第10章組合變形

第十章組合變形§6-4

非對(duì)稱截面的平面彎曲開口薄壁截面的彎曲中心

一、非對(duì)稱截面的平面彎曲MedAyz形心主慣性平面CxzydACyzyzy1y1z1(中性軸)z1是形心軸y1z1(中性軸)y1梁的軸線在形心主慣性平面xy內(nèi)彎曲成一條平面曲線，這是純彎曲中平面彎曲的一般情況?？梢?jiàn)，Ｍy=0是發(fā)生平面彎曲的條件。對(duì)稱截面梁在橫力彎曲時(shí)的切應(yīng)力公式同樣適用于非對(duì)稱截面梁在橫向力作用下發(fā)生平面彎曲的切應(yīng)力計(jì)算。橫向力必須作用在與梁的形心主慣性平面平行的某一特定平面時(shí)，梁才僅發(fā)生平面彎曲而不發(fā)生扭轉(zhuǎn)。若橫向力作用在與該特定平面平行的其他縱向平面時(shí)，梁不僅發(fā)生平面彎曲而且發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。二、開口薄壁截面的彎曲中心產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)的原因及彎心位置的確定只有當(dāng)力F的作用線通過(guò)點(diǎn)A時(shí)，梁才只產(chǎn)生彎曲，不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。t

1,maxt1tmmt1t

maxmmFHFH

FR

FSCzyy

CAzeFR

FSht

1,maxt1tt1t

maxbdhA點(diǎn)稱為截面的彎曲中心或剪切中心。，它是截面的幾何性質(zhì)，與外力的大小和方向及梁的約束等均無(wú)關(guān)。當(dāng)橫向力F通過(guò)彎曲中心A時(shí)，梁只產(chǎn)生彎曲，不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。m

mCAzeFR

FSy對(duì)于開口薄壁截面梁，由于其抗扭剛度較小，當(dāng)橫向力不通過(guò)彎曲中心A時(shí)，將引起很大的扭曲變形，并且當(dāng)扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面不能自由翹曲時(shí)，梁中還要產(chǎn)生附加的正應(yīng)力和切應(yīng)力，稱為約束扭轉(zhuǎn)。一側(cè)開口的薄壁截面，其彎曲中心必在截面的另一側(cè)。······(1)當(dāng)截面具有一根對(duì)稱軸時(shí)，例如，槽形、開口薄壁圓環(huán)、T字形、等邊角形等，其彎曲中心一定位于對(duì)稱軸上。(3)由兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形組成的截面，例如，T字形、等邊和不等邊角形等，其彎曲中心位于兩狹長(zhǎng)矩形中線的交點(diǎn)處。(2)當(dāng)截面具有兩根對(duì)稱軸時(shí)，例如工字形等，其彎曲中心和形心位置重合。Z字形截面為反對(duì)稱截面，其彎曲中心也與形心位置重合。思考懸臂梁在自由端受集中力F作用，若采用圖a，b，c所示三種截面，且力F均通截面的形心C。試問(wèn)這幾種截面梁各產(chǎn)生何種變形？.C(c)C(a)yz(b)C§10-1概述

基本變形：軸向拉伸(或壓縮)、剪切、扭轉(zhuǎn)及彎曲；

組合變形：構(gòu)件同時(shí)發(fā)生的兩種或兩種以上的基本變形；組合變形分類：斜彎曲,拉彎(或壓彎)組合,彎扭組合；

工程實(shí)例:煙囪，傳動(dòng)軸，吊車梁的立柱。自重引起軸向壓縮

＋水平方向風(fēng)力引起彎曲齒輪嚙合力引起彎曲

＋

扭轉(zhuǎn)

偏心荷載引起偏心壓縮

=

軸向壓縮

＋

純彎曲

分析方法：

(1)組合變形是小變形，且材料是在線彈性范圍內(nèi)工作，用疊加法：

將作用于桿件上的荷載簡(jiǎn)化成靜力相當(dāng)荷載，簡(jiǎn)化后的每一荷載只產(chǎn)生一種基本變形；分別計(jì)算每一種基本變形下桿件的應(yīng)力和位移，將結(jié)果疊加。(2)組合變形是大變形，應(yīng)按變形后的形狀分析計(jì)算，不能用疊加法?！?0-2斜彎曲Czyq檁條平面彎曲的受力特點(diǎn)平面彎曲的變形特點(diǎn)

(1)各橫截面繞z軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；

(2)撓曲線位于橫向外力所在的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)橫向外力所在的縱向平面就是梁的縱向?qū)ΨQ平面。梁的縱向?qū)ΨQ平面q橫向外力所在的縱向平面zyC斜彎曲的受力特點(diǎn)橫向外力所在的縱向平面不是梁的縱向?qū)ΨQ平面斜彎曲的變形特點(diǎn)

(1)各橫截面均分別繞y軸和z軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；

(2)撓曲線不再位于橫向外力所在的縱向平面內(nèi)。橫向外力所在的縱向平面梁的縱向?qū)ΨQ平面CzyFzFyFzy?C（y，z）lxl－xyzxF斜彎曲的應(yīng)力和位移計(jì)算(1)外力的分解—在xy平面內(nèi)的平面彎曲，z軸為中性軸—在xz平面內(nèi)的平面彎曲，y軸為中性軸xyzxMzMyMyMzyF(2)彎矩計(jì)算Mz?C(y,z)(3)應(yīng)力計(jì)算zyMyMz以上各式中的彎矩和坐標(biāo)均取絕對(duì)值yzxMzMyx＋＝zyFy單獨(dú)作用：s'Fz單獨(dú)作用：s''Fy

和Fz共同作用：sBD中性軸EF中性軸方程：中性軸上的點(diǎn)(y0

，

z0)滿足中性軸斜率：中性軸與y軸的夾角a滿足zy中性軸a?(y0，

z0)

——過(guò)橫截面形心

??(1)IyIz，tana

－cot(或tana·tan－1)，中性軸與總彎矩矢量不重合(或中性軸與總彎矩M的作用平面不垂直)，從而中性軸與外力F的作用線不垂直；(2)Iy=Iz，tana

=－cot(或tana

·tan=－1)

，中性軸與總彎矩矢量重合(或中性軸與總彎矩M的作用平面垂直)，從而中性軸與外力F的作用線垂直。zyF中性軸aM??zy中性軸??MF(4)強(qiáng)度計(jì)算危險(xiǎn)截面：固定端截面危險(xiǎn)點(diǎn)：危險(xiǎn)截面角點(diǎn)處強(qiáng)度條件zy中性軸a??zy中性軸a?切點(diǎn)?切點(diǎn)(yt

,zt)zyzy中性軸中性軸????(5)位移計(jì)算yzxlzywzFzFy中性軸awbwyzywz中性軸awbwy即中性軸與總位移矢量(或撓曲平面)垂直。(1)Iy

Iz，tanb

tan

，總位移矢量與總彎矩矢量(或撓曲平面與總彎矩作用平面)不垂直，從而總位移矢量與外力F的作用線(或撓曲平面與外力F所在縱向平面)不重合，是為斜彎曲；(2)Iy=Iz，tanb

=

tan

，總位移矢量與總彎矩矢量(或撓曲平面與總彎矩作用平面)垂直，從而總位移矢量與外力F的作用線(或撓曲平面與外力F所在縱向平面)重合，是為平面彎曲。zyF中性軸awaMzy中性軸zy中性軸????MFMFww??zy中性軸a??MwaF例

20a號(hào)工字鋼懸臂梁承受均布荷載q和集中力F=qa/2

如圖。已知鋼的許用彎曲正應(yīng)力[]=160MPa,a=1m。試求梁的許可荷載集度[q]。

yqzaa40°FOCBAFyzqaaABCDFzyx解

作計(jì)算簡(jiǎn)圖,將自由端截面B上的集中力沿兩主軸分解為0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM圖(Nm)0.617aADCBMz圖0.456qa0.383qa0.266qa222(Nm)FyzqaaABCDFzyx

在xoz主軸平面內(nèi)的彎矩圖(y軸為中性軸)在xoy主軸平面內(nèi)的彎矩圖(z軸為中性軸)危險(xiǎn)截面：由彎矩圖，可確定A，D兩截面為危險(xiǎn)截面。

A，D截面在xoz，xoy平面的彎曲截面系數(shù)，可查表得

按疊加法，在xoz主軸平面內(nèi)、xoy主軸平面內(nèi)的彎曲正應(yīng)力，在x方向疊加

可見(jiàn)，梁的危險(xiǎn)點(diǎn)在截面A的棱角處。危險(xiǎn)點(diǎn)處是單軸應(yīng)力狀態(tài)，強(qiáng)度條件為

軸向拉伸(壓縮)和彎曲偏心拉伸(壓縮)

對(duì)于EI較大的桿，橫向力引起的撓度與橫截面的尺寸相比很小，因此，由軸向力引起的附加彎矩可以略去不計(jì)，拉(壓)彎時(shí)偏于安全?？煞謩e計(jì)算由橫向力和軸向力引起的桿橫截面上的正應(yīng)力，按疊加原理求其代數(shù)和，即得在拉伸(壓縮)和彎曲組合變形下桿橫截面上的正應(yīng)力。

§10-3拉伸(壓縮)與彎曲一、軸向拉伸(壓縮)和彎曲的組合變形lyzxFqqFxwCw(x)x<F單獨(dú)作用：s'q單獨(dú)作用：s''>z<中性軸+=例一折桿由兩根無(wú)縫鋼管焊接而成，已知兩鋼管的外徑均為140mm，壁厚均為10mm。試求折桿危險(xiǎn)截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。

解求支反力,由平衡方程

作折桿的受力圖,折桿及受力對(duì)稱，只需分析一半即桿AC。

將FA分解,得桿的軸力FN，彎矩M(x)AxFFAyABCmmfgFBx10kNBFAF'FAABCa1.6m1.6m1.2m10kN

最大彎矩在C處的m-m橫截面，m-m截面為危險(xiǎn)截面

按疊加原理，最大拉應(yīng)力t和最大壓應(yīng)力c分別在桿下邊緣的f

點(diǎn)和上邊緣的g點(diǎn)處，其值分別為根據(jù)已知的截面尺寸

代入應(yīng)力表達(dá)式得二、偏心拉伸(壓縮)

如鉆床的立柱、廠房中支承吊車梁的柱子。F1F2當(dāng)直桿受到與桿的軸線平行但不重合的拉力或壓力作用時(shí)，即為偏心拉伸或偏心壓縮。

EI較大時(shí)，撓度遠(yuǎn)小于拉力或壓力的偏心距，可按桿的原始形狀，用疊加法計(jì)算內(nèi)力。OD2D1

APyzyOzhbD1D2

PWzPyzyOD2D1

PyPWz中性軸yzOD1

st,maxsD2c,maxzy?(yP,zp)?ay?az中性軸?切點(diǎn)（yt

,zt）?切點(diǎn)§10-4彎曲與扭轉(zhuǎn)拉彎扭組合變形例

圖示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪

C上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪

D

上作用有水平切向力10kN，徑向力3.64kN。齒輪

C

的節(jié)圓直徑dC=400mm，齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。設(shè)許用應(yīng)力[]=100MPa，試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。

解將每個(gè)齒輪上的切向外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化。ABxyzCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m

作出軸在xy，xz兩縱對(duì)稱平面內(nèi)的兩個(gè)彎矩圖以及扭矩圖。

對(duì)于圓截面桿，通過(guò)圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面，可將My，Mz按矢量和求得總彎矩。