第11壓桿的穩(wěn)定問題

1工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）第二篇材料力學(xué)返回總目錄第11章壓桿的穩(wěn)定問題

2與剛體平衡類似，彈性體平衡也存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定問題。第11章壓桿的穩(wěn)定問題細(xì)長桿件承受軸向壓縮載荷作用時，將會由于平衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，這種失效稱為穩(wěn)定性失效(failurebyloststability)，又稱為屈曲失效(failurebybuckling)。3壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問題4壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問題5桁架中的壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問題6液壓缸頂桿第11章壓桿的穩(wěn)定問題7液壓缸頂桿第11章壓桿的穩(wěn)定問題8火箭發(fā)射架中的壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問題9高壓輸電線路保持相間距離的受壓構(gòu)件第11章壓桿的穩(wěn)定問題10壓桿穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)第11章壓桿的穩(wěn)定問題11工程構(gòu)件穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)第11章壓桿的穩(wěn)定問題12腳手架中的壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問題13壓桿穩(wěn)定的基本概念不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

結(jié)論與討論臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖兩端鉸支壓桿的臨界載荷

歐拉公式第11章壓桿的穩(wěn)定問題返回總目錄14壓桿穩(wěn)定的基本概念第11章壓桿的穩(wěn)定問題返回15

壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念細(xì)長壓桿臨界點(diǎn)平衡的穩(wěn)定性16Δ

壓桿從直線平衡構(gòu)形到彎曲平衡構(gòu)形的轉(zhuǎn)變過程，稱為“屈曲”。由于屈曲，壓桿產(chǎn)生側(cè)向位移，稱為屈曲位移。FPFPFP

壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉

第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念17FPΔOFPFP>FPcrFPcrF′PFP<FPcrΔFP

分叉點(diǎn)(臨界點(diǎn))FPFPFPFP平衡路徑第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念18分叉點(diǎn)FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑

平衡路徑的分叉點(diǎn)：平衡路徑開始出現(xiàn)分叉的那一點(diǎn)。

分叉載荷（臨界載荷）：分叉點(diǎn)對應(yīng)的載荷，用FPcr表示。第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念19平衡構(gòu)形——壓桿的兩種平衡構(gòu)形

(equilibriumconfiguration)FP<FPcr:

直線平衡構(gòu)形FPFP>FPcr:彎曲平衡構(gòu)形

(在擾動作用下)FP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念20FP

FP<FPcr:在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，能夠恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。FPFP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念21FP

FP>FPcr:在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。FPFP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念22壓桿穩(wěn)定的概念 前面各章節(jié)討論了構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度問題。 本章討論受壓桿件的穩(wěn)定性問題。穩(wěn)定性問題的例子平衡形式突然改變喪失穩(wěn)定性失穩(wěn)粗短壓桿FF細(xì)長拉桿細(xì)長壓桿F23平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡壓桿的平衡 穩(wěn)定性當(dāng)F

Fcr

當(dāng)F

Fcr

FFF≥FcrF<Fcr24壓桿的平衡 穩(wěn)定性臨界壓力Fcr當(dāng)Ｆ

Ｆcr時，壓桿的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當(dāng)Ｆ

Ｆcr時，直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的，受干擾后成為微彎平衡狀態(tài)。使直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)的最大壓力，也是在微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力。當(dāng)Ｆ

Ｆcr

當(dāng)Ｆ

Ｆcr

FFF<FcrF≥Fcr25其它結(jié)構(gòu)形式的穩(wěn)定性問題例子Ｆ壓桿彎曲Ｆq薄壁筒受內(nèi)壓薄壁管受扭主壓應(yīng)力方向其它薄壁結(jié)構(gòu)在主壓應(yīng)力方向產(chǎn)生失穩(wěn),情況類似于細(xì)長壓桿。由壓桿穩(wěn)定性概念和臨界壓力定義可知,臨界壓力是穩(wěn)定性計(jì)算的重要依據(jù),其值顯然與外力無關(guān),而與桿的長度、截面大小和形狀及材料和約束有關(guān)。26

當(dāng)壓縮載荷大于一定的數(shù)值時，在任意微小的外界擾動下，壓桿都要由直線的平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形，這一過程稱為屈曲（buckling）或失穩(wěn)（loststability）。對于細(xì)長壓桿，由于屈曲過程中出現(xiàn)平衡路徑的分叉，所以又稱為分叉屈曲（bifurcationbuckling）。

穩(wěn)定的平衡構(gòu)形與不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形之間的分界點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)（criticalpoint）。對于細(xì)長壓桿，因?yàn)閺呐R界點(diǎn)開始，平衡路徑出現(xiàn)分叉，故又稱為分叉點(diǎn)。臨界點(diǎn)所對應(yīng)的載荷稱為臨界載荷（criticalload）或分叉載荷（bifurcationload），用FP表示。

第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念27兩端鉸支壓桿的臨界載荷

歐拉公式第11章壓桿的穩(wěn)定問題返回28第11章壓桿的穩(wěn)定問題兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

從平衡路徑可以看出，當(dāng)w00時FPFPcr。這表明，當(dāng)FP無限接近分叉載荷FPcr時，在直線平衡構(gòu)形附近無窮小的鄰域內(nèi)，存在微彎的平衡構(gòu)形。根據(jù)這一平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程，以及端部約束條件，即可確定臨界載荷。

分叉點(diǎn)FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑29假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問題30M(x)=FPw(x)假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態(tài)。考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問題31微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問題32微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0根據(jù)線性代數(shù)知識，上述方程中，常數(shù)A、B不全為零的條件是他們的系數(shù)行列式等于零：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問題33由此得到臨界載荷最小臨界載荷兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問題34得到屈曲位移函數(shù)w=Asinkx+Bcoskx其中A為未定常數(shù)。這表明屈曲位移是不確定的量。這與開始推導(dǎo)公式時假設(shè)壓桿處于任意微彎狀態(tài)是一致的。

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問題35Fy當(dāng)取n=1

時，由則，撓曲線方程為其中，A為桿中點(diǎn)的撓度。A的數(shù)值不確定。歐拉公式與精確解曲線精確解曲線理想受壓直桿 非理想受壓直桿時，F(xiàn)crF36兩端鉸支的臨界壓力歐拉公式的適用條件：(1)理想壓桿(2)線彈性范圍(3)I取Imin可以看出，臨界壓力與外力無關(guān)，與桿件本身截面慣性矩Ｉ有關(guān)（彎曲），而與桿件長度的平方成反比。桿件在失穩(wěn)臨界時材料處于彈性范圍。要使桿件有足夠的穩(wěn)定性，在工作壓力Ｆ時，應(yīng)滿足：Ｆ≤Ｆcr37不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩(wěn)定問題返回38不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學(xué)平衡方法得到的平衡微分方程和邊界條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達(dá)式亦因此而異，但基本分析方法和分析過程卻是相同的。對于細(xì)長桿，這些公式可以寫成通用形式：這一表達(dá)式稱為歐拉公式。其中l(wèi)為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效長度(effectivelength)；為反映不同支承影響的系數(shù)，稱為長度系數(shù)（coefficientof1ength），可由屈曲后的正弦半波長度與兩端鉸支壓桿初始屈曲時的正弦半波長度的比值確定。第11章壓桿的穩(wěn)定問題不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響39一端自由，一端固定

＝2.0兩端固定＝0.5一端鉸支，一端固定

＝0.7兩端鉸支

＝1.0不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩(wěn)定問題40

需要注意的是,臨界載荷公式只有在壓桿的微彎曲狀態(tài)下仍然處于彈性狀態(tài)時才是成立的。

不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩(wěn)定問題41表14.1

壓桿的長度系數(shù)

4歐拉公式的普遍形式l相當(dāng)長度；長度系數(shù)。42例1 已知:

兩端固支壓桿，E,

I，l。求：臨界壓力。解：lx考察微彎平衡狀態(tài)

x

處截面的彎矩

撓曲線近似微分方程兩端的水平約束力為零vyxFFMeMeFM43

撓曲線近似微分方程xwyxFFMeMe引入記號通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。44xwyxFFMeMe通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。邊界條件為:時，時，將邊界條件代入通解又代入45通解為邊界條件為:時，時，將邊界條件代入通解又代入代入代入通解46最小非零解為代入47例2由壓桿撓曲線的微分方程,導(dǎo)出一端固定、另一端鉸支壓桿的歐拉公式w’’=-——+——(l-x)FwQEIEIxFQylx48k2=——

FEIw’’+k2w=——(l-x)QEI通解加特解:w=Asinkx+Bcoskx+——(l-x)QF49邊界條件x=0時,w=0,w’=0x=l時,v=0得B+—l=0QFAk-—=0QFAsinkl+Bcoskl=0v=Asinkx+Bcoskx+——(l-x)QF50B+—l=0QFAk-—=0QFAsinkl+Bcoskl=0A,B,Q不能都為零，則其系數(shù)行列式必為零01lk0-1sinklcoskl0=051tgkl=kl最小非零解kl=4.49Fcr=———

20.19EIl2

———p2EI(0.7l)252例3材料及橫截面均相同，哪一根最容易失穩(wěn)，哪一根最不容易失穩(wěn)。比較μL(a)5l;(b)4.9l;(c)4.5l;(d)4l;(d)最不易失穩(wěn)53臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

第11章壓桿的穩(wěn)定問題返回54

臨界應(yīng)力與長細(xì)比的概念三類不同壓桿的不同失效形式三類壓桿的臨界應(yīng)力公式第11章壓桿的穩(wěn)定問題臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖與P、s值的確定55

前面已經(jīng)提到歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。這就要求在分叉載荷即臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構(gòu)形時，其橫截面上的正應(yīng)力小于或等于材料的比例極限，即

其中σcr稱為臨界應(yīng)力(criticalstress)；

σp為材料的比例極限。臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

臨界應(yīng)力與長細(xì)比的概念第11章壓桿的穩(wěn)定問題56

長細(xì)比是綜合反映壓桿長度、約束條件、截面尺寸和截面形狀對壓桿分叉載荷影響的量，用表示，由下式確定：

其中，I為壓桿橫截面的慣性半徑，由下式確定：

從上述二式可以看出，長細(xì)比反映了壓桿長度、支承條件以及壓桿橫截面幾何尺寸對壓桿承載能力的綜合影響。臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問題57用長細(xì)比表示的細(xì)長桿臨界應(yīng)力公式臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問題58

歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式由臨界壓力概念和定義，它是保持軸向平衡方式的最大軸向壓力。所以此時仍處于軸向變形情況，其軸向應(yīng)力為：σcr稱為臨界應(yīng)力，λ－柔度臨界應(yīng)力與臨界壓力的歐拉公式是完全等效的。用臨界應(yīng)力表達(dá)更簡單方便591臨界應(yīng)力

歐拉公式

柔度

(長細(xì)比)柔度是壓桿穩(wěn)定問題中的一個重要參數(shù)，它全面反映了壓桿長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。i

慣性半徑柔度的物理意義更明確，臨界應(yīng)力只用一個參數(shù)表達(dá)，桿件的自身柔度決定了其臨界應(yīng)力。602歐拉公式的適用范圍歐拉公式成立的條件為：可以看出：P

只與材料的性質(zhì)有關(guān),滿足上式的壓桿稱為大柔度桿(細(xì)長桿)3直線經(jīng)驗(yàn)公式歐拉公式成立條件等效為:λ≥λP當(dāng)不滿足大柔度桿條件時,材料處于非線彈性,歐拉公式不成立,采用經(jīng)驗(yàn)公式:614壓桿分類不同柔度的壓桿，需應(yīng)用不同的臨界應(yīng)力的公式?？筛鶕?jù)柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細(xì)長桿)

P

的壓桿(2)中柔度桿

P

S

的壓桿(3)小柔度桿(短粗桿)

S

的壓桿直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為滿足強(qiáng)度條件應(yīng)有:所以:經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍是:滿足該條件的稱為中柔度桿62大柔度桿小柔度桿中柔度桿5臨界應(yīng)力總圖S636拋物線經(jīng)驗(yàn)公式拋物線經(jīng)驗(yàn)公式為式中，a1

,b1

是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。

說明若壓桿的局部有截面被削弱的情況，則：進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算時，可忽略若壓桿的局部削 弱，仍用原來截面的面積和慣性矩計(jì)算臨界 應(yīng)力；進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時，應(yīng)按削弱后的面積計(jì)算。64例題

1

兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。試；

2.已知：d=160mm，

E=206GPa,

求：兩根桿的臨界載荷。

1.分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大？

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問題65

1.分析兩根壓桿的臨界載荷

從臨界應(yīng)力總圖可以看出，對于材料相同的壓桿，長細(xì)比越大，臨界載荷越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計(jì)算壓桿的長細(xì)比，長細(xì)比小者，臨界載荷大。臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問題662.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷首先計(jì)算長細(xì)比，判斷屬于哪一類壓桿：Q235鋼p=101二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問題672.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖對于Q235鋼，p=101，二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。

對于兩端鉸支的壓桿，就有第11章壓桿的穩(wěn)定問題682.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa，確定兩根桿的臨界載荷臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

對于Q235鋼，p=101，二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。

對于兩端固定的壓桿，就有第11章壓桿的穩(wěn)定問題69工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）第二篇材料力學(xué)返回總目錄第11章壓桿的穩(wěn)定問題

70

需要注意的是,臨界載荷公式只有在壓桿的微彎曲狀態(tài)下仍然處于彈性狀態(tài)時才是成立的。

不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩(wěn)定問題71表14.1

壓桿的長度系數(shù)

4歐拉公式的普遍形式l相當(dāng)長度；長度系數(shù)。72

歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式由臨界壓力概念和定義，它是保持軸向平衡方式的最大軸向壓力。所以此時仍處于軸向變形情況，其軸向應(yīng)力為：σcr稱為臨界應(yīng)力，λ－柔度臨界應(yīng)力與臨界壓力的歐拉公式是完全等效的。用臨界應(yīng)力表達(dá)更簡單方便731臨界應(yīng)力

歐拉公式

柔度

(長細(xì)比)柔度是壓桿穩(wěn)定問題中的一個重要參數(shù)，它全面反映了壓桿長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。i

慣性半徑柔度的物理意義更明確，臨界應(yīng)力只用一個參數(shù)表達(dá)，桿件的自身柔度決定了其臨界應(yīng)力。742歐拉公式的適用范圍歐拉公式成立的條件為：可以看出：P

只與材料的性質(zhì)有關(guān),滿足上式的壓桿稱為大柔度桿(細(xì)長桿)3直線經(jīng)驗(yàn)公式歐拉公式成立條件等效為:λ≥λP當(dāng)不滿足大柔度桿條件時,材料處于非線彈性,歐拉公式不成立,采用經(jīng)驗(yàn)公式:754壓桿分類不同柔度的壓桿，需應(yīng)用不同的臨界應(yīng)力的公式?？筛鶕?jù)柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細(xì)長桿)

P

的壓桿(2)中柔度桿

P

S

的壓桿(3)小柔度桿(短粗桿)

S

的壓桿直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為滿足強(qiáng)度條件應(yīng)有:所以:經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍是:滿足該條件的稱為中柔度桿76大柔度桿小柔度桿中柔度桿5臨界應(yīng)力總圖S77壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法第11章壓桿的穩(wěn)定問題返回78

本章前面幾節(jié)所討論的壓桿，都是理想化的，即壓桿必須是直的，沒有任何初始曲率；載荷作用線沿著壓桿的中心線；由此導(dǎo)出的歐拉臨界載荷公式只適用于應(yīng)力不超過比例極限的情形。

實(shí)際工程中的壓桿大都不滿足上述理想化的要求。因此，實(shí)際壓桿的設(shè)計(jì)都是以經(jīng)驗(yàn)公式為依據(jù)的，這些經(jīng)驗(yàn)公式是以大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果為基礎(chǔ)建立起來的。

第11章壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

79

穩(wěn)定性設(shè)計(jì)內(nèi)容

安全因數(shù)法與穩(wěn)定性安全條件

穩(wěn)定性設(shè)計(jì)過程壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問題80

壓桿的穩(wěn)定校核工作安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定校核滿足穩(wěn)定性要求時，應(yīng)有:81壓桿穩(wěn)定問題的解題步驟1穩(wěn)定校核問題

1) 計(jì)算

P

，S，；

2) 確定屬于哪一種桿(大柔度，中柔度， 小柔度)；

3) 根據(jù)桿的類型求出cr和Fcr; 4) 計(jì)算桿所受到的實(shí)際壓力F；

5) 校核n=Fcr/F

nst

是否成立。2確定許可載荷 前3步同穩(wěn)定校核問題；

4) FFcr/nst

。新課822確定許可載荷 前3步同穩(wěn)定校核問題；

4) F

Fcr/nst

。

3) 進(jìn)一步求出直徑d(若為圓截面桿)

; 4) 計(jì)算

P

和；求出Fcr：

5) 檢驗(yàn)

P

是否成立。若成立，則結(jié)束;I3截面設(shè)計(jì)問題

1) 計(jì)算實(shí)際壓力F；

2)由于截面末知,無法計(jì)算柔度,可先假設(shè)為大柔度桿，由歐拉公式求出I,即:Fcr=

nstF；83

3) 先假設(shè)為大柔度桿，由歐拉公式求出I,

進(jìn)一步求出直徑d(若為圓截面桿)

; 4) 計(jì)算

P

和；

5) 檢驗(yàn)

P

是否成立。若成立，則結(jié)束;

6)若

P

不成立，則設(shè)為中柔度桿，按經(jīng) 驗(yàn)公式求出

; 8) 計(jì)算S；

9) 檢驗(yàn)

S是否成立。

10)若

S成立，則由求出慣性半徑i,

再求出直徑d(若為圓截面桿)，結(jié)束。84例題

2已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235鋼E＝205GPa,FP＝150kN,[n]st=1.8

校核:穩(wěn)定性是否安全？正視圖俯視圖壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問題85解：壓桿在正視圖平面內(nèi)，兩端約束為鉸支,屈曲時橫截面將繞z軸轉(zhuǎn)動：y=yl/iy,Iz=bh3/12Iy=hb3/12z=132.6y=99.48z=zl/iz,

壓桿在俯視圖平面內(nèi)，兩端約束為固定端,屈曲時橫截面將繞y軸轉(zhuǎn)動：因此，壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲。壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問題86工作安全因數(shù)為Iz=bh3/12z=132.6z=zl/iz,因此，壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲。壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問題87nw>[n]st=1.8

因此，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。工作安全因數(shù)為壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問題88壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

已知：在如圖所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為No.l4普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為

d＝20mm，二者材料均為

Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知FP＝25kN，l1＝1.25m，l2＝0.55m，s＝235MPa。強(qiáng)度安全因數(shù)ns＝1.45，穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st＝1.8。例題

3

校核:此結(jié)構(gòu)是否安全？

第11章壓桿的穩(wěn)定問題89壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：在給定的結(jié)構(gòu)中共有兩個構(gòu)件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強(qiáng)度問題；桿CD承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問題。

1.大梁AB的強(qiáng)度校核

大梁AB在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，其上的彎矩和軸力分別為

第11章壓桿的穩(wěn)定問題90壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：1.大梁AB的強(qiáng)度校核由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為

Wz=102cm3=102103mm3；A＝21.5cm2＝21.5102mm2

由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力第11章壓桿的穩(wěn)定問題91壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：1.大梁AB的強(qiáng)度校核

由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力第11章壓桿的穩(wěn)定問題92壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：1.大梁AB的強(qiáng)度校核由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力Q235鋼的許用應(yīng)力

max略大于[]，但（max一[]）100％/[]＝0.7％＜5％，在工程上仍認(rèn)為是安全的。

第11章壓桿的穩(wěn)定問題93壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力

因?yàn)槭菆A截面桿,故慣性半徑

第11章壓桿的穩(wěn)定問題94壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束，＝1.0，所以

這表明，壓桿CD為細(xì)長桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。第11章壓桿的穩(wěn)定問題95壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

這表明，壓桿CD為細(xì)長桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。第11章壓桿的穩(wěn)定問題96壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

這表明，壓桿CD為細(xì)長桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。于是，壓桿的工作安全因數(shù)

第11章壓桿的穩(wěn)定問題97壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。上述兩項(xiàng)計(jì)算結(jié)果表明，整個結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性都是安全的。

第11章壓桿的穩(wěn)定問題98例3 已知:

活塞直徑D=65mm，p=求：活塞桿直徑d。解：這是截面設(shè)計(jì)問題。臨界壓力的最大值為先假設(shè)為大柔度桿Pp1.2MPa,l=1250mm,45鋼，sp=220MPa,

E=210GPa,

nst=6?；钊麠U所受壓力用歐拉公式計(jì)算臨界壓力99解：這是截面設(shè)計(jì)問題。臨界壓力的最大值為先假設(shè)為大柔度桿Pp活塞桿所受壓力用歐拉公式計(jì)算臨界壓力活塞桿可簡化為兩端鉸支桿取100活塞桿可簡化為兩端鉸支桿取根據(jù)求出的d計(jì)算柔度計(jì)算

1

因?yàn)?，是大柔度桿。以上計(jì)算正確。101例１ＦＡＢＣ30°L圖示簡單桁架Q235鋼材,許用應(yīng)力[σ]=160MPa,a=304MPa,b=1.12MPa,AC桿直徑d1=30mm,BA桿直徑d2=50mm,L=1m,彈性模量Ｅ＝200GPa,σP=200MPa,σs=235MPa穩(wěn)定安全系數(shù)nst=5試求許可載荷。解：由結(jié)點(diǎn)Ａ平衡得到：由ＡＣ桿的強(qiáng)度條件：102由ＡＣ桿的強(qiáng)度條件：ＦＡＢＣ30°LAC桿穩(wěn)定性計(jì)算：λS

≤λ≤λP中柔度桿許可載荷：[Ｆ]＝56.52KN103例2qL1L2hbdABC圖示結(jié)構(gòu),AB桿為矩形截,h=2b=10cm,許用應(yīng)力[σ]=160MPa,BC直徑d=30mm,材料為優(yōu)質(zhì)碳鋼,a=461MPa,b=2.568MPa,E=200GPa,σp=280MPa,σs=306MPa,L1=1m,L2=2m,nst=5,試求許可載荷q。解此例為梁、桿組合靜不定結(jié)構(gòu)FNFNL2L1q取相當(dāng)系統(tǒng)如圖示變形協(xié)調(diào)關(guān)系為：104qL1L2hbdABC(1)梁的強(qiáng)度計(jì)算，作彎矩圖0.5q0.28q(彎矩圖)(2)壓桿穩(wěn)定計(jì)算（為兩端鉸支）大柔度桿105qL1L2hbdABC大柔度桿由梁的強(qiáng)度條件得到的許可載荷為：所以許可載荷是：106

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題返回107

結(jié)論與討論穩(wěn)定設(shè)計(jì)的重要性影響壓桿承載能力的因素提高壓桿承載能力的主要途徑穩(wěn)定設(shè)計(jì)中需要注意的幾個重要問題第11章壓桿的穩(wěn)定問題

要正確應(yīng)用歐拉公式108

穩(wěn)定設(shè)計(jì)的重要性

由于受壓桿的失穩(wěn)而使整個結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌，不僅會造成物質(zhì)上的巨大損失，而且還危及人民的生命安全。在19世紀(jì)末，瑞士的一座鐵橋，當(dāng)一輛客車通過時，橋梁桁架中的壓桿失穩(wěn)，致使橋梁發(fā)生災(zāi)難性坍塌，大約有200人遇難。加拿大和俄國的一些鐵路橋梁也曾經(jīng)由于壓桿失穩(wěn)而造成災(zāi)難性事故。

雖然科學(xué)家和工程師早就針對這類災(zāi)害進(jìn)行了大量的研究，采取了很多預(yù)防措施，但直到現(xiàn)在還不能完全制止這種災(zāi)害的發(fā)生。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題109

影響壓桿承載能力的因素

影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素

一般情形下，控制構(gòu)件強(qiáng)度的因素主要是個別危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力、危險(xiǎn)面的幾何形狀和尺寸。

而壓桿喪失穩(wěn)定，由直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，這一過程不是某個截面或某幾個截面的行為，而是壓桿的一種整體行為。

與梁的位移形成過程相似，壓桿的屈曲過程是壓桿所有橫截面彎曲變形的累加結(jié)果。所以，個別截面的削弱對于壓桿臨界載荷的數(shù)值影響不大。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題110

兩端鉸支的壓桿，若在某一截面處開一小孔，對強(qiáng)度和穩(wěn)定性將會產(chǎn)生什么影響？

影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題111影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題112

影響壓桿承載能力的因素

對于細(xì)長桿，其臨界載荷為

所以，影響承載能力的因素較多。臨界載荷不僅與材料的彈性模量E有關(guān)，而且與長細(xì)比有關(guān)。長細(xì)比包含了截面形狀、幾何尺寸以及約束條件等多種因素。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題113

影響壓桿承載能力的因素

對于中長桿，臨界載荷為因而影響其承載能力的主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長細(xì)比，當(dāng)然還有壓桿的橫截面積。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題114

影響壓桿承載能力的因素

對于粗短桿,因?yàn)椴话l(fā)生屈曲，而只發(fā)生屈服或破壞，故有

因而臨界載荷主要取決于材料的屈服強(qiáng)度和桿件的橫截面積。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題115

首先，只有細(xì)長桿才能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算其臨界載荷。所謂細(xì)長桿，不能只看壓桿的長度，而要綜合考慮長度、約束性質(zhì)以及截面的慣性矩。也就是要根據(jù)長細(xì)比和材料的性能判斷是不是細(xì)長桿。

其次，要正確確定橫截面的慣性矩。為此，必須判斷屈曲時．壓桿的橫截面將繞哪一根慣性主軸轉(zhuǎn)動。

要正確應(yīng)用歐拉公式

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題116I如何確定？

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題117兩端球鉸約束的壓桿，橫截面有如下不同形式，請分析確定臨界應(yīng)力時，慣性矩I應(yīng)該怎樣確定？

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題118

首先，要正確進(jìn)行受力分析，判斷哪些構(gòu)件受壓；對于受壓桿，特別是細(xì)長壓桿，必然存在穩(wěn)定性問題。

其次，要根據(jù)約束性質(zhì)，以及截面的幾何形狀和尺寸，確定壓桿的長細(xì)比。

然后，要根據(jù)長細(xì)比的大小，正確區(qū)分三類不同壓桿，分別采用相應(yīng)的公式計(jì)算其臨界載荷。

需要特別指出的是：屈曲失效與強(qiáng)度和剛度失效有著本質(zhì)上的差異，前者失效時的載荷遠(yuǎn)低于后者，而且往往是突發(fā)性的，因而常常造成災(zāi)難性后果。

穩(wěn)定設(shè)計(jì)中需要注意的幾個重要問題

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題119

為了提高壓桿承載能力，防止屈曲失效，必須綜合考慮桿長、支承性質(zhì)、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。

提高壓桿承載能力的主要途徑

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題120盡量減小壓桿長度

對于細(xì)長桿，其臨界載荷與桿長平方成反比。因此，減小壓桿長度，可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小壓桿長度、提高壓桿承載能力的目的。

圖示的兩種桁架，其中的①、④桿均為壓桿，但是左圖中①、④桿的長度大于右圖中①、④桿的長度。所以，右圖中桁架的承載能力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于左圖中的桁架。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題121增強(qiáng)支承的剛性

支承的剛性越大，壓桿長度系數(shù)μ值越低，臨界載荷也就越大。例如，將兩端鉸支的細(xì)長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將增加數(shù)倍。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題122合理選擇截面形狀

當(dāng)壓桿兩端在各個方向上都具有相同的約束條件時，壓桿將在剛度最小的主軸平面內(nèi)屈曲。這時如果只增加截面某個方向的慣性矩（例如，增加矩形截面高度），并不能提高壓桿的承載能力。最經(jīng)濟(jì)的辦法是將截面設(shè)計(jì)成中空的，并且盡量使截面在各個方向上的慣性矩都相等，也就是使Iy=Iz。從這一角度考慮，對于一定的橫截面積，正方形截面或圓截面比矩形截面好；空心正方形或圓環(huán)形截面比實(shí)心截面好。

當(dāng)壓桿端部在不同的方向上具有不同的約束條件時，應(yīng)采用最大與最小主慣性矩不等的截面（例如矩形截面），并使壓桿在慣性矩較小的方向具有較大剛性的約束，盡量使壓桿在兩個主慣性矩方向的長細(xì)比相互接近。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題123合理選用材料

在其他條件均相同的情形下，選用彈性模量E數(shù)值大的材料，可以提高大長細(xì)比壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強(qiáng)度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對于細(xì)長鋼制壓桿，若選用高強(qiáng)度鋼，對壓桿臨界載荷的影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費(fèi)。但是，對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷與材料的比例極限和屈服強(qiáng)度有關(guān)，這時選用高強(qiáng)度鋼會使臨界載荷有所提高。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問題1241選擇合理的截面形狀截面的慣性矩

I越大，或慣性半徑i

越大,就越不容易失穩(wěn)，即穩(wěn)定性越好。所以，應(yīng)選擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使I

或i

較大125各縱向平面內(nèi)的約束情況相同時應(yīng)使對各形心軸的I

或i

接近相等。兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的約束情況不相同時應(yīng)使在兩個形心主慣性平面內(nèi)的柔度接近相等.所以，應(yīng)選擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使I

或i

較大126兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的約束情況不相同時應(yīng)使在兩個形心主慣性平面內(nèi)的柔度接近相等.1272改變壓桿的約束條件約束越強(qiáng)，越不容易失穩(wěn)128第12章A

動載荷與疲勞強(qiáng)度概述(1)

返回總目錄工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）第二篇材料力學(xué)129第12章A動載荷與疲勞強(qiáng)度概述(1)

本書前面幾章所討論的都是靜載荷作用下所產(chǎn)生的變形和應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為靜載應(yīng)力（staticalstresses），簡稱靜應(yīng)力。靜應(yīng)力的特點(diǎn)：一是與加速度無關(guān)；二是不隨時間的改變而變化。

工程中一些高速旋轉(zhuǎn)或者以很高的加速度運(yùn)動的構(gòu)件，以及承受沖擊物作用的構(gòu)件，其上作用的載荷，稱為動載荷(dynamicalload)。構(gòu)件上由于動載荷引起的應(yīng)力，稱為動應(yīng)