第 04 章 動量和角動量(v2)

大學(xué)物理學(xué)

第四章動量和角動量上海交通大學(xué)物理與天文系沖量：力的時(shí)間積累動量質(zhì)點(diǎn)動量定理質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律，則力距角動量質(zhì)點(diǎn)角動量定理質(zhì)點(diǎn)系角動量守恒定律，則質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理相對論質(zhì)速關(guān)系相對論動力學(xué)基本方程相對論動能靜止能量總能量質(zhì)能關(guān)系動量和能量關(guān)系大學(xué)物理學(xué)：動量和角動量2

牛頓定律是瞬時(shí)的規(guī)律。但在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、散射（微觀）…我們往往只關(guān)心過程中力的效果，即只關(guān)心始末態(tài)間的關(guān)系，對過程的細(xì)節(jié)不感興趣；而有些問題我們甚至尚弄不清楚過程的細(xì)節(jié)。大學(xué)物理學(xué)：動量和角動量3作為一個(gè)過程，我們關(guān)心的是力對時(shí)間和空間的積累效應(yīng)。力在空間上的積累作功，改變動能力在時(shí)間上的積累大學(xué)物理學(xué)：動量和角動量4§4.1動量定理與動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的動量一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度v運(yùn)動，我們定義它的動量為從牛頓第二定律可知：要獲得較大的動量，在相同的時(shí)間內(nèi)就需施加較大的力；或者在相同力的作用下，作用較長時(shí)間。大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律5動量與動能不同：為力在時(shí)間上的積累效應(yīng)，定義為沖量(impulse)在有限時(shí)間內(nèi)，initialfinal一、質(zhì)點(diǎn)的動量定理——動量定理大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律6討論1。沖量是矢量；動量定理的分量形式也成立。大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律7討論2。沖量的大小和方向與整個(gè)過程中力的性質(zhì)有關(guān)。在沖擊等過程中，力的作用時(shí)間很短暫，而力隨時(shí)間的變化卻很復(fù)雜，無法通過力的積分計(jì)算沖量,但可由求得力的沖量。并估算力的平均沖力：

大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律84.動量與參照系有關(guān)，但動量差值與參照系無關(guān)。因此，動量定理適用于所有慣性系。3.動量定理適用于任何形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，但在討論如沖擊、碰撞等過程時(shí)更方便。討論大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律9解：(1)30047t/sF/N[例4-1]m=10kg木箱，在水平拉力作用下由靜止開始運(yùn)動，拉力隨時(shí)間變化如圖。已知木箱與地面摩擦系數(shù)為=0.2，求：(1)t=4秒時(shí)刻木箱速度；(2)t=7秒時(shí)刻木箱速度；(3)t=6秒時(shí)刻木箱速度。m大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律1030047t/sF/N大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律11[例4-2]質(zhì)量為m的行李，垂直地輕放在傳送帶上，傳送帶的速率為v

，它與行李間的摩擦系數(shù)為μ，試計(jì)算：(1)行李將在傳送帶上滑動多長時(shí)間?(2)行李在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動多遠(yuǎn)?(3)有多少能量被摩擦所耗費(fèi)?(1)以地面為參照系解:mxOv大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律12(2)行李在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動多遠(yuǎn)?(地面參照系？)(或：)mxOv大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律13由質(zhì)點(diǎn)動能定理mxOv(3)被摩擦損耗的能量等于一對摩擦力做的功以傳送帶為參考系：大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律14有多少能量被摩擦所耗費(fèi)?設(shè)有N個(gè)粒子，第i個(gè)物體，受到的外力為Fi

，內(nèi)力（即粒子之間的相互作用）為fij

二、質(zhì)點(diǎn)系的動量定理大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律15·······ijFiPifijPj

fji對所有粒子求和則第

i粒子的運(yùn)動方程共有N個(gè)方程········ijFiPifijfjiPj大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律16依牛頓第三定律，因內(nèi)力總是成對出現(xiàn)（fij

和

fji

）為質(zhì)點(diǎn)系的總動量。為質(zhì)點(diǎn)系所受到的合外力。大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律17質(zhì)點(diǎn)系的動量定理：或：與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動量定理形式上相同。大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律18若（1）質(zhì)點(diǎn)系所有質(zhì)點(diǎn)不受外力；三、動量守恒定律(momentumconservationlaw)質(zhì)點(diǎn)系總動量不隨時(shí)間改變或（2）質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零，——質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律19大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律201.合外力沿某一方向?yàn)榱?；可得到該方向上的動量守恒。（盡管總動量不守恒）注意2.在某些情況下，如碰撞、打擊、爆炸等過程，外力與內(nèi)力相比小很多。

在極短的時(shí)間內(nèi)，外力的時(shí)間積累（沖量）相比之下可以忽略不計(jì)。我們可以有近似的動量守恒。大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律213.動量定理只適用于慣性系4.在牛頓力學(xué)的理論體系中，動量守恒定律是牛頓定律的推論。但動量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏觀和微觀領(lǐng)域、低速和高速范圍均適用。大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律22[例4-3]光滑水平路面上，有一質(zhì)量為m1=5kg的無動力小車以勻速率v0=2m/s向前行駛，小車由輕繩與另一質(zhì)量為m2=25kg的車廂連結(jié)，車廂右端有一質(zhì)量為m3=20kg的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），物體與車廂的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，開始物體靜止在車廂上，繩子是松馳的．求：（1）當(dāng)小車、車廂、物體以共同速度運(yùn)動時(shí)，物體相對車廂的位移（設(shè)物體不會從車廂上滑下）；

（2）從繩拉緊到小車、車廂、物體具有共同速度所需時(shí)間．解：（1）（2）大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律23[例4-4]

已知高H，傾角為的斜面光滑。小車質(zhì)量

M，從頂端滑至中點(diǎn)時(shí)剛好有一鋼球

m

從

h高度掉入。求小車到達(dá)底部時(shí)的速度V

?HhmM大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律24H/2解：m、M

系統(tǒng)，沖擊過程(M+m)gN重力在沖擊過程中可以忽略，斜面方向動量守恒!HhmM大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律25求小車到達(dá)底部時(shí)的速度V

?H/2沖擊過程后，m、M、地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒：解得：大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律26HhmM求小車到達(dá)底部時(shí)的速度V

?[例4-5]

炮車、炮彈與反沖速度(recoilvelocity)大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律27θ[例4-5]

炮車的質(zhì)量為M，炮彈的質(zhì)量為m。若炮車與地面有摩擦，摩擦系數(shù)為μ

,炮彈相對炮身的速度為u，求炮身相對地面的反沖速度

v

。解：選取炮車和炮彈組成系統(tǒng)內(nèi)、外力分析。水平的動量守恒嗎？xy大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律28θ運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)系的動量定理：x方向：y方向：xy大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律29θ大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律30討論：1.若炮車與地面沒有摩擦2.若炮車與地面有摩擦，但水平發(fā)射炮彈3.自鎖現(xiàn)象，即v=0時(shí)大學(xué)物理學(xué)：動量定理與動量守恒定律31§4.2質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理大學(xué)物理學(xué)：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理32一、質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的平均位置，稱為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心簡稱“質(zhì)心”n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量：

m1，m2，，mn質(zhì)心位置：位置矢量：

Czyx0大學(xué)物理學(xué)：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理33質(zhì)心位置的分量式：連續(xù)體的質(zhì)心位置：對于密度均勻，形狀對稱的物體，其質(zhì)心都在它的幾何中心。說明：大學(xué)物理學(xué)：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理34二、質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心位置公式：結(jié)論：系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的動量之矢量和等于質(zhì)心的速度乘以質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。由質(zhì)點(diǎn)系動量定理的微分式：大學(xué)物理學(xué)：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理35質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)心的運(yùn)動等同于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量M，它受到的外力為質(zhì)點(diǎn)系所受所有外力的矢量和。大學(xué)物理學(xué)：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理36質(zhì)心的兩個(gè)重要性質(zhì)：系統(tǒng)在外力作用下，質(zhì)心的加速度等于外力的矢量和除以系統(tǒng)的總質(zhì)量。（2）系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，質(zhì)心的速度為一恒矢量。（1）大學(xué)物理學(xué)：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理37Mearth=5.972×1024

kgMmoon=1/81Mearth[例4-6]有質(zhì)量為m+M的彈丸，從地面以與水平線成a角斜拋出去，它在飛行到最高點(diǎn)處爆炸成沿水平方向運(yùn)動、質(zhì)量分別為m和M的兩碎片。已知質(zhì)量為m的碎片相對質(zhì)量為M的碎片的速度為u，問質(zhì)量為M的碎片落在何處。解：oxxMmMa大學(xué)物理學(xué)：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理38[例4-7]長為

L，質(zhì)量均勻分布的柔性鏈子開始靜止于一光滑表面ABC

上，其D

端至B

點(diǎn)的距離為

L-a，求當(dāng)

D

端滑到B點(diǎn)時(shí)鏈子的速度。大學(xué)物理學(xué)：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理38§4.3碰撞問題

一、碰撞過程碰撞是自然界中十分普遍的現(xiàn)象，泛指一類“物體”間的“相互作用”。大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題40E.Rutherford有可能結(jié)合在一起；或產(chǎn)生新的成份（如粒子間的碰撞）特點(diǎn)：“碰撞”前，無相互作用；

接近時(shí)發(fā)生相互作用；“碰撞”后，相互作用消失。大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題41由于碰撞過程中（1）相互作用強(qiáng)，（2）力的形式復(fù)雜，（3）無法直接測量和記錄碰撞過程。難以直接研究“碰撞”。但是：“碰撞”前后，“物體”的性質(zhì)是容易測量的。通常根據(jù)“碰撞”前后“物體”性質(zhì)的變化來研究“物體”間的相互作用性質(zhì)。如：高能粒子對撞機(jī)可用來（1）產(chǎn)生新粒子，（2）研究粒子間的基本相互作用。大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題421、彈性碰撞

二、碰撞分類按照“碰撞”前后“物體”的性質(zhì)分類“碰撞”后的“物體”與“碰撞”前相同，且“物體”內(nèi)部狀態(tài)無變化。如：宏觀物體無形變，無發(fā)熱等；微觀粒子（有內(nèi)部結(jié)構(gòu)）的狀態(tài)同碰撞前。特點(diǎn)：“碰撞”前后“物體”總能量保持不變。（宏觀物體指動能，微觀粒子指廣義能量）大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題432、非彈性碰撞“碰撞”后的“物體”與“碰撞”前不相同;如：宏觀物體有形變，有發(fā)熱等；微觀粒子（有內(nèi)部結(jié)構(gòu)）的狀態(tài)不同于碰撞前，或產(chǎn)生新的粒子或“物體”內(nèi)部狀態(tài)有變化。非彈性碰撞的特點(diǎn)：“碰撞”前后“物體”總機(jī)械能不守恒。（對微觀粒子指部分或全部機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)部能量）注意：力學(xué)部分的碰撞限于宏觀物體的碰撞。大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題44牛頓發(fā)現(xiàn)：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，其比值與兩球的材料構(gòu)成性質(zhì)有關(guān)，即e稱為恢復(fù)系數(shù)(coefficientofrestitution)，其取值范圍為大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題45大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題46由動量守恒和總動能守恒：

三、碰撞理論討論限于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的彈性碰撞和完全非彈性碰撞1、彈性碰撞:e=1這是彈性碰撞所應(yīng)遵循的兩個(gè)一般關(guān)系。大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題47對一維碰撞：并設(shè)大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題48仍向前運(yùn)動；向后運(yùn)動；速度互換。大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題492、完全非彈性碰撞e=0以沖擊擺為例：MlM+m碰撞前后，水平方向動量守恒：通常用來測量高速運(yùn)動物體的速度。細(xì)繩張力始終垂直于其位移方向，不作功；只有重力作功機(jī)械能守恒:入射物體的速度：只需測量復(fù)擺所擺動的最大角度即可。大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題50[例4-7]

光滑桌面上，質(zhì)量為m1的小球以速度u

碰在質(zhì)量為m2的靜止小球上，u

與兩球的連心線成θ

角(稱為斜碰)。設(shè)兩球表面光滑，它們相互撞擊力的方向沿著兩球的連心線，已知恢復(fù)系數(shù)為e，求碰撞后兩球的速度。x、y方向動量分別守恒：解：oyx設(shè)碰后兩球速度分別為v1、v2

恢復(fù)系數(shù)：大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題51oyx討論：兩個(gè)質(zhì)量相等的小球發(fā)生彈性斜碰：

m1=m2,e=1時(shí)，聯(lián)立三個(gè)方程后求解，得：大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題52解：(1)A球所受合外力的沖量[例4-8]光滑球盤上有兩只光滑彈性小球A和B，質(zhì)量均為m，半徑為R，B球靜止在盤壁邊，A球以m/s的速度斜射至(-R，R)處與盤壁和B球同時(shí)碰撞,碰撞后，若A球的速度為，求:(1)A球所受合外力的沖量。(2)A，B組成的系統(tǒng)所受的合外力的沖量。(3)球與壁之間的恢復(fù)系數(shù)。(2)A，B系統(tǒng)所受合外力的沖量(3)球與壁之間的恢復(fù)系數(shù)xyAB大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題53[例4-9]

如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以入射角與一粗糙的表面發(fā)生斜碰。已知小球與表面的摩擦系數(shù)為，恢復(fù)系數(shù)為e，求碰撞后小球的速度大小與方向?？紤]小球，碰撞過程，忽略重力由動量定理：x：y：解：恢復(fù)系數(shù)：v,θx0y大學(xué)物理學(xué)：碰撞問題54§4-5相對論動量和能量基本出發(fā)點(diǎn)：基本規(guī)律在洛倫茲變換下形式不變；低速時(shí)回到牛頓力學(xué)大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量55

仍定義動量動量守恒在Lorentz變換下保持不變利用質(zhì)量、動量守恒可以推出一、動量和質(zhì)量大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量56考察兩個(gè)全同小球的完全非彈性碰撞兩個(gè)小球的孤立系統(tǒng),動量守恒同時(shí)，慣性定律要求質(zhì)心保持勻速直線運(yùn)動孤立系統(tǒng)總質(zhì)量守恒！推導(dǎo)過程如下：大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量57SoS’AB（1）S系中B球靜止，質(zhì)量為A球運(yùn)動，質(zhì)量為（與速度u有關(guān)，稱運(yùn)動質(zhì)量）（稱靜止質(zhì)量）SoAB動量守恒碰撞后一起運(yùn)動大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量58（2）S系中A球靜止，質(zhì)量為B球運(yùn)動，質(zhì)量為SoS’ABS’O’AB碰撞后一起運(yùn)動動量守恒大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量59因vx

和vx’為S及S中對碰撞后兩小球共同速度的描述大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量60討論由于空間的各向同性,質(zhì)量與速度方向無關(guān)相對論動量大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量61③④不可能?、葜挥性跁r(shí)才可能！PhotonNeutrino(?)討論大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量62大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量63二、相對論動力學(xué)方程式中在同一慣性系——按照Lorentz

變換變化。——按照關(guān)系式變化。大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量64由得兩式聯(lián)立求得：大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量65討論

不僅取決于

還取決于

若與牛二定律形式相同慣性的量度但大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量66③對于一維運(yùn)動,所施力為一恒力,則:討論加速器的主要困難大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量67三、相對論能量1、相對論動能經(jīng)典力學(xué)中的動能定理應(yīng)該是成立的設(shè)計(jì)質(zhì)點(diǎn)從靜止開始（動能為零），通過外力作功，使動能增加大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量68<<討論大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量69——與運(yùn)動有關(guān)的能量靜止時(shí)的能量（restenergy）除動能以外的能量2、相對論總能量總能量總能量與物體質(zhì)量成正比大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量70（1）當(dāng)動能由物體質(zhì)量由反之亦然！物體動能的變化必然伴隨著質(zhì)量的變化；質(zhì)量的變化必然也伴隨著動能的變化！討論大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量71（2）Einstein對關(guān)系式

的意義大膽推廣！認(rèn)為：它不僅適用于動能，而且還適用于總能量注意：能量和質(zhì)量的變化為廣義的，包括任何形式的能量和質(zhì)量變化質(zhì)能關(guān)系式討論大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量72（3）靜能總的內(nèi)部能量（internalenergy）包括：1、物質(zhì)內(nèi)部分子熱運(yùn)動能量2、物質(zhì)分子和原子的內(nèi)聚能(cohesionenergy)3、原子內(nèi)部的電子激發(fā)能(excitedenergy)4、核內(nèi)結(jié)合能(nuclearbondenergy)上述各種能量占總靜能的1％例外：

，99％的能量不為人所知，不能被利用！討論大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量73四、相對論的動量能量關(guān)系式大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量74五、光子對于光子，靜質(zhì)量為零,設(shè)光子能量大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量75[例4-10]兩全同粒子以相同的速率相向運(yùn)動，碰后復(fù)合。求：復(fù)合粒子的速度和質(zhì)量解：設(shè)復(fù)合粒子質(zhì)量為M

速度為由能量（質(zhì)量）守恒>損失的動能部分地轉(zhuǎn)換成靜能。碰撞過程，動量守恒大學(xué)物理學(xué)：相對論動量和能量76§4.6角動量與角動量定理大學(xué)物理學(xué)：角動量與角動量定理77一、力矩(Torque)力是物體運(yùn)動狀態(tài)改變的原因；力可使物體產(chǎn)生平動或轉(zhuǎn)動。平動力轉(zhuǎn)動？力矩遵從牛頓2nd定律遵從什么規(guī)律？遵從角動量定理大學(xué)物理學(xué)：角動量與角動量定理78d力矩：設(shè)力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)還與力的方向（作用線到轉(zhuǎn)軸的距離）有關(guān)。不僅與力的大小有關(guān)，考慮到力矩與轉(zhuǎn)動的方向，定義：o稱為力對轉(zhuǎn)軸的力矩大學(xué)物理學(xué)：角動量與角動量定理78forFM力對參考點(diǎn)O的力矩：為參考點(diǎn)到力的作用點(diǎn)的有向線段力矩方向由確定。力矩大?。哼@種定義適用于質(zhì)點(diǎn)繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動。大學(xué)物理學(xué)：角動量與角動量定理80rFMzFrOM平面

z軸·二、角動量類似于力矩的定義，可定義質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)的角動量：角動量大小L單位：kgm2/s或Js大學(xué)物理學(xué)：角動量與角動量定理81Ｏ質(zhì)點(diǎn)勻速率圓周運(yùn)動注意：同一質(zhì)點(diǎn)相