè)2和2個(gè)5135=5×27缺少3個(gè)5和1個(gè)284=2×2×215×5×5×2=25052=2×2×13答：括號(hào)里填250。例6.有一個(gè)整數(shù)，用它去除70、110、160所得的三個(gè)余數(shù)之和是50，這個(gè)整數(shù)是多少？解析

把三個(gè)數(shù)加起來的和減去50，把所得的差分解，可以求出這個(gè)整數(shù)。70+110+160-50=290290=29×10這個(gè)整數(shù)就是29。例7.四只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油,每瓶和其他各瓶分別合稱一次,記錄千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù),求最重的兩瓶?jī)?nèi)有多少油?解析每個(gè)瓶子稱3次，所以把稱量的結(jié)果之和除以3得到各稱量一次的和。8+9+10+11+12+13=63（千克），63÷3=21（千克），21=19+2，所以油重19千克，四只瓶子共重2千克，每只瓶重2÷5=0.5千克，最重的是13-0.5×2=12千克。例8.商店有6箱貨物，分別重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，兩個(gè)顧客買走了其中的5箱，其中一個(gè)顧客買走的貨物質(zhì)量是另一個(gè)顧客的2倍，那么商店剩下的這箱貨物重多少千克？解析因?yàn)槟米叩囊欢ㄊ?的倍數(shù)，把所有的數(shù)加起來，再減去20才是3的倍數(shù)，所以，剩下的是20千克。15+16+18+19+20+31=119千克1+1+9=1111不是3的倍數(shù)，11-2=9，9是3的倍數(shù)。答：剩下的是20千克。例9.兩個(gè)自然數(shù)的積是5766，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是31，求這兩個(gè)數(shù)。解析

兩個(gè)數(shù)的乘積等于最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積，所以，用它們的積除以最大公因數(shù)等于最小公倍數(shù)，再用最小公倍數(shù)除以最大公因數(shù)，將得數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再乘以最大公因數(shù)就是所求的這兩個(gè)數(shù)，注意討論符合條件的數(shù)可能不止一組。5766÷31÷31=66=2×3=1×61×31=31,6×31=186;2×31=62,

3×31=93答案有兩組：31,186和62,93，例10.某校2012年的學(xué)生人數(shù)是個(gè)完全平方數(shù)，2013年的學(xué)生人數(shù)比上一年多101人，這個(gè)數(shù)字也是一個(gè)完全平方數(shù)。該校2013年的學(xué)生人數(shù)是多少人？解析

設(shè)2012有學(xué)生人，2013年有學(xué)生人，

（y+x)×(y-x)=101101=101×1y=51x+y=101x=50y-x=151×51=2601（人）最值問題知識(shí)點(diǎn)梳理一、積最大的規(guī)律（一）多個(gè)數(shù)的和一定（為一個(gè)不變的常數(shù)），當(dāng)這幾個(gè)數(shù)均相

等時(shí)，它們的積最大。用字母表示，就是：如果a1+a2+…+an=b（b為一常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，a1×a2×…×an有最大值。由“積最大規(guī)律”，可以推出以下的結(jié)論：

結(jié)論（1）：所有周長(zhǎng)相等的n邊形，以正n邊形（各角相等，各邊也相等的n

邊形）的面積為最大。結(jié)論（2）：在三度（長(zhǎng)、寬、高）的和一定的長(zhǎng)方體中，以正方體的體積為

最大。（二）將給定的自然數(shù)N，分拆成若干個(gè)（不定）的自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些自然

數(shù)全是2或3，并且2至多為兩個(gè)時(shí)，這些自然數(shù)的積最大，而且不要出現(xiàn)1。例如：當(dāng)和是14時(shí)（1）14=2+2+2+2+2+2+22×2×2×2×2×2×2=128（2）14=3+3+3+53×3×3×5=135

（3）14=3+3+3+3+23×3×3×3×2=162（4）14=5+5+2+25×5×2×2=100二、和最小的規(guī)律

幾個(gè)數(shù)的積一定，當(dāng)這幾個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的和相等。用字母表達(dá)就是：如果a1×a2×…×an=c（c為常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，a1+a2+…+an，有最小值。例如：面積為64的長(zhǎng)方形和正方形8×8=6432×2=6416×4=64推論：由“和最小規(guī)律”可以推出，在所有面積相等的封閉圖形中，以圓

的周長(zhǎng)為最小。典型例題精講例1.外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、

乙丙、丙丁的中點(diǎn)，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級(jí)

決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警（包括原有的民

警）之間的距離都相等?，F(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙

丁相距4000米，那么至少要增加______位民警解析

現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點(diǎn)各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個(gè)2500米，2個(gè)4000米，2個(gè)2000米?，F(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每?jī)扇酥g距離相等，這實(shí)際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長(zhǎng)的同樣長(zhǎng)的小路。由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。例2.

如圖所示，在一個(gè)正方體表面上，三

只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，

它們爬行的速度相等。若要求它們同

時(shí)出發(fā)會(huì)面，那么，應(yīng)選擇哪點(diǎn)會(huì)

面最省時(shí)？

(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題）

解析我們可將正方體表面展開，如圖，則A、B、C三點(diǎn)在同一平面上。這樣，便將問題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找出一點(diǎn)O，使O到這三點(diǎn)的距離相等且最短。所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。故，O點(diǎn)即為三只螞蟻會(huì)面之處。例3.有三條線段a、b、c，并且a＜b＜c。判斷：圖5.94的三個(gè)梯形中，第幾個(gè)圖形面積最大？解析

三個(gè)圖的面積分別是：三個(gè)面積數(shù)變化的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是（a＋b＋c）的和一定。其問題實(shí)質(zhì)上是把這個(gè)定值拆成兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)為何值時(shí)，乘積最大。由等周長(zhǎng)的長(zhǎng)方形面積最大原理可知，（a＋b）×c這組數(shù)的值最接近。故圖（3）的面積最大。例4.某商店有一天，估計(jì)將進(jìn)貨

單價(jià)為90元的某商品100元

售出后，能賣出500個(gè)。已

知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其

銷售量就減少10個(gè)。為了使

這一天能賺得更多利潤(rùn)，售

價(jià)應(yīng)定為每個(gè)______元。解析賣價(jià)110時(shí)，利潤(rùn)為110-90=20元，售出500-10×10=400個(gè)，盈利20×400=8000元；賣價(jià)120時(shí)，利潤(rùn)為120-90=30元，售出500-20×10=300個(gè)，盈利30×300=9000元；賣價(jià)130時(shí)，利潤(rùn)為130-90=40元，售出500-30×10=200個(gè)，盈利40×200=8000元；賣價(jià)150時(shí)，利潤(rùn)為150-90=60元，售出500-50×10=0，可以盈利60×0=0；綜上所述得，當(dāng)售價(jià)為120時(shí)，獲得最大利潤(rùn)9000元。例5.有10個(gè)人各拿一只水桶，同時(shí)到

一個(gè)水龍頭下接水。水龍頭注滿

第一、第二、……九、十個(gè)人的

桶，分別需要1、2、3、……、9、

10分鐘。問：如何安排這10個(gè)人

的排隊(duì)順序，可使每個(gè)人所費(fèi)時(shí)

間的總和盡可能少？這個(gè)總費(fèi)時(shí)

至少是多少分鐘？解析第一個(gè)人接水時(shí)，包括他本人在內(nèi)，共有10個(gè)人等候，第二個(gè)人接水時(shí)，有9個(gè)人等候；第三個(gè)人接水時(shí)有8個(gè)人等候…第10個(gè)人接水時(shí)，只有他1個(gè)人等候?？梢姡群虻娜嗽蕉?一開始時(shí))，接水時(shí)間應(yīng)當(dāng)越短，這樣總的等候時(shí)間才會(huì)最少。因此，應(yīng)當(dāng)把接水時(shí)間按從少到多順序排列等候接水。每人水桶注滿時(shí)間從少到多排序：1分，2分，3分，4分，5分，6分，7分，8分，9分，10分。1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=220（分）例6.自行車的前輪胎行駛9000千米

后報(bào)廢，后輪胎行駛7000千米

后報(bào)廢，前后輪胎可在適當(dāng)時(shí)候

交換位置，一輛自行車同時(shí)換上

一對(duì)新輪胎，最多可行駛多少千

米？例7.8個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的和為56，如果去掉最大的數(shù)和最小的數(shù)，那么剩下的數(shù)的和為44。問剩下的數(shù)中，最小的數(shù)是多少？

解析

8個(gè)不相同的非零自然數(shù)之和為56，平均數(shù)是56÷8=7，2個(gè)數(shù)和為14。去掉最大數(shù)和最小數(shù)的和44，大數(shù)和小數(shù)之和是56-44=12，所有自然數(shù)在1-12之間,即可能是:1234567891011以上11個(gè)數(shù)中，8個(gè)數(shù)加起來和為56,并且和為12，小數(shù)和大數(shù){只能是1和11}，44÷6=7……2,就是說其它的6個(gè)數(shù)平均為7點(diǎn)多,2個(gè)數(shù)和為14的有：10和4，9和5，8和6，它們的和是42，比44少2，把5換7即可，這8個(gè)數(shù)是：1467891011。例8.A、B兩人在沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可攜帶一個(gè)人24天的食物和水，問：其中一人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米后返回出發(fā)地？解析24÷3=8（天)24+8=32(天）32÷2=16（天）16×20=320（千米）兩人共同走8天后，一人將8天的水和食物給另一人并攜帶8天的水和食物返回。則另一人共用24+8=32天的水和食物去探險(xiǎn)。最遠(yuǎn)走16天后返回，所以最遠(yuǎn)可以深入沙漠320千米。課后作業(yè)一種貨物有六個(gè)貨站，4輛汽車先后經(jīng)過這6個(gè)貨站進(jìn)行循環(huán)運(yùn)輸，每個(gè)貨站所需裝卸工人數(shù)如圖所示，分別有4人、6人、4人、8人、5人、3人。為節(jié)省人力，裝卸工可隨車到各貨站，有些工人固定在各站，有些隨車流動(dòng)，怎樣安排使工人總數(shù)最少？最少多少人？比和比例——按比分配應(yīng)用題

知識(shí)點(diǎn)梳理（1）比的意義（2）比的性質(zhì)（3）求比值的方法（4）化簡(jiǎn)比的方法認(rèn)識(shí)比典型例題精講例1.希望小學(xué)參加植樹活動(dòng)，把任務(wù)按2:3:4分配給四、五、六三個(gè)年級(jí)，已知六年級(jí)比四年級(jí)多植樹84棵，這次任務(wù)三個(gè)年級(jí)共植樹多少棵？解析方法一：按整數(shù)份數(shù)來計(jì)算。

總份數(shù)：2+3+4=9

六年級(jí)比四年級(jí)多的份數(shù)：4-2=2

每份棵數(shù)：84÷2=42（棵）

一共植