第10章-平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)

第10章

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)目錄10.1隨機(jī)信號(hào)及其特征描述10.2平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)10.3平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)10.4平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性10.5信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題10.6估計(jì)質(zhì)量的評價(jià)10.7功率譜估計(jì)概述確定性信號(hào)：信號(hào)隨時(shí)間變化具有規(guī)律性，可以準(zhǔn)確預(yù)測，可以用某一明確的數(shù)學(xué)關(guān)系描述。隨機(jī)信號(hào)：

信號(hào)隨時(shí)間變化不具有明確的規(guī)律性，不能準(zhǔn)確預(yù)測，不能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系來描述。現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)絕大部分是隨機(jī)信號(hào)。研究方法：

統(tǒng)計(jì)的方法，“估計(jì)”的方法。隨機(jī)信號(hào)：人體生理信號(hào)（ECG,EEG,PCG,…)；語音信號(hào)；噪聲信號(hào)；各種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)（作物產(chǎn)量，GDP,股票指數(shù)， 價(jià)格指數(shù)，…）；各種自然現(xiàn)象：（河水流量，平均溫度，單位面積承受到的風(fēng)載，太陽黑子數(shù)，…）等等。連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)（PDF）定義為：p(x)具有如下性質(zhì)：①②③離散隨機(jī)變量的概率分布{pi}，其中pi

=P(X=xi)。對所有i有pi

0且1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述隨機(jī)變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望（均值）方差原點(diǎn)矩很顯然，中心距很顯然1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述N

個(gè)隨機(jī)變量組成的向量稱為隨機(jī)向量：隨機(jī)向量X的均值是由其各個(gè)分量的均值所組成的均值向量：隨機(jī)向量X的方差是各個(gè)分量之間互相求方差所形成的矩陣：其中稱為分量Xi和Xj之間的協(xié)方差。1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，記其聯(lián)合概率密度為p(x,y)，邊緣概率密度分別為p(x)和p(y)，若有：則稱X和Y是相互獨(dú)立的。如果隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差為零，則稱X和Y是不相關(guān)的。很顯然，兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)向量必然不相關(guān)：反之則不然，即兩個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)變量不一定是相互獨(dú)立的。但是對于正態(tài)分布，獨(dú)立和不相關(guān)卻是等效的。1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述設(shè)有n臺(tái)性能完全相同的接收機(jī)。在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形，測試結(jié)果表明，n

條曲線中找不到兩個(gè)完全相同的波形。這就是說，接收機(jī)輸出的噪聲電壓隨時(shí)間的變化是不可預(yù)知的，因而它是一個(gè)隨機(jī)過程。隨機(jī)過程：設(shè)有無窮多臺(tái)性能相同的接收機(jī)，在同等條件下測出噪聲信號(hào)波形為x1(t),x2(t),…,xN(t),…。如果我們把記錄接收機(jī)的輸出噪聲波形看做一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，那么每一次的記錄就是該隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的一次實(shí)現(xiàn)，相應(yīng)的記錄結(jié)果xi(t)稱為樣本函數(shù)。上述樣本函數(shù)的總體稱為隨機(jī)過程X(t)，即隨機(jī)信號(hào)。xi(t)稱為X(t)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)或樣本。1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述對于特定的時(shí)刻，例如t=t1，顯然x1(t1),x2(t1),…,xN(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，它相當(dāng)于在某一個(gè)固定的時(shí)刻記錄到的無窮多臺(tái)接收機(jī)的輸出值。當(dāng)t=tj時(shí)，x1(tj),x2(tj),…,xN(tj)也是一個(gè)隨機(jī)變量，因此，一個(gè)隨機(jī)信號(hào)X(t)是依賴于時(shí)間t的隨機(jī)變量，我們可以用描述隨機(jī)變量的方法來描述隨機(jī)信號(hào)。當(dāng)t在時(shí)間軸上取值t1,t2,…,tm時(shí)，我們可以得到m個(gè)隨機(jī)變量X(t1),X(t2),…,X(tm)，顯然，描述這m個(gè)隨機(jī)變量最全面的方法是利用其m維的概率分布函數(shù)（或概率密度函數(shù)）當(dāng)m趨于無窮時(shí)，上式完善地描述了隨機(jī)信號(hào)X(t)。1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述對隨機(jī)信號(hào)X(t)離散化，得離散隨機(jī)信號(hào)X(n)。對于X(n)的每一次實(shí)現(xiàn)，記為x(n,i)，n代表時(shí)間，i代表實(shí)現(xiàn)的序號(hào)，即樣本數(shù)。顯然，X(n)的均值、方差、均方值等一階二階數(shù)字特征均是時(shí)間n的函數(shù)。均值：隨機(jī)過程X(n)在任意時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望為μX(n)方差：隨機(jī)過程X(n)在任意時(shí)刻的方差為σX2

(n)均方值：1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述自相關(guān)函數(shù)：設(shè)n1、n2

為任意兩個(gè)時(shí)刻，相關(guān)函數(shù)定義為：隨機(jī)信號(hào)X(n)的自相關(guān)函數(shù)描述了信號(hào)在n1和n2這兩個(gè)時(shí)刻的相互關(guān)系。自協(xié)方差函數(shù)1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述如果n1=n2=n，則有對于兩個(gè)以上的隨機(jī)過程，可引入互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差：1.隨機(jī)信號(hào)及其特征描述對任意的k，如果隨機(jī)信號(hào)X(n)的概率密度函數(shù)滿足則稱X(n)是N階平穩(wěn)的。如果上式對都成立，則稱是X(n)嚴(yán)平穩(wěn)，或狹義平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)。對于隨機(jī)信號(hào)X(n)，若其均值為常數(shù)，即方差為有限值且為常數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)rX(n1,n2)和n1,n2的選取起點(diǎn)無關(guān)，僅和n1,n2之差有關(guān)，即，則稱是寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)由寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的定義，還可以得到均方值：自協(xié)方差兩個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)和Y(n)的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)可以表示為：2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)例題：隨機(jī)相位正弦序列式中A,f均為常數(shù)，Φ

是一個(gè)在0~2π

內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試求X(n)的均值及自相關(guān)函數(shù)，并判斷其平穩(wěn)性。解答：由定義可知X(n)的均值及自相關(guān)函數(shù)分別為2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)例題：隨機(jī)振幅正弦序列式中f為常數(shù)，X為正態(tài)隨機(jī)變量，均值為0，方差為σ2。試求X(n)的均值及自相關(guān)函數(shù)，并判斷其平穩(wěn)性。解答：由定義可知X(n)的均值及自相關(guān)函數(shù)分別為2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)對自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)做Z變換，有令，得到假定X(n)的功率是有限的，那么其功率譜密度的反變換必然存在，其反變換即為自相關(guān)函數(shù)，即有：（自功率譜）（互功率譜）2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1

是ω

的實(shí)函數(shù)，因此功率譜失去了相位信息；性質(zhì)2

對所有的ω

都是非負(fù)的；性質(zhì)3由于rX(m)是偶對稱的，因此仍是ω

的偶函數(shù)；性質(zhì)4

功率譜曲線在（-π,π）內(nèi)的面積等于信號(hào)的均方值。工程實(shí)際中所遇到的功率譜可以分為三種：白噪聲譜：功率譜在|ω|≤π

的范圍內(nèi)始終為一常數(shù)，如σ2，自相關(guān)函數(shù)為：線譜ARMA譜2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)一階馬爾可夫過程隨機(jī)信號(hào)，若其概率密度函數(shù)滿足稱其為馬爾可夫（Markov）過程2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)

上式的含義是：已知過程在現(xiàn)在時(shí)刻的狀態(tài)，那么，下一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)

只和現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而和過去的狀態(tài)無關(guān)。無關(guān)！例如Markov-Ⅰ過程2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)對上述過程，可求出：DCT中遇到過2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)設(shè)X(n)為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，它通過一LSI系統(tǒng)H(z)后，輸出為Y(n)，由于所以Y(n)也是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。X(n)和Y(n)之間的關(guān)系有：3.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)證明：令令3.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)證明：3.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)例題：一個(gè)簡單的兩點(diǎn)差分器可以用來近似計(jì)算信號(hào)的斜率。設(shè)X(n)為一零均值、方差為σ2的白噪聲信號(hào)，試求輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。解答：因?yàn)閄(n)為白噪聲序列，所以有

3.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)Y(n)的功率譜為rY(m)的DTFT：或者先求出：然后：3.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)一個(gè)隨機(jī)信號(hào)X(n)的均值、方差、均方值及自相關(guān)函數(shù)等，均是建立在集總平均的意義上。例如均值和自相關(guān)函數(shù)：為了精確地求出μX和rX(m)，需要知道x(n,i)的無窮多個(gè)樣本，這在實(shí)際工作中顯然是不現(xiàn)實(shí)的。各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)：對一平穩(wěn)信號(hào)X(n)，如果它的所有樣本函數(shù)在某一固定時(shí)刻的一階和二階統(tǒng)計(jì)特性和單一樣本函數(shù)在長時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致，我們稱X(n)為各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)。這樣，我們就可以仿照確定性的功率信號(hào)那樣來定義各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)的一階和二階統(tǒng)計(jì)特征。4.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性設(shè)x(n)是各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)X(n)的一個(gè)樣本函數(shù)，對X(n)的數(shù)字特征可以重新定義如下：上式都是使用單一樣本函數(shù)x(n)來求出μX和rX(m)，因此稱為“時(shí)間平均”。對于各態(tài)遍歷信號(hào)，其一階和二階統(tǒng)計(jì)特征的集總平均等于相應(yīng)的時(shí)間平均。4.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性對各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)X(n)，既然自相關(guān)函數(shù)可以用時(shí)間平均來定義，那么其功率也可以用時(shí)間平均來定義為：上式中X(ejω)是隨機(jī)信號(hào)X(n)的某一樣本函數(shù)x(n)在n=-M~M時(shí)的DTFT。考慮到時(shí)間平均，M應(yīng)趨于無窮，因此求極限是必要的。對X(n)的每一個(gè)樣本函數(shù)x(n,i)，所求出的X(ejω,i)是不相同的，所以X(ejω,i)本身是一個(gè)隨機(jī)變量，因此上式中的求均值運(yùn)算也是必要的。4.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性各態(tài)歷經(jīng)（遍歷）的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)

實(shí)際信號(hào)處理時(shí)，往往總是假定為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)信號(hào)，以能解決問題為原則。因?yàn)榧偲骄痪邆鋵?shí)施條件。假定當(dāng)時(shí)，rx(k)衰減得足夠快，使得：此即維納-辛欽定理。則有

4.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換誘發(fā)響應(yīng)信號(hào)為一個(gè)確定性過程加上一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程相干平均降噪，SNR提高M(jìn)倍5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題5.信號(hào)處理中的最小平方估計(jì)問題6.估計(jì)質(zhì)量的評價(jià)對于隨機(jī)信號(hào)X(n)，我們能得到的往往是其一次實(shí)現(xiàn)的有限長數(shù)據(jù)x(n),

n=0,1,…,N-1,然后根據(jù)這N個(gè)數(shù)據(jù)來估計(jì)X(n)的均值、方差、自相關(guān)函數(shù)、功率譜及其他感興趣的參數(shù)。設(shè)X(n)的某個(gè)特征量的真值為，估計(jì)值為，通常用下面三個(gè)指標(biāo)來評價(jià)估計(jì)的質(zhì)量：偏差定義為估計(jì)的偏差。若，則稱是的無偏估計(jì)。若在時(shí)有則稱是對的漸進(jìn)無偏估計(jì)。06.估計(jì)質(zhì)量的評價(jià)方差定義為估計(jì)的方差，