第03章5自動控制理論

勞斯穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為將上式中的各項系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表勞斯穩(wěn)定判據(jù)表中用同樣的方法，求取表中其余行的系數(shù)，一直到第n+1行排完為止。勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號的變換，去判別特征方程式的根在s平面上的具體分布，其結(jié)論是：2）如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在s平面的右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1）如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根在s平面的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是控制精度（準(zhǔn)確度）的一種度量，是控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。在實際系統(tǒng)中，引起穩(wěn)態(tài)誤差的因素是多種多樣的。1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性2、系統(tǒng)的動態(tài)性5個指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1、“穩(wěn)態(tài)”是什么概念？2、穩(wěn)態(tài)誤差是怎樣定義的？3、穩(wěn)態(tài)誤差有幾種？4、定義在輸入端和定義在輸出端兩種計算穩(wěn)態(tài)誤差方法有何區(qū)別？5、在兩個輸入下怎樣計算穩(wěn)態(tài)誤差？6、系統(tǒng)根據(jù)什么分為0型、I型、II型？控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素很多，如系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的參數(shù)以及輸入量的形式等。必須指出的是，這里所說的穩(wěn)態(tài)誤差并不考慮由于元件的不靈敏區(qū)、零點漂移、老化等原因所造成的永久性的誤差。在穩(wěn)態(tài)條件下，期望輸出cr(t)與實際輸出c(t)之差定義為反饋系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：給定輸入下的誤差—給定誤差 擾動輸入下的誤差—擾動誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差的定義G(s)H(s)E(s)B(s)R(s)C(s)控制系統(tǒng)框圖圖所示的這樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，其輸入量和輸出量通常為不同的物理量，因而系統(tǒng)的誤差不能直接用它們的差值來表示。用輸入量與反饋量的差值來定義系統(tǒng)的誤差，即這樣定義的誤差，在實際中是可以量測的。如果需要把上述定義的誤差折算為輸出量綱來表示，那只要把它除以H(s)，即如果系統(tǒng)穩(wěn)定，且其穩(wěn)態(tài)誤差的終值存在，則該值可用終值定理求得，即（3-27）（3-28）上式表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅與其開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，而且也與輸入信號的形式和大小有關(guān)，即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的不同，輸入信號的形式和大小的差異，都會引起系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的變化?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差說明：1）誤差是從系統(tǒng)輸出端來定義的，它是輸出的希望值與實際值之差，這種方法定義的誤差在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法測量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義。2）偏差是從系統(tǒng)的輸入端來定義的，它是系統(tǒng)輸入信號與主反饋信號之差，這種方法定義的誤差，在實際系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有一定的物理意義。3）對單位反饋系統(tǒng)而言，誤差與偏差是一致的?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為稱為零型系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)系統(tǒng)的型別以來劃分優(yōu)點：1．可以根據(jù)已知的輸入信號形式，迅速判 斷是否存在穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。2．系統(tǒng)階數(shù)m,n的大小與系統(tǒng)型別無關(guān)，且不影響穩(wěn)態(tài)誤差的數(shù)值?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差利用終值定理計算應(yīng)用終值定理的條件是sE(s)在s左半平面及虛軸上解析，或者說sE(s)的極點位于左半平面（包括坐標(biāo)原點）?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差位置（階躍）誤差系數(shù)終值定理：斜坡（速度）誤差系數(shù)拋物線（加速度）誤差系數(shù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差求系統(tǒng)的給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差可以先求穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)0型系統(tǒng)，階躍輸入時，誤差系數(shù)=K系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中不含積分環(huán)節(jié)三種典型輸入下有三個誤差系數(shù)的計算公式，而三個誤差系數(shù)對應(yīng)于“0”“I”“II”型系統(tǒng)又分別有三種情況。0型系統(tǒng)，階躍輸入時，輸出始終不會等于輸入，存在穩(wěn)態(tài)誤差。1、0型系統(tǒng)階躍信號輸入2、I型系統(tǒng)I型系統(tǒng)，階躍輸入時誤差系數(shù)無窮大I型系統(tǒng)，階躍輸入時沒有穩(wěn)態(tài)誤差輸出最終等于輸入系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含一個積分環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3、II型系統(tǒng)II型系統(tǒng)，階躍輸入時誤差系數(shù)無窮大II型系統(tǒng)，階躍輸入時沒有穩(wěn)態(tài)誤差,輸出最終等于輸入系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含兩個積分環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差斜坡信號輸入令靜態(tài)速度誤差系數(shù)

令控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差加速度信號輸入令靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

令控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差表3-1靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)類型的關(guān)系

誤差系數(shù)系統(tǒng)類型靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)0型系統(tǒng)K00Ⅰ型系統(tǒng)K0Ⅱ型系統(tǒng)K控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差R(s)E(s)C(s)D(s)圖3-2閉環(huán)控制系統(tǒng)考慮圖3-2所示的系統(tǒng)，圖中R(S)為系統(tǒng)的參考輸入，D(s)為系統(tǒng)的擾動作用。為了計算擾動D(S)引起的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，設(shè)R(s)=0，且令由D(s)引起的系統(tǒng)的輸入和穩(wěn)態(tài)誤差分別為和。由圖得根據(jù)終值定理求得在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為小結(jié)1)時域分析是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)整時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)來評價系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。2)二階系統(tǒng)在欠阻尼時的響應(yīng)雖有振蕩，但只要阻尼比取值適當(dāng)(如＝0.7左右)，則系統(tǒng)既有響應(yīng)的快速性，又有過渡過程的平穩(wěn)性，因而在控制工程中常把二階系統(tǒng)設(shè)計為欠阻尼。

3)分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)整時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)來評價系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。小結(jié)4)穩(wěn)定是系統(tǒng)能正常工作的首要條件。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。與外施信號的形式和大小無關(guān)。不用求根而能直接列別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為穩(wěn)定判據(jù)。穩(wěn)定判據(jù)只回答持征方程式的根在平面上的分布情況,而不能確定根的具體數(shù)值。5)穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量,也是系統(tǒng)的一個重要性能指標(biāo)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與控制信號的形式、大小和作用點有關(guān)。6)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度與動態(tài)性能在對系統(tǒng)的類型和開環(huán)增益的要求上是相矛盾的。解決這一矛盾的力法，除了在系統(tǒng)中設(shè)置校正裝置外，還可用前饋補(bǔ)償?shù)牧Ψ▉硖岣呦到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。例題分析例題3－1圖3－39所示的一階系統(tǒng)，在階躍輸入時，系統(tǒng)為什么一定有穩(wěn)態(tài)誤差存在，試解釋之。例題分析所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為。解令階躍輸入，假設(shè)系統(tǒng)的輸出c(t)能等，則。這顯然與上述的假設(shè)相矛盾。為了使這種類型的系統(tǒng)在階躍輸入時能正常地工作,從控制原理上來說，系統(tǒng)非有穩(wěn)態(tài)誤差不可。正是由于的存在，才有放大器的輸出和在作用下的系統(tǒng)輸出c(t)。如在穩(wěn)態(tài)時，，則，它們都是由所產(chǎn)生的，例題分析例題3－2已知一階系統(tǒng)的方框圖如圖3－40所示。設(shè)r(t)=t，求單位斜坡輸出響應(yīng)。例題分析解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為則其輸出用部分分式展開上式，得取拉氏反變換由此可見，在穩(wěn)態(tài)時、該0型系統(tǒng)輸出量的變化率c(t)=1/2，它小于輸入信號的變化率。這是由于0型系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)所致，從而使得具有這種結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入。

例題分析例題3－3已知圖3—41a所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3－4lb示之，試求參數(shù)和a的值。例題分析

解因為該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出為據(jù)此求得

由圖3－41b得由上式求得＝0.6例題分析由上式得根據(jù)解得。把式子改寫為二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即表3-2穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的類型、輸入信號間的關(guān)系穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號

系統(tǒng)類型階躍輸入斜坡輸入等加速度輸入0型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)0

Ⅱ型系統(tǒng)00

例題分析例題3－4一單位反饋控制系統(tǒng)．若要求：①跟蹤單位斜坡輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2；②設(shè)該系統(tǒng)為三階，其中一對復(fù)數(shù)閉環(huán)極點為。求滿足上述要求的開環(huán)傳遞函數(shù)。因為即與相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為解根據(jù)①和②的要求，可知該系統(tǒng)是I型三階系統(tǒng)，因而令其開環(huán)傳遞函數(shù)為例題分析由上式得求解聯(lián)立方程組，得到，所求的開環(huán)傳遞函數(shù)為例題分析例題3－5己知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3－42所示。試回答(1)

時．閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定?(2)

時。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是什么？例題分析解(1)閉環(huán)的特征方程為由于表中第一列的系數(shù)全為正值，因而閉環(huán)特征方程式的根全部位于的左半平面，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。排勞斯表例題分析(2)當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)為則其閉環(huán)特征方程變?yōu)槔}分析排勞斯表

例題分析欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，表中第一列的