CAD技術(shù)基礎(chǔ) 第5章 圖形變換

第五章圖形變換構(gòu)成圖形的要素有兩個(gè)：

幾何要素——刻畫形狀的點(diǎn)、線、面、體…

非幾何要素——反映物體表面屬性或材質(zhì)的明暗、灰度、色彩…實(shí)體在計(jì)算機(jī)內(nèi)部的表現(xiàn)方式？

F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)GE1E6E5E4E3E2V4V3V2V1（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4實(shí)體在計(jì)算機(jī)內(nèi)部的表現(xiàn)方式？數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：頂點(diǎn)表：

紀(jì)錄幾何信息；

棱線表和面表：

紀(jì)錄拓?fù)湫畔ⅲ?/p>

邏輯結(jié)構(gòu)：網(wǎng)狀圖物理結(jié)構(gòu)：V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4頂點(diǎn)表（幾何關(guān)系）頂點(diǎn)號(hào)坐標(biāo)值VFPVAPV1V2V3V4x1,y1,z1x2,y2,z2x3,y3,z3x4,y4,z40V1V2V3V2V3V40邏輯結(jié)構(gòu)V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4

F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)棱線號(hào)頂點(diǎn)號(hào)EFPEAPE1E2E3E4E5E6V1，V2V2，V3V3，V1V1，V4V4，V2V4，V30E1E2E3E4E5E2E3E4E5E60棱線表（拓?fù)潢P(guān)系）邏輯結(jié)構(gòu)V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4

F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）面表表面號(hào)組成棱線FFPFAPF1F2F3F4E1E2E3E2E6E5E1E5E4E3E4E60F1F2F3F2F3F40GE1E6E5E4E3E2V4V3V2V1F1F2F3F4引言對(duì)于一個(gè)繪圖系統(tǒng)來說，不僅能用圖形基本元素的集合構(gòu)成復(fù)雜的二維靜態(tài)圖形．通過三維的幾何體來定義零件的空間模型，而且還應(yīng)該可以對(duì)該模型進(jìn)行編輯處理，如圍繞任一指定的軸旋轉(zhuǎn)，以利于從某一最有利的角度去觀察它，對(duì)它進(jìn)行修改。軟件的這些功能是基于圖形變換的原理實(shí)現(xiàn)的。圖形變換是計(jì)算機(jī)繪圖的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。圖形變換：對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標(biāo)系改變：變動(dòng)后圖形在坐標(biāo)系中各點(diǎn)的坐標(biāo)值發(fā)生變化；2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。變動(dòng)后該圖形在新坐標(biāo)系下各點(diǎn)具有新的坐標(biāo)值。

可以將圖形放大或縮小，或者對(duì)圖形作不同方向的拉伸來使其扭曲變形…幾何圖形的矩陣表示二維圖形的基本變換二維圖形的組合變換三維圖形的幾何變換三維圖形的投影變換

本章要點(diǎn)§5－1圖形變換的方法圖形由圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)之間的拓?fù)潢P(guān)系以及組成圖形的面和線的表達(dá)模型所決定，構(gòu)成圖形的基本要素是點(diǎn)。對(duì)一個(gè)圖形作幾何變換，實(shí)際上就是對(duì)一系列點(diǎn)進(jìn)行變換點(diǎn)和圖形的表示

（1）點(diǎn)的表示：在二維平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)通常用它的兩個(gè)坐標(biāo)（x，y）來表示。為了便于進(jìn)行各種變化運(yùn)算，通常把二維空間中的點(diǎn)表示成2×1行矩陣或表示成1×2列矩陣，即一、構(gòu)成圖形的基本要素及其表示方法或在三維空間內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)通常用它的三個(gè)坐標(biāo)（x，y，z）來表示。為了便于進(jìn)行各種變化運(yùn)算，通常把三維空間中的點(diǎn)表示成3x1行矩陣或表示成1x3列矩陣，即：2）平面圖形和空間立體的表示：用點(diǎn)的集合表示。三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)，用矩陣表示：

二、點(diǎn)的變換

圖形可用點(diǎn)集表示，點(diǎn)集可用矩陣表示。

圖形的基本變換就可以通過點(diǎn)集的變換來實(shí)現(xiàn)。因此對(duì)點(diǎn)集的變換可以通過相應(yīng)的矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。舊點(diǎn)（集）×變換矩陣新點(diǎn)（集）矩陣運(yùn)算對(duì)于二維空間中的任意一點(diǎn)P（x,y)，該點(diǎn)由某一位置變換到另一位置,就可以用矩陣乘法來實(shí)現(xiàn)。即為變換矩陣?yán)纾罕壤儞Q矩陣形式：1、比例變換§5－2二維圖形幾何變換2、鏡射變換3、旋轉(zhuǎn)變換4、錯(cuò)切變換5、平移變換1比例變換圖形中的每一個(gè)點(diǎn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，按相同的比例進(jìn)行放大或縮小所得到的變換稱為比例變換。

用來改變一物體大小，也稱為縮放變換。§5－2二維圖形幾何變換1、比例變換幾何關(guān)系表達(dá)式：如果要對(duì)一個(gè)多邊形進(jìn)行比例變換，那么可把各頂點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）均乘以比例因子a，d，以產(chǎn)生變換后的坐標(biāo)（x′，y′）。矩陣形式：比例變換的變換矩陣為：討論：恒等變換：a=d=1

，變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。等比變換：a=d≠1

，當(dāng)a=d＞1

時(shí)，變換后圖形等比例放大。當(dāng)a=d＜1

時(shí)，變換后圖形等比例縮小。不等比變換：a≠d，變換后圖形產(chǎn)生畸變。a=d＞1a=d＜1a≠d例如，原圖形的個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為A(1620,),B(20,20),C(20,28),D(24,28),E(24,32),F(12,32),G(12,28),H(16,28),若比例變換矩陣為：求圖形變換后的個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)。

點(diǎn)集合矩陣為P

2、鏡射變換§5－2二維圖形幾何變換鏡射變換即產(chǎn)生圖形的鏡像，用來計(jì)算鏡射圖形，也稱為對(duì)稱變換。包括對(duì)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、±45°直線和任意直線的鏡射變換。(1)對(duì)X軸的鏡射變換O X Y 原始位置對(duì)X軸鏡射

幾何關(guān)系表達(dá)式：1）對(duì)坐標(biāo)軸的鏡射變換矩陣形式：變換矩陣為：(2)對(duì)Y軸的鏡射變換變換矩陣為：幾何關(guān)系表達(dá)式：矩陣形式：OXY 對(duì)Y軸鏡射原始位置1）對(duì)坐標(biāo)軸的鏡射變換2)對(duì)原點(diǎn)的鏡射變換變換矩陣為：幾何關(guān)系表達(dá)式：矩陣形式：O X Y 原始位置對(duì)原點(diǎn)鏡射3）對(duì)±45°線的鏡射變換變換矩陣為：幾何關(guān)系表達(dá)式：矩陣形式：（1）對(duì)+45°線的鏡射YX Y

原始位置對(duì)+45°線鏡射變換矩陣為：幾何關(guān)系表達(dá)式：矩陣形式：（1）對(duì)-45°線的鏡射O X Y

原始位置對(duì)-45°線鏡射3）對(duì)±45°線的鏡射變換3、旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換：物體上的各點(diǎn)繞一坐標(biāo)系原點(diǎn)沿圓周路徑作轉(zhuǎn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)變換?？捎眯D(zhuǎn)角表示旋轉(zhuǎn)量的大小。規(guī)定：逆時(shí)針方向?yàn)檎槙r(shí)針方向?yàn)樨?fù)。一個(gè)點(diǎn)由位置（x，y）旋轉(zhuǎn)到（x’，y’）的角度為自水平軸算起的角度，為旋轉(zhuǎn)角，可由三角關(guān)系得。設(shè)點(diǎn)（x，y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，則點(diǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中x′=rcos(α+θ)=r(cosαcosθ－sinαsinθ)=xcosθ–ysinθy′=rsin(α+θ)=r(sinαcosθ＋cosαsinθ)=xsinθ+ycosθθXYαO(x′,y′)(x,y)式中變換矩陣為：矩陣形式：注意:

圖形的旋轉(zhuǎn)是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角，且逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。錯(cuò)切變換是圖形的每一個(gè)點(diǎn)在某一方向上坐標(biāo)保持不變，而另一坐標(biāo)方向上坐標(biāo)進(jìn)行線性變換。錯(cuò)切用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。4、錯(cuò)切==在沿X軸的錯(cuò)切變換中，Y坐標(biāo)不變，X坐標(biāo)有一增量。變換后原來平行于Y軸的直線，向X軸方向錯(cuò)切成與X軸成一定的角度。（1）沿X軸向錯(cuò)切幾何關(guān)系表達(dá)式：變換矩陣為：矩陣形式：當(dāng)c＞0時(shí)，錯(cuò)切沿著X軸的正向；當(dāng)c＜0時(shí)，錯(cuò)切沿X軸負(fù)向。錯(cuò)切直線與X軸的夾角為：例題：如果設(shè)c=2，對(duì)圖6－5所示方形圖框進(jìn)行錯(cuò)切變換，計(jì)算變換后圖形各點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）沿X軸向錯(cuò)切（10,10）（10,0）X O （0,10） Y Y O （10,0）X 在沿Y軸的錯(cuò)切變換中，X坐標(biāo)不變，Y坐標(biāo)有一增量。變換后原來平行于X軸的直線，向Y軸方向錯(cuò)切成與Y軸成一定的角度。（2）沿Y軸向錯(cuò)切幾何關(guān)系表達(dá)式：變換矩陣為：矩陣形式：當(dāng)b＞0時(shí)，錯(cuò)切沿著Y軸的正向；當(dāng)b＜0時(shí)，錯(cuò)切沿Y軸負(fù)向。錯(cuò)切直線與X軸的夾角為：例題：如果設(shè)b=2，對(duì)圖所示方形圖框進(jìn)行錯(cuò)切變換，有（2）沿Y軸向錯(cuò)切（10,10）（10,0）X O （0,10） Y O X Y （10,30）（10,20）（0,10）（0,0）令X、Y軸方向的平移量分別為Tx和Ty，則5、平移變換O

X Y

圖6－8平移變換舊點(diǎn)（集）×變換矩陣新點(diǎn)（集）矩陣運(yùn)算是否滿足圖形變換的矩陣運(yùn)算?：平移是一物體從一個(gè)位置到另一個(gè)位置所作的直線移動(dòng)。如果要把一個(gè)位于P（x，y）的點(diǎn)移到新位置p′（x′，y′），則只要在原坐標(biāo)上加上平移距離Tx和Ty即可幾何關(guān)系表達(dá)式：原有圖形能實(shí)現(xiàn)平移嗎？原因：cy，bx均非常量問題：1.如何用矩陣來表示平移變換后點(diǎn)的坐標(biāo)變換呢？比例變換鏡射變換錯(cuò)切變換旋轉(zhuǎn)變換

如果將2×2的變換矩陣擴(kuò)充為3×2矩陣，是否可以？圖形的點(diǎn)集矩陣是n×2階，而變換矩陣是3×2階，兩者無法相乘，不能進(jìn)行圖形變換運(yùn)算?？蓪x，y]擴(kuò)充為[x，y，1]，即把點(diǎn)集矩陣擴(kuò)充為n×3階矩陣。結(jié)論：用2×2的矩陣來變換一個(gè)物體時(shí)有兩種限制。第一，它的變換要么針對(duì)原點(diǎn)．要么是針對(duì)X軸、Y軸進(jìn)行變換，但不可能對(duì)任意一個(gè)點(diǎn)或者任意一條直線作變換。第二，它沒有包含平移變換。如果要完成平移變換．則必須加上一個(gè)與頂點(diǎn)數(shù)有關(guān)的N×M的矩陣。

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中．許多的變換不可能由單一的一個(gè)矩陣來完成，而必須由幾個(gè)矩陣組合，才能完成一系列的變換。要做到這一點(diǎn)，不同格式的變換矩陣是不可能連續(xù)運(yùn)算的。為了方便連續(xù)的數(shù)學(xué)變換，希望能夠用一種一致的或同類的方法來處理不同的變換，使得不同的基本變換能很容易地結(jié)合在一起，形成各種復(fù)雜的組合變換。解決方法————引入齊次坐標(biāo)技術(shù)齊次坐標(biāo)技術(shù)基本思想：把一個(gè)n維空間的幾何問題，轉(zhuǎn)換到n＋1維空間中去解決。如二維平面上的點(diǎn)P（x，y）:齊次坐標(biāo)表示為Pw（wx，wy

，w），w是任一不為0的比例系數(shù)。齊次坐標(biāo)表示（x，y，w）→二維笛卡兒直角坐標(biāo)（x/w，y/w）規(guī)格化齊次坐標(biāo)：齊次坐標(biāo)表示不是唯一的，通常將w＝1時(shí)的齊次坐標(biāo)稱為規(guī)格化的齊次坐標(biāo)。使用齊次坐標(biāo)表示法在計(jì)算機(jī)圖形處理中的優(yōu)越性：提供了用矩陣運(yùn)算將二維、三維或更高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。將平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等變換用統(tǒng)一的方式，即用矩陣乘積的方式表達(dá)。例：平面三角形A齊次坐標(biāo)矩陣表示123oxy若圖形A經(jīng)過某種變換后得到圖形B，則有：

B=A·TT稱為變換矩陣，二維：T為3x3矩陣，三維：T為4x4矩陣。A二維圖形的幾何變換二維變換矩陣（齊次坐標(biāo)表示時(shí)）為：幾何變換的矩陣運(yùn)算(齊次坐標(biāo)表示)（1）列表示法（2）行表示法（★）（1）比例變換變換矩陣為：

坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：若a=d=1，為恒等變換，變換后的圖形不變；若a=d≠1，>1時(shí)為等比例放大，<1時(shí)為等比例縮??；若a≠d，圖形在x，y兩個(gè)坐標(biāo)方向以不同的比例變換。

二維圖形的基本幾何變換（2）對(duì)稱變換根據(jù)abcd不同的取值情況，可以獲得不同的對(duì)稱變換。①Y軸對(duì)稱變換坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：變換矩陣為：

②X軸對(duì)稱坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：變換矩陣為：

③對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：變換矩陣為：

④45°線對(duì)稱坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：變換矩陣為：

⑤-45°線對(duì)稱坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：變換矩陣為：

（3）錯(cuò)切變換其中：c為x方向錯(cuò)切系數(shù)，b為y方向錯(cuò)切系數(shù)。①當(dāng)b=0時(shí),x’=x+cy,y’=y。y坐標(biāo)不變：

c>0沿+x方向錯(cuò)切；c<0沿-x方向錯(cuò)切。②當(dāng)c=0時(shí),x’=x,y’=bx+y。x坐標(biāo)不變：

b>0沿+y方向錯(cuò)切；b<0沿-y方向錯(cuò)切。坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：變換矩陣為：

（4）旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)

坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：變換矩陣為：

（5）平移變換其中：l為x方向平移量，m為y方向平移量。坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，1)變換運(yùn)算：變換矩陣為：

二維圖形基本變換矩陣討論：實(shí)現(xiàn)圖形的比例、對(duì)稱、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等基本幾何變換；

實(shí)現(xiàn)圖形平移變換；實(shí)現(xiàn)圖形透視變換，一般二維變換中p=q=0；實(shí)現(xiàn)圖形全比例變換，s>1等比例縮小；0<s<1等比例放大。各元素的功能和幾何意義各不相同，可以分割成四塊在平面圖形的變換中，比例變換改變了圖形的大小，但其形狀未發(fā)生變化；錯(cuò)切變換不僅改變尺寸大小，而且也改變了圖形的形狀；旋轉(zhuǎn)變換和平移變換只是改變了圖形的位置，其本身大小形狀都未發(fā)生變化（因此旋轉(zhuǎn)變換矩陣通常用于正投影變換）。

5.3二維圖形的組合變換實(shí)際上，圖形變換中常常是相對(duì)于任意點(diǎn)或線變換。單獨(dú)采用前述的各種基本變換無法完成，通常需要將各種基本變換組合使用，以完成最終的圖形變換。解決這個(gè)問題的思路是這樣的：先將任意點(diǎn)移向坐標(biāo)原點(diǎn)（任意線則移向與X或Y軸重合的位置），再用前述變換矩陣加以變換，最后反向移回任意點(diǎn)（任意線移回原位）。這種由多種基本變換組合而成的變換稱為組合變換，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。設(shè)平面圖形繞任意點(diǎn)p（xp，yp）旋轉(zhuǎn)α

角。具體步驟如下：（1）將旋轉(zhuǎn)中心p（xp，yp）平移到原點(diǎn)；（2）將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α角；（3）將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來位置。1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換úúú?ùêêê?é--=1010001ppyxt1T將平面圖形繞點(diǎn)P（xp，yp）旋轉(zhuǎn)一θ角。（1）將旋轉(zhuǎn)中心Q平移到原點(diǎn)，圖形也隨著一起平移變換矩陣為：1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換（2）將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α角，變換矩陣為：úúú?ùêêê?é-=1000cossin0sincosaaaar2T1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換（3）將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來位置，變換矩陣為：1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換因此，繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換例：原圖形為長(zhǎng)方形，各點(diǎn)坐標(biāo)為：A(20,10)，B(50,10)，C(50,30)，D(20,30)，要求長(zhǎng)方形繞A點(diǎn)作逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，求變換后各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。原圖形長(zhǎng)方形點(diǎn)集矩陣表示為：1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換（1）旋轉(zhuǎn)中心A(20，10)連同圖形整體移動(dòng)，使旋轉(zhuǎn)中心A與原點(diǎn)重合。使用平移變換矩陣：負(fù)值表示P點(diǎn)的移動(dòng)方向與坐標(biāo)軸方向相反。1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換（2）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)圖形，即作旋轉(zhuǎn)變換。1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換（3）將旋轉(zhuǎn)之后的圖形，連同A點(diǎn)再反向平移回到原先位置。即作平移變換。1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換則繞任意定點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)變換矩陣T為：1.平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換變換后長(zhǎng)方形的各頂點(diǎn)坐標(biāo)為：2.平面圖形對(duì)任意直線的鏡射變換設(shè)任意直線的方程為：Ax+By+C=0，直線在X軸和Y軸上的截距分別為-C/A和-C/B，直線與X軸的夾角為，α=arctg（-A/B）。具體步驟如下：-C/A

Y XO-C/BAx+By+C=0-C/A

Y XO-C/B（1）平移直線，沿X方向?qū)⒅本€平移，使其通過原點(diǎn)（也可以沿y向平移）；Y XOAx+By+C=0變換矩陣如下：2.平面圖形對(duì)任意直線的鏡射變換（2）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線與X坐標(biāo)軸重合（也可以與Y軸重合）；旋轉(zhuǎn)α=arctg（-A/B）。Y XO變換矩陣如下：2.平面圖形對(duì)任意直線的鏡射變換-C/A

Y XO-C/B（3）對(duì)于X軸進(jìn)行鏡射變換（也可以對(duì)于Y軸鏡像）

；變換矩陣如下：2.平面圖形對(duì)任意直線的鏡射變換-C/A

Y XO-C/B（4）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線和圖形回到原來與X軸成α角的位置；變換矩陣如下：2.平面圖形對(duì)任意直線的鏡射變換-C/A

Y XO-C/B（5）平移直線和圖形，使其回到原來位置。變換矩陣如下：2.平面圖形對(duì)任意直線的鏡射變換通過以上五個(gè)步驟，即可實(shí)現(xiàn)圖形對(duì)任意直線的鏡射變換。其組合變換如下：2.平面圖形對(duì)任意直線的鏡射變換3.相對(duì)任意點(diǎn)的比例變換工程實(shí)際中，相對(duì)于任意點(diǎn)的比例變換使用得更多。例如在當(dāng)前圖中要插入另外一個(gè)圖形，并要使其放大或縮小。

其變換順序如下：

第一步．將原圖中任意一點(diǎn)Q（L，M），平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，整個(gè)圖形隨之移動(dòng)。變換矩陣為：第二步，相對(duì)原點(diǎn)的進(jìn)行比例變換。變換矩陣為：第三步，進(jìn)行第一步的逆變換：平移變換，將任意點(diǎn)Q平移至原來位置，整個(gè)圖形隨之移動(dòng)。變換矩陣為：3.相對(duì)任意點(diǎn)的比例變換上述組合變換的組合矩陣為3.相對(duì)任意點(diǎn)的比例變換課堂討論題已知△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（10，10），B（10，40），C（40，50），現(xiàn)對(duì)其實(shí)施下述變換：（1）沿x方向平移30，沿y方向平移20，再繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；（2）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，沿x方向平移30，沿y方向平移20。比較兩種變換是否等價(jià)？（1）①沿x方向平移30，沿y方向平移20：變換矩陣為：4.組合變化順序?qū)D形的影響

②繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°：變換矩陣為：組合變換的組合短陣為4.組合變化順序?qū)D形的影響

三角形的齊次矩陣表達(dá)式為：變換后的圖形的齊次矩陣表達(dá)式為：4.組合變化順序?qū)D形的影響

（2）①繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°：變換矩陣為：②沿x方向平移30，沿y方向平移20：變換矩陣為：4.組合變化順序?qū)D形的影響

組合變換的組合短陣為變換后的圖形的齊次矩陣表達(dá)式為：4.組合變化順序?qū)D形的影響

組合變換是通過基本變換的組合而成的，點(diǎn)或點(diǎn)集的多次變換可以一次完成，這要比逐次進(jìn)行變換效率高。由于矩陣的乘法不符合交換律，即：[A][B]≠[B][A]，因此，組合的順序一般是不能顛倒的。順序不同，則變換的結(jié)果亦不同。

O

先平移后旋轉(zhuǎn)

X

X

旋轉(zhuǎn)后平移Y

Y

O

124.組合變化順序?qū)D形的影響

§5－4三維圖形幾何變換5.4.1三維基本變換矩陣三維圖形的變換是二維圖形變換的簡(jiǎn)單擴(kuò)展。在三維空間，用四維齊次坐標(biāo)[xyz1]來表示三維點(diǎn)，三維變換矩陣要用4×4矩陣表示所有變換。變換的原理：是把齊次坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，z，1)通過變換矩陣變換成新的齊次坐標(biāo)點(diǎn)(x′，y′，z′，1)，即平移縮放旋轉(zhuǎn)錯(cuò)切透視變換整體縮放與二維相同，也可將三維變換矩陣按虛線分為4個(gè)子矩陣，左上角子矩陣產(chǎn)生三維圖形的比例、對(duì)稱、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換；左下角子矩陣產(chǎn)生平移變換；右上角子矩陣產(chǎn)生透視變換；右下角子矩陣產(chǎn)生全比例變換。T為三維基本(齊次)變換矩陣：

三維基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換。

假設(shè)三維形體變換前一點(diǎn)為p(x,y,z)，變換后為p'(x',y',z')。5.4.2三維基本變換1、比例變換

空間立體各點(diǎn)坐標(biāo)(以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn))按某一比例放大或縮小，這種變換成為比例變換。5.4.2三維基本變換在變換矩陣T中，a，e，j起局部比例變換作用，而元素s起整體比例變換作用。

局部比例變換矩陣Ts為：空間點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)是分別按比例a，e，j變化的。若a=e=j≠0，則各向縮放比例相同；若a≠

e≠

j≠0，則各向縮放比例不同，立體產(chǎn)生變形。若a=e=j=1，為恒等變化5.3.2三維基本變換元素s的作用是使圖形產(chǎn)生整體比例變換，其變換矩陣T為：[xyz1]·T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1]=[x*y*z*1]元素s使(x，y，z)坐標(biāo)同時(shí)發(fā)生了相同比例的變化。當(dāng)s>1時(shí)是縮小比例當(dāng)0<s<1時(shí)是放大比例。

例：對(duì)如圖所示的長(zhǎng)方形體進(jìn)行比例變換，其中x、y、z各方向的比例系數(shù)分別為1/2，1/3和1/2，求變換后的長(zhǎng)方形體各點(diǎn)坐標(biāo)。比例變換矩陣T各點(diǎn)齊次坐標(biāo)：2.鏡射變換在二維平面中，鏡射變換是對(duì)坐標(biāo)軸的鏡射。在三維空間中，立體的鏡射變換則即可對(duì)坐標(biāo)軸的鏡射，也可對(duì)坐標(biāo)平面的鏡射，只要將恒等變換的單位矩陣T中的有關(guān)項(xiàng)的符號(hào)改變即可。

1)關(guān)于坐標(biāo)平面鏡射（1）對(duì)xoy平面的鏡射將單位矩陣中控制Z坐標(biāo)的（+1）改為（-1）即可。變換矩陣為：變換后的點(diǎn)坐標(biāo)為：如何修改單位矩陣？？2.鏡射變換（2）對(duì)yoz平面的鏡射變換矩陣：將單位矩陣中控制x坐標(biāo)的（+1）改為（-1）即可變換矩陣為：變換后的點(diǎn)坐標(biāo)為：如何修改單位矩陣？（3）對(duì)xoz平面的鏡射將單位矩陣中控制Y坐標(biāo)的（+1）改為（-1）即可。變換矩陣為：變換后的點(diǎn)坐標(biāo)為：（1）關(guān)于X軸進(jìn)行鏡射變換

相當(dāng)于在yoz坐標(biāo)平面內(nèi)相對(duì)于原點(diǎn)進(jìn)行鏡射變換。將單位矩陣中控制

Y和Z坐標(biāo)的（+1）改為（-1）即可進(jìn)行關(guān)于X坐標(biāo)軸對(duì)稱變換。變換矩陣為：變換后的點(diǎn)坐標(biāo)為：

2)關(guān)于坐標(biāo)軸鏡射變換（2）關(guān)于Y軸進(jìn)行鏡射變換相當(dāng)于在xoz坐標(biāo)平面內(nèi)相對(duì)于原點(diǎn)進(jìn)行鏡射變換。將單位矩陣中控制X和Z坐標(biāo)的（+1）改為（-1）即可進(jìn)行關(guān)于Y坐標(biāo)軸對(duì)稱變換。變換矩陣為：變換后的點(diǎn)坐標(biāo)為：

2)關(guān)于坐標(biāo)軸鏡射變換（3）關(guān)于Z軸進(jìn)行鏡射變換相當(dāng)于在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)相對(duì)于原點(diǎn)進(jìn)行鏡射變換。將單位矩陣中控制

X和Y坐標(biāo)的（+1）改為（-1）即可進(jìn)行關(guān)于Z坐標(biāo)軸對(duì)稱變換。變換矩陣為：變換后的點(diǎn)坐標(biāo)為：

2)關(guān)于坐標(biāo)軸鏡射變換3.錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換的含義是將坐標(biāo)沿某一坐標(biāo)軸方向按比例錯(cuò)移，它將一個(gè)坐標(biāo)方向的值按比例疊加到另一個(gè)坐標(biāo)軸上。錯(cuò)切變換是畫斜軸測(cè)圖的基礎(chǔ)。yx沿y含z錯(cuò)切zyx沿x含z錯(cuò)切錯(cuò)切變換為：由變換結(jié)果可以看出，一個(gè)坐標(biāo)的變化受另外兩個(gè)坐標(biāo)變化的影響。在上述4×4變換矩陣中，令主對(duì)角線各元素為1，第4行和第4列元素均為零，可得到三維錯(cuò)切變換矩陣，即3.錯(cuò)切變換(1)沿x方向含y錯(cuò)切

zyx沿x含y錯(cuò)切在沿X軸的錯(cuò)切變換中，Y和Z坐標(biāo)不變，X坐標(biāo)有一增量。變換后原來平行于Y軸的直線，向X軸方向錯(cuò)切成與X軸成一定的角度。變換矩陣為：變換后的各點(diǎn)坐標(biāo)為：(2)沿x方向含z錯(cuò)切

zyx沿x含z錯(cuò)切在沿X軸的錯(cuò)切變換中，Y和Z坐標(biāo)不變，X坐標(biāo)有一增量。變換后原來平行于Z軸的直線，向X軸方向錯(cuò)切成與X軸成一定的角度。變換矩陣為：變換后的各點(diǎn)坐標(biāo)為：(3)沿Y方向含X錯(cuò)切

在沿Y軸的錯(cuò)切變換中，X和Z坐標(biāo)不變，Y坐標(biāo)有一增量。變換后原來平行于X軸的直線，向Y軸方向錯(cuò)切成與Y軸成一定的角度。zyx沿y含x錯(cuò)切變換矩陣為：變換后的各點(diǎn)坐標(biāo)為：yx沿y含z錯(cuò)切(4)沿Y方向含Z錯(cuò)切

在沿Y軸的錯(cuò)切變換中，X和Z坐標(biāo)不變，Y坐標(biāo)有一增量。變換后原來平行于Z軸的直線，向Y軸方向錯(cuò)切成與Y軸成一定的角度。變換矩陣為：變換后的各點(diǎn)坐標(biāo)為：zyx沿z含x錯(cuò)切(5)沿Z方向含X錯(cuò)切

在沿Z軸的錯(cuò)切變換中，X和Y坐標(biāo)不變，Z坐標(biāo)有一增量。變換后原來平行于X軸的直線，向Z軸方向錯(cuò)切成與Z軸成一定的角度。變換矩陣為：變換后的各點(diǎn)坐標(biāo)為：zyx沿z含y錯(cuò)切(6)沿Z方向含Y錯(cuò)切

在沿Z軸的錯(cuò)切變換中，X和Y坐標(biāo)不變，Z坐標(biāo)有一增量。變換后原來平行于Y軸的直線，向Z軸方向錯(cuò)切成與Z軸成一定的角度。變換矩陣為：變換后的各點(diǎn)坐標(biāo)為：錯(cuò)切變換若d、h不為零，則沿著x軸方向有錯(cuò)切若b、i不為零，則沿著y軸方向有錯(cuò)切若c、f不為零，則沿著z軸方向有錯(cuò)切b、c是關(guān)于變量x的錯(cuò)切d、f是關(guān)于變量y的錯(cuò)切h、i是關(guān)于變量z的錯(cuò)切4.旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換是使空間立體繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)后的立體只改變了空間位置，它的形狀沒有發(fā)生任何變化.對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換中，旋轉(zhuǎn)角度的正負(fù)我們用右手定則來確定，既右手大拇指指向旋轉(zhuǎn)軸的正向，其余四個(gè)手指指向表示旋轉(zhuǎn)方向，符合右手定則，旋轉(zhuǎn)角度為正，否則為負(fù)。zyX旋轉(zhuǎn)變換的角度方向4.旋轉(zhuǎn)變換－繞Z坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)此時(shí)，Z坐標(biāo)不變，X，Y坐標(biāo)相應(yīng)變化。(x’,y’,z’)(x,y,z)xzy在XOY平面繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)可視為繞Z軸旋轉(zhuǎn)，只是Z為零；

在三維旋轉(zhuǎn)變換中，Z坐標(biāo)不為零，但在繞Z軸的旋轉(zhuǎn)過程中，Z坐標(biāo)不發(fā)生變化，因此，三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣只是在二維旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)上加一Z坐標(biāo)，此時(shí)，Z坐標(biāo)不變，X，Y坐標(biāo)相應(yīng)變化。θxyαo(x’,y’,z’)(x,y,z)x'=ρcos(α+θ)=xcosθ–ysinθy'=ρsin(α+θ)=xsinθ+ycosθz'=zxzy4.旋轉(zhuǎn)變換－繞Z坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)在二維圖形旋轉(zhuǎn)變換中，我們已經(jīng)用圖解法證得在XOY平面中圖形繞原點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為4.旋轉(zhuǎn)變換－繞Z坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)的三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：空間上的立體繞X軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，立體上各點(diǎn)的X坐標(biāo)不變，只是Y、Z坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。x′=xy′=ρcos(α+θ)=ycosθ-zsinθz′=ρsin(α+θ)=ysinθ+zcosθXYZ(x,y,z)(x′,y′,z′)OαθYO(x′,y′,z′)(x,y,z)Z2)繞x軸旋轉(zhuǎn)繞X軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可得繞X軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣

Y坐標(biāo)不變，X，Z坐標(biāo)相應(yīng)變化。x′=ρsin(α+θ)=xcosθ+zsinθy′=yz′=ρcos(α+θ)=zcosθ-xsinθXZ(x,y,z)(x′,y′,z′)3)繞y軸旋轉(zhuǎn)θXαOZ(x,y,z)(x′,y′,z′)繞Y軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣可得繞Y軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣5.平移變換將空間一點(diǎn)(x，y，z)平移到一個(gè)新的位置(x′y′，z′)的變換.ZYX(x,y,z)(x',y',z')平移變換5.平移變換簡(jiǎn)單幾何體的圖形變換式中：T為所要進(jìn)行的圖形變換矩陣假定一六面體ABCDEFGH各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1,y1,z1）,…..,(x8,y8,z8)，則經(jīng)過圖形變換后的坐標(biāo)為：相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換相對(duì)于參考點(diǎn)F(xf，yf，zf)作比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等三維變換的過程分為以下三步：

(1)將參考點(diǎn)F平移至坐標(biāo)原點(diǎn)；

(2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行三維幾何變換（比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切）；

(3)進(jìn)行反變換。5.4.3三維基本變換矩陣的組合例：相對(duì)于F(xf，yf，zf)點(diǎn)進(jìn)行比例變換T=Tt?

Ts?

T-t(x',y',z')zyxzyx(x',y',z')zyx(x',y',z')zy(x',y',z')xFF圖5-8相對(duì)參考點(diǎn)F的比例變換(a)原圖(b)移至坐標(biāo)原點(diǎn)(c)基本比例變換(d)移回F點(diǎn)原來位置繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換問題：如何求出為TRAB。

問題描述：設(shè)三維空間中有一條任意直線AB，它由直線上一點(diǎn)Q和沿直線方向的單位方向向量n(n1,n2,n3)確定，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，以這條直線為旋轉(zhuǎn)軸做旋轉(zhuǎn)θo的旋轉(zhuǎn)變換，使三維空間中任意一點(diǎn)P變成P'。

XYZABP'Pθ

P點(diǎn)繞AB軸旋轉(zhuǎn)Q(x0,y0,z0)實(shí)現(xiàn)步驟：1.做平移交換T(－XA，－YA，－ZA)，將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到A點(diǎn)；2.旋轉(zhuǎn)并使直線AB與某一坐標(biāo)軸重合；3.做繞通過坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軸AB旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換；4.最后將旋轉(zhuǎn)變換后的圖形和直線一起作相反的旋轉(zhuǎn)和移動(dòng)并使直線回到原來位置。XYZABP'Pθ

P點(diǎn)繞AB軸旋轉(zhuǎn)Q(x0,y0,z0)問題的關(guān)鍵在于:

如何轉(zhuǎn)換成繞X、Y或Z軸旋轉(zhuǎn)的變換？

l繞X軸旋轉(zhuǎn)α到XOZ平面上，然后再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β，即可與Z軸重合。lXYZαβn3n1n2XYZABP'PθQ(x0,y0,z0)1)使任意方向軸的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)進(jìn)行平移變換。2)做繞x軸旋轉(zhuǎn)α角的變換Tx(α)，使旋轉(zhuǎn)軸落在XOZ平面上。3)做繞y軸旋轉(zhuǎn)β角的變換Ty(β)，使旋轉(zhuǎn)軸與z軸重合：4)做繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換。5)做第三步的逆變換，即做旋轉(zhuǎn)變換Ty(－β)

；做第二步的逆變換，即做旋轉(zhuǎn)變換Tx(－α)，做第一步的逆變換，即做平移變換。

由上推導(dǎo)可看出，只要能求出α

、β的值，即可通過上式獲得繞AB軸的變換矩陣TRAB

。任意直線為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)變換可分為五步實(shí)現(xiàn)：1、平移使點(diǎn)A（xA，yB，zC）位于坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣是：

具體變換步驟是：

XYZABP'Pθ

P點(diǎn)繞AB軸旋轉(zhuǎn)Q(x0,y0,z0)

旋轉(zhuǎn)角應(yīng)等于直線在yoz平面上的投影與z軸夾角α

。

2、繞x軸旋轉(zhuǎn)，使直線處在xOz平面上。

旋轉(zhuǎn)角應(yīng)等于直線在yoz平面上的投影與z軸夾角α

。因此投影線與z軸夾角α的旋轉(zhuǎn)變換矩陣是：lXYZαβn3n1n2

2、繞x軸旋轉(zhuǎn)，使直線處在xOz平面上。3、繞y軸旋轉(zhuǎn)，使直線與z軸重合。3、繞y軸旋轉(zhuǎn)，使直線與z軸重合。如圖，旋轉(zhuǎn)角應(yīng)等于直線在XOZ平面上的投影與z軸夾角β

。因此投影線與Z軸夾角β的旋轉(zhuǎn)變換矩陣是：lXYZαβn3n1n24、進(jìn)行圖形繞直線即繞z軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)矩陣是：lXYZαβn3n1n2圖形繞空間任意軸旋轉(zhuǎn)的總變換矩陣是

圖形即為原圖形繞指定直線旋轉(zhuǎn)變換后的圖形。直線回到原來位置需要進(jìn)行（3）～（1）的逆變換，其中：5、使直線回到原來位置類似地，針對(duì)任意方向軸的變換的五個(gè)步驟：①使任意方向軸的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)進(jìn)行平移變換。②使任意方向軸與某一坐標(biāo)軸重合，此時(shí)需進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。③針對(duì)該坐標(biāo)軸完成變換。④用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。⑤用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。5.5三維圖形投影變換

在工程設(shè)計(jì)中，產(chǎn)品的幾何模型通常是用三面投影圖來描述．即用二維圖形表達(dá)三維物體。投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖。平面幾何投影可分為兩大類：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的SSS(a)透視投影(b)正投影(c)斜投影平面幾何投影分為透視投影和平行投影5.5.1平行投影變換根據(jù)投影線是否垂直于投影平面， 平行投影可分為：直角投影正投影（三視圖）正軸側(cè)投影斜角投影斜等側(cè)斜二側(cè)投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面(a)直角投影(b)斜角投影

投影平面法向a■直角投影正投影又可分為：正投影（三視圖）和正軸測(cè)圖。當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為正投影（三視圖）；否則，得到的投影為正軸測(cè)圖。

投影方向投影平面(a)三視圖(b)正軸測(cè)5-12正投影xzyO投影平面投影方向zxy平面幾何投影透視投影平行投影一點(diǎn)透視三點(diǎn)透視二點(diǎn)透視直角投影斜角投影正投影斜等側(cè)正軸側(cè)斜二側(cè)等軸側(cè)正三側(cè)正二側(cè)投影中心與投影平面之間的距離投影方向與投影平面的夾角投影平面坐標(biāo)軸的夾角正面投影側(cè)面投影水平面投影平面幾何投影分類正投影變換正投影變換：將空間三維物體，通過矩陣變換而獲得國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的三個(gè)投影視圖（即主視圖、俯視圖和、左視圖）的繪圖信息，這種變換就稱為正投影變換。

為了繪圖機(jī)輸出、屏幕顯示由正投影變換得到的三個(gè)投影圖需要放在一個(gè)平面上。需要將三個(gè)投影圖再進(jìn)一步變換到同一平面上。實(shí)現(xiàn)方法是：保持XOZ面不動(dòng)，將XOY面繞X軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將ZOY面繞OZ軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。通過上面的變換就可以在一個(gè)平面內(nèi)得到幾何形體的三個(gè)投影圖。三視圖的計(jì)算步驟：(1)

確定三維形體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)。(2)

引入齊次坐標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)的變換矩陣。(3)

將所作變換用矩陣表示，通過運(yùn)算求得三維形體上各點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x',z'),(x',y')或(y',z')。(4)

由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維形體投影后的三視圖。

1）主視圖將三維形體向xoz面（又稱V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。

1）主視圖

變換矩陣為：只需要消去各點(diǎn)的y坐標(biāo)，即令單位矩陣中元素e=0。xyOZX主視圖7-Z三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖，(1)投影變換(2)使H面繞x軸轉(zhuǎn)-90°(3)使H面沿z方向平移一段距離-z0

2）俯視圖三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖

(1)投影變換，消去各點(diǎn)的Z坐標(biāo)，即令單位矩陣中元素j=0xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖三維形體及其三視圖2）俯視圖(2)使H面繞x軸轉(zhuǎn)-90°

xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖三維形體及其三視圖2）俯視圖(3)使H面沿z方向平移一段距離-n

xzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖三維形體及其三視圖2）俯視圖俯視圖的變換矩陣：俯視圖的變換矩陣：獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面（側(cè)面W）作垂直投影。(1)投影變換，消去各點(diǎn)的X坐標(biāo)，即令單位矩陣中元素a=0(2)使W面繞z軸正轉(zhuǎn)90°(3)使W面沿負(fù)x方向平移一段距離lxzyOZYXY主視圖俯視圖側(cè)視圖三維形體及其三視圖3）側(cè)視圖側(cè)視圖的變換矩陣：①先向yoz面進(jìn)行投影，②再把該投影繞z軸旋轉(zhuǎn)90度。③為使兩視圖之間具有一定距離，還需將得到的側(cè)視圖沿x軸平移-l。側(cè)視圖的變換矩陣：5.5.2正軸測(cè)投影變換正軸測(cè)圖這種圖形立體感強(qiáng)，是工程上應(yīng)用最為廣泛的三維圖形，在機(jī)械設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用。

若將空間立體繞某個(gè)投影面所包含的兩個(gè)軸向旋轉(zhuǎn)，再向該投影面做正投影，即可得到立體正軸測(cè)圖。通常選xoz面為軸測(cè)投影面。可按下述步驟進(jìn)行：1）先將三維物體繞