第 4 章 連續(xù)系統(tǒng)的振動(II)

第4章

連續(xù)系統(tǒng)的振動（II)李映輝西南交通大學(xué)2015.092023年2月1日《振動力學(xué)》22023年2月1日中國力學(xué)學(xué)會學(xué)術(shù)大會‘2005’22023年2月1日2聲明本課件可供教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中免費(fèi)使用。不可用于任何商業(yè)目的。本課件的部分內(nèi)容參閱了上海交通大學(xué)陳國平教授和太原科技大學(xué)楊建偉教授的課件，作者在此向二位教授表示衷心感謝。如該課件無意中損害了二位教授利益，作者在此致歉。本課件以高淑英、沈火明編著的《振動力學(xué)》（中國鐵道出版社，2011年）的前四章為基礎(chǔ)編寫。感謝研究生蔣寶坤、王金梅在文字錄入方面的工作2023年2月1日《振動力學(xué)》3教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學(xué)》3連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法《振動力學(xué)》4連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法前幾節(jié)皆未涉及變截面桿和梁的問題，這是由于變截面桿、梁除了個別簡單情況外往往不易找到精確解。

在工程實(shí)際問題中，常會遇到大量質(zhì)量和剛度不均勻分布的連續(xù)系統(tǒng)。工程上用近似方法來解決這些問題。

介紹瑞雷法、李茲法、傳遞矩陣法和伽遼金法。2023年2月1日《振動力學(xué)》52023年2月1日《振動力學(xué)》5教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學(xué)》5連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法2023年2月1日《振動力學(xué)》6連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4.1瑞雷法瑞雷法主要用來估算系統(tǒng)的基頻。

由機(jī)械能守恒定律，對任一連續(xù)系統(tǒng)，如能近似地給出一階振型函數(shù)（需滿足端點(diǎn)條件）。通過計(jì)算系統(tǒng)的動能和勢能，即可估算出系統(tǒng)的基頻。以歐拉-伯努利梁橫向振動為例。設(shè)振型函數(shù)為Y(x),稱為試算函數(shù)2023年2月1日《振動力學(xué)》7連續(xù)系統(tǒng)的振動它必須滿足端點(diǎn)條件，則動能勢能在靜平衡位置，系統(tǒng)具有最大動能2023年2月1日《振動力學(xué)》8連續(xù)系統(tǒng)的振動在偏離靜平衡位置最遠(yuǎn)處，系統(tǒng)具有最大彈性勢能由得(4.139)表明：如試算函數(shù)恰為某一真是振型函數(shù)時，則可計(jì)算出該階固有頻率ω的精確解。要知道各階振型函數(shù)是不可能的，而常僅能給出一階近似振型函數(shù)。2023年2月1日《振動力學(xué)》9連續(xù)系統(tǒng)的振動為使試算函數(shù)Y(x)更接近真實(shí)一階振型函數(shù),最好除滿足位移（位移）邊界條件外，還需滿足力邊界條件,才能使估算出的固有頻率有比較好的近似值?！纠?.8】圖4.30為一端固定，一端有剛度為k的彈性支撐的等直梁，求該梁的基頻。【解】設(shè)試算函數(shù)為它只滿足位移邊界條件，不能滿足力邊界條件2023年2月1日《振動力學(xué)》10連續(xù)系統(tǒng)的振動系統(tǒng)最大勢能系統(tǒng)最大動能由得2023年2月1日《振動力學(xué)》11連續(xù)系統(tǒng)的振動可見，系統(tǒng)固有頻率比懸臂梁固有頻率高。式中,k=l3/3EI為彈性支撐剛度和梁剛度的比值。2023年2月1日《振動力學(xué)》12連續(xù)系統(tǒng)的振動【例4.9】x=0處固定，x=l處自由的錐形軸,如圖4.31，在外界干擾去掉后，軸發(fā)生了扭振，其單位長度轉(zhuǎn)動慣量為扭轉(zhuǎn)剛度為試瑞雷法估算其固有頻率?！墩駝恿W(xué)》13連續(xù)系統(tǒng)的振動【解】設(shè)θ(x,t)=φ(x)sin(ωt+φ)

為軸的角位移，試算函數(shù)為φ(x)=sin(πx/2l)軸的最大動能軸的最大勢能由得2023年2月1日《振動力學(xué)》142023年2月1日《振動力學(xué)》14教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學(xué)》14連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法2023年2月1日《振動力學(xué)》15連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4.2李茲法瑞雷法是求系統(tǒng)基頻的有效方法，缺點(diǎn)是不能估算高階固有頻率及振型。

李茲法對瑞雷法作了改進(jìn)，除能求出更精確的基頻外，還能求出高階固有頻率及振型。李茲法思路：把連續(xù)系統(tǒng)離散化為有限自由度系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律計(jì)算。以歐拉-伯努利梁為例。取n個廣義坐標(biāo)qi(t)，設(shè)n個2023年2月1日《振動力學(xué)》16連續(xù)系統(tǒng)的振動振型函數(shù)yi(x)皆滿足位移邊界條件，則動能其中，彈性勢能其中，2023年2月1日《振動力學(xué)》17連續(xù)系統(tǒng)的振動由拉格朗日方程得其矩陣形式為：將無限自由度系統(tǒng)變?yōu)橛邢迋€自由度系統(tǒng)（有限元思想）。

設(shè)2023年2月1日《振動力學(xué)》18連續(xù)系統(tǒng)的振動代入(4.140)，得振型方程由(4.141)可計(jì)算系統(tǒng)固有頻率及振型。注意：欲求系統(tǒng)的二階固有頻率,n至少為2。為了減少誤差,用李茲法計(jì)算某階固有頻率時,選取的振型函數(shù)的項(xiàng)數(shù),應(yīng)比需求固有頻率階數(shù)至少多一倍。2023年2月1日《振動力學(xué)》19連續(xù)系統(tǒng)的振動【例4.10】圖4.32所示變截面梁具有單位厚度，截面變化為A(x)=2bx/l=A0x/l，A0為根部截面積，用瑞雷法及李茲法求其基頻，比較兩者結(jié)果。【解】1.瑞雷法由A(x)=2bx/l=A0x/l求出I(x)=(2bx/l)3/12=I0x3/l3，式中I0為根部截面積對中心主軸的慣性矩。設(shè)試算振型函數(shù)為則2023年2月1日《振動力學(xué)》20連續(xù)系統(tǒng)的振動滿足力和位移邊界條件，即將振型函數(shù)代入(4.139)中，得2023年2月1日《振動力學(xué)》21連續(xù)系統(tǒng)的振動2.李茲法設(shè)試算振型函數(shù)為

因求系統(tǒng)基頻，故選取n=2，則

由(4.141)求出mij和kij如下：2023年2月1日《振動力學(xué)》22連續(xù)系統(tǒng)的振動將mij和kij代入(4.141)得頻率方程《振動力學(xué)》23連續(xù)系統(tǒng)的振動解出基頻精確解用瑞雷法誤差為3%，用李茲法誤差為0.08%。將ω1代入(a)中任一式得得一階主振型近似值2023年2月1日《振動力學(xué)》242023年2月1日《振動力學(xué)》24教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學(xué)》24連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法2023年2月1日《振動力學(xué)》25連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4.3傳遞矩陣法傳遞矩陣法適合于計(jì)算鏈狀結(jié)構(gòu)的固有頻率及振型。該法可推廣用于求系統(tǒng)的響應(yīng)。以等直桿扭轉(zhuǎn)振動和橫向振動為例說明其在連續(xù)系統(tǒng)中應(yīng)用。2023年2月1日《振動力學(xué)》26連續(xù)系統(tǒng)的振動軸的扭轉(zhuǎn)振動一軸系以圓頻率ω作扭轉(zhuǎn)振動，不計(jì)阻尼。由(4.31)知由扭矩公式，得式中，GIt是i段軸的抗扭剛度,。A與B為待定常數(shù)，由i-1點(diǎn)右邊的狀態(tài)矢量來決定。2023年2月1日《振動力學(xué)》27連續(xù)系統(tǒng)的振動當(dāng)x=0時，(4.142)、(4.143)為故有A、B代入(4.142)、(4.143)，得i軸段在x處的傳遞關(guān)系將x=l代入，得扭轉(zhuǎn)角θiL和扭振矩MtiL2023年2月1日《振動力學(xué)》28連續(xù)系統(tǒng)的振動寫成矩陣形式故i軸段傳遞矩陣為也是軸扭轉(zhuǎn)振動的場傳遞矩陣。2023年2月1日《振動力學(xué)》29連續(xù)系統(tǒng)的振動2.梁的橫向振動梁以圓頻率ω作橫向振動，不計(jì)阻尼。取i段等直梁如圖4.34，建立其傳遞矩陣。等直梁自由振動方程(4.50)解（4.55）也可表為式中2023年2月1日《振動力學(xué)》30連續(xù)系統(tǒng)的振動由(4.145)得轉(zhuǎn)角θ、彎矩M和剪力Q

式中，EI為梁i段的抗彎剛度，A、B、C、D為待定常數(shù),由i-1點(diǎn)右邊的狀態(tài)矢量決定。當(dāng)x=0時，由(4.145)和(4.146)得由以上四式得到《振動力學(xué)》31連續(xù)系統(tǒng)的振動代入(4.145)、(4.146)得i段在x處的傳遞關(guān)系：將x=l代入上四式，即得位移yiL、轉(zhuǎn)角θiL、彎矩MiL和剪力QiL，其矩陣形式2023年2月1日《振動力學(xué)》32連續(xù)系統(tǒng)的振動即為直梁的場傳遞矩陣由此可計(jì)算分布質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率與振型。2023年2月1日《振動力學(xué)》332023年2月1日《振動力學(xué)》33教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學(xué)》33連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法2023年2月1日《振動力學(xué)》34連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4.4伽遼金法伽遼金法基于能量變分法對梁橫向振動，有將梁的自由振動解代入(4.148)得2023年2月1日《振動力學(xué)》35連續(xù)系統(tǒng)的振動選函數(shù)族Yj(x),j=1,2,…,n,同時滿足幾何和力邊界條件。設(shè)近似解Aj為待定系數(shù)，相當(dāng)于獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，對(4.151)變分得

將(4.151)、(4.152)代入(4.150)，有36連續(xù)系統(tǒng)的振動整理得式中由δAi任意性得式(4.154)為Ai的線性代數(shù)方程組?？梢?，伽遼金法將無限多個自由度系統(tǒng)離散化為