第09講三角形的中位線同步教學(xué)講義 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

第9講三角形的中位線知識導(dǎo)航1.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線；2.三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半；3.一個(gè)三角形有三條中位線.【板塊一】運(yùn)用中位線的性質(zhì)計(jì)算與證明方法技巧三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，給出了中位線與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，為證明兩線平行，探求兩線段的數(shù)量關(guān)系提供了依據(jù).題型一利用中位線的性質(zhì)計(jì)算與證明【例1】如圖，△ABC中，，，AD，AE分別是△ABC的角平分線和中線，過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，連接EF，則線段EF的長為_______.【例2】如圖，點(diǎn)E為□ABCD中DC邊的延長線上一點(diǎn)，且，連接AE，分別交BC，BD于點(diǎn)F，G，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF.(1)求證：△ABF≌△ECF；(2)求證：.針對練習(xí)11.如圖，□ABCD的周長為8，對角線AC，BD交于點(diǎn)M，延長AB到點(diǎn)E，使，BN⊥EC于點(diǎn)N，連接MN，求MN的長.2.如圖，O為△ABC兩條中線BF與CD的交點(diǎn)，求證：，.【板塊二】構(gòu)造中位線的方法與技巧方法技巧構(gòu)造中位線的方法與技巧有：連中點(diǎn)構(gòu)造中位線，取中點(diǎn)構(gòu)造中位線，角平分線與垂線組合構(gòu)造中位線，倍長線段構(gòu)造中位線，連接第三邊構(gòu)造中位線.題型二連中點(diǎn)構(gòu)造中位線【例1】如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，，點(diǎn)D，C，B在同一條直線上，點(diǎn)F，G，M分別為AD，BE，AB的中點(diǎn).(1)求的度數(shù)；(2)求的值.題型三取中點(diǎn)構(gòu)造中位線方法技巧三角形的一條邊上有中點(diǎn)，可以取另一邊的中點(diǎn)，然后連接這兩個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線.【例2】如圖1，在△ACB中，，，點(diǎn)E在AC上，EF⊥AC交AB于點(diǎn)F，連接BE，D為AF的中點(diǎn)，M為BE的中點(diǎn).(1)判斷CM與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(2)將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意一銳角，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請加以證明.題型四角平分線＋垂線→構(gòu)造中位線方法技巧角平分線＋垂線，通過延長直角邊，可以補(bǔ)全成等腰三角形，形成一邊上有中點(diǎn)的情形，與另外的邊的中點(diǎn)連線可得到中位線.【例3】(2017徐州改)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且AF⊥BF.(1)求證：；(2)若，，求EF的長.【例4】如圖，BD,CE分別是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，AG⊥CE于點(diǎn)G，連接FG.求證：(1)FG∥BC；(2).【例5】已知點(diǎn)M為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，，，BD⊥AD于點(diǎn)D，連接DM.(1)如圖1，若AD為△ABC的角平分線，延長BD交AC于點(diǎn)E.①求證：；②求MD的長；(2)如圖2，若AD為△ABC的外角平分線，則.【例6】如圖，在△ABC中，，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM，BN分別交于P，Q兩點(diǎn)，PM，QN的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).求證：EF∥AB.【例7】如圖，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，，點(diǎn)E在AC上，M為BE的中點(diǎn).求證：.題型五倍長線段構(gòu)造中位線【例8】如圖，點(diǎn)P為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，分別以AB,AC為斜邊作Rt△ABD和Rt△ACE，且.求證：.題型六連接第三邊構(gòu)造中位線方法技巧若圖形中存在共頂點(diǎn)的兩邊上都有中點(diǎn)，可以連接第三邊，構(gòu)造中位線.【例9】如圖，在□ABCD中，，，，點(diǎn)H，G分別是邊CD，BC上的動點(diǎn)，連接AH，HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF.則EF的最大值與最小值的差為（）A．1B.C.D.【例10】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.【例11】如圖，點(diǎn)B為線段AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC為邊AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，點(diǎn)P，M，N分別為AC，AD，CE的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求的度數(shù).針對練習(xí)21.(課本62頁第16題改編)如圖，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，AD為的平分線，BD⊥AD于點(diǎn)D.(1)求證：；(2)若，，，求AC的長.2.如圖，在△ABC中，BE，CF分別平分，，AG⊥BE，AH⊥CF，G，H為垂足，求證：GH∥BC.3.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：EG與HF互相平分.4.如圖，BF是△ABC的角平分線，AM⊥BF于點(diǎn)M，CE平分△ABC的外角，AN⊥CE于點(diǎn)N.(1)求證：MN∥BC；(2)若，，，求MN的長.【板塊三】中位線與動態(tài)探究題型七中位線與路徑問題方法技巧中位線的動態(tài)圖求值，先分別選取運(yùn)動點(diǎn)的起點(diǎn)，中間某一特殊點(diǎn)，終止點(diǎn)這些特殊位置對應(yīng)的點(diǎn)，然后由特殊到一般猜想估計(jì)運(yùn)動點(diǎn)的情形，最后驗(yàn)證.【例1】如圖，在△ABC中，，，，若點(diǎn)E為BC上一動點(diǎn)，以AE為邊在AE右側(cè)作等邊△AEF，連接CF，點(diǎn)G為線段CF的中點(diǎn)，若點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BC方向運(yùn)動到點(diǎn)C，則在此過程中，點(diǎn)G運(yùn)動的路徑長為_________.【例2】如圖，，，點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動，BP⊥PM，，C為x軸負(fù)半軸上一定點(diǎn)，連接CM，N為CM的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長為________.針對練習(xí)3 .1.如圖，已知AB=10，P是線段AB上的動點(diǎn)，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACP和等邊△P