第07章01-應力應變狀態(tài)

第4章彎曲內力

王明祿01二月2023第七章應力應變分析強度理論§7–１應力狀態(tài)的概念一、引言軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：

此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)應力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方向面？指明二、一點的應力狀態(tài)1.一點的應力狀態(tài)：通過受力構件一點處各個不同截面上的應力情況。2.研究應力狀態(tài)的目的：找出該點的最大正應力和剪應力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構件破壞原因并進行失效分析。三、研究應力狀態(tài)的方法—單元體法

1.單元體：圍繞構件內一所截取的微小正六面體。xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz

（1）應力分量的角標規(guī)定：第一角標表示應力作用面，第二角標表示應力平行的軸，兩角標相同時，只用一個角標表示。（2）面的方位用其法線方向表示3.截取原始單元體的方法、原則①用三個坐標軸(笛卡爾坐標和極坐標，依問題和構件形狀而定)在一點截取，因其微小，統(tǒng)一看成微小正六面體②單元體各個面上的應力已知或可求；③幾種受力情況下截取單元體方法：2.單元體上的應力分量PMeMePPMeMec)同b)，但從上表面截取Ctssb)橫截面，周向面，直徑面各一對Ba)一對橫截面，兩對縱截面As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA四、應力狀態(tài)分類(按主應力)

1.①主平面：單元體上剪應力為零的面；②主單元體：各面均為主平面的單元體，單元體上有三對主平面；③主應力：主平面上的正應力，用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。旋轉y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy2.應力狀態(tài)按主應力分類：

①只有一個主應力不為零稱單向應力狀態(tài)；②只有一個主應力為零稱兩向應力狀態(tài)(平面應力狀態(tài))；③三個主應力均不為零稱三向應力狀態(tài)(空間應力狀態(tài))；④單向應力狀態(tài)又稱簡單應力狀態(tài)，平面和空間應力狀態(tài)又稱復雜應力狀態(tài)。§7–3

平面應力狀態(tài)分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO規(guī)定：截面外法線同向為正；亦即拉正壓負

ta繞研究對象順時針轉為正；

a逆時針為正。2.任意a角斜截面上的應力sxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx利用三角函數(shù)公式，并注意到化簡得同理：確定正應力極值設α＝α0

時，上式值為零，即3.

正應力極值和方向

由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力所在平面。

所以，最大和最小正應力分別為：主應力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ34.極值切應力：

①令：，可求出兩個相差90o

的

a1，代表兩個相互垂直的極值切應力方位。②極值切應力：③(極值切應力平面與主平面成45o)要求大家必須記住的公式：7.3~7.8思考：極值正應力和極值切應力什么大小關系？主單元體的確定方法1.由極值應力公式求出2個極值應力，加上第三方向上為零的一個應力，即為所求的三個主應力。2.由公式7.5求出，和其垂直的方向即為主應力的方向。3.技巧：須將正應力中代數(shù)值較大的定義為。

(驗證：兩個切應力箭頭相對的象限里是，與其垂直的方向即為。)xx例7.1已知:單元體各側面應力

x=60MPa,xy=20.6MPa,

y=0,xy=-20.6MPa求:(1)=-450斜截面上的應力,(2)主應力和主平面xx30MPa50.6MPa17.20xxx=60MPa,xy=20.6MPa,y=0,yx=-20.6MPa6.4MPa66.4MPa403020單位：MPaasata14.9os3s1s3s1

例7.2

圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應力；②主應力并畫出主單元體；③極值切應力。單元體的兩個相互垂直截面上的正應力之和為常數(shù)xyxy+/2已知：圖示原始單元體求：例7.3[例7.4]求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。解：已知11330=11.98°[練習]求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。解：已知33110=－67.5°[練習]求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。解：已知11330=18.43°解：C點應力狀態(tài)如圖b所示，其拉應力和切應力為：例7.6圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C點=30°截面上的應力。(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xTFTCF

圖示斜截面上應力分量為：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圓軸扭轉時的應力狀態(tài)4)圓軸扭轉時，橫截面為純剪切應力狀態(tài)，最大拉、壓應力在與軸線成±45o斜截面上，它們數(shù)值相等，均等于橫截面上的剪應力；5)對于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉破壞時，通常是橫截面上的最大剪應力使圓軸沿橫截面剪斷；6)對于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉破壞時，通常沿與軸線成45o的螺旋面發(fā)生拉斷。例7.7

分析圓軸扭轉時的應力狀態(tài)。練習：確定下列單元體主平面的位置以及主應力的大小這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓

§7-4二向應力狀態(tài)分析——圖解法

將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加圓心坐標為半徑為RC應力圓的畫法D(sx,txy)D1(sy,tyx)cRADxyoB1BA1A應力圓的畫法步驟:⒈作橫軸為軸，縱軸為軸；⒉作點D和D13.連接DD1交橫軸于C，4.以C為圓心，CD為半徑作圓，即為應力圓。[例1]試用圖解法求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。解：已知50303030取:

連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。5030303011330=18.43°[例2]試用圖解法求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。解：已知取:

連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。202020200=45°201133[練習]試用圖解法求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。解：已知取:

連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。COB1D1D2B21005050COB1D1D2B21005050A1A22011330=22.5°[例5]已知一點處兩個斜截面上