計量經濟學第四章 放寬基本假設的模型-異方差

《計量經濟學》《Econometrics》

《經濟計量學》1第四章經典單方程計量經濟學模型：放寬基本假定的模型基本假定違背：不滿足基本假定的情況，主要包括：（1）隨機誤差項序列存在異方差性；（2）隨機誤差項序列存在序列相關性；（3）解釋變量之間存在多重共線性；（4）解釋變量是隨機變量且與隨機誤差項相關；此外：（5）模型設定有偏誤（6）解釋變量的方差不隨樣本容量的增加而收斂

計量經濟檢驗：對模型基本假定的檢驗本章主要學習：前4類24.1異方差性一、異方差的概念二、異方差的類型三、實際經濟問題中的異方差性四、異方差性的后果五、異方差性的檢驗六、異方差的修正七、案例對于模型如果出現(xiàn)即對于不同的樣本點，隨機誤差項的方差不再是常數，而互不相同，則認為出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。

一、異方差的概念二、異方差的類型

同方差性假定：i2=常數f(Xi)

異方差時：i2=f(Xi)異方差一般可歸結為三種類型：

(1)單調遞增型：i2隨X的增大而增大

(2)單調遞減型：i2隨X的增大而減小

(3)復雜型：i2與X的變化呈復雜形式

三、實際經濟問題中的異方差性

例4.1.1：截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為

Yi=0+1Xi+iYi:第i個家庭的儲蓄額Xi:第i個家庭的可支配收入

高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規(guī)律性，差異較小i的方差呈現(xiàn)單調遞增型變化

例4.1,2，以絕對收入假設為理論假設、以截面數據為樣本建立居民消費函數：

Ci=0+1Yi+I將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數為樣本觀測值。

一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數多，兩端收入組人數少。而人數多的組平均數的誤差小，人數少的組平均數的誤差大。

所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的不同而不同，往往引起異方差性。

例4.1.3，以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產函數模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei被解釋變量：產出量Y解釋變量：資本K、勞動L、技術A，那么：每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產出量的影響被包含在隨機誤差項中。每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產出量的影響程度不同，造成了隨機誤差項的異方差性。隨機誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復雜型。

三、實際經濟問題中的異方差性總結一般經驗告訴我們，對于采用截面數據作為樣本的計量經濟學問題，由于在不同樣本點上解釋變量以外的其他因素差異較大，所以往往存在異方差四、異方差性的后果

計量經濟學模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計模型參數，會產生下列不良后果：

1、參數估計量非有效OLS估計量仍然具有無偏性，但不具有有效性

因為在有效性證明中利用了

E(’)=2I

而且，在大樣本情況下，盡管參數估計量具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。

2、變量的顯著性檢驗失去意義

變量的顯著性檢驗中，構造了t統(tǒng)計量

其他檢驗也是如此。3、模型的預測失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計性質；

所以，當模型出現(xiàn)異方差性時，參數OLS估計值的變異程度增大，從而造成對Y的預測誤差變大，降低預測精度，預測功能失效。例題多選題：異方差有哪些類型?A.單調遞增型B.單調遞減型C.復雜型D.曲線型14答案：ABCD例題單選題：下列哪項不是異方差造成的后果?A.OLS估計量不滿足有效性B.OLS估計量是有偏的C.模型的預測失效D.通常的t檢驗不再服從t分布15答案：BE.OLS估計量不滿足最佳線性無偏性例題分析題：已知模型Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+μi其中，Yi為某公司在第i個地區(qū)的銷售額，Xi1為該地區(qū)的總收入，Xi2為該公司在該地區(qū)投入的廣告費用。試分析該模型的隨機干擾項是否有可能存在異方差。16提示2：銷售收入與除解釋變量之外的什么因素相關？提示1：什么類型的數據容易產生異方差？地區(qū)特點：人口規(guī)模、消費結構…

五、異方差性的檢驗檢驗思路：由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差。那么：檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關性及其相關的“形式”。

問題：用什么來表示隨機誤差項的方差？

五、異方差性的檢驗幾種異方差的檢驗方法：1、圖示法（1）用X-Y的散點圖進行判斷看是否存在明顯的散點擴大、縮小或復雜型趨勢（即不在一個固定的帶型域中）

五、異方差性的檢驗看是否形成一斜率為零的直線2、帕克(Park)檢驗與戈里瑟(Gleiser)檢驗

基本思想:

嘗試建立方程：或選擇關于變量X的不同的函數形式，對方程進行估計并進行顯著性檢驗，如果存在某一種函數形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。如：帕克檢驗常用的函數形式：或

若在統(tǒng)計上是顯著的，表明存在異方差性。3、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗

G-Q檢驗以F檢驗為基礎，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。G-Q檢驗的思想：先按某一解釋變量將樣本排序，然后把樣本一分為二，對子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個子樣的殘差平方和之比構造統(tǒng)計量進行異方差檢驗。由于該統(tǒng)計量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠大于1；反之就會等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。

4、懷特（White）檢驗

懷特檢驗不需要排序，且適合任何形式的異方差

懷特檢驗的基本思想與步驟（以二元為例）：然后做如下輔助回歸

可以證明，在同方差假設下：(*)R2為(*)的可決系數，n為樣本容量，h為(*)式解釋變量的個數，表示漸近服從某分布。例題單選題：下列哪種方法不能用來檢驗異方差?A.懷特檢驗B.G-Q檢驗C.圖示法D.DW檢驗24答案：D回憶一下各個檢驗方法的特點，適用范圍

六、異方差的修正

模型檢驗出存在異方差性，可用加權最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）進行估計。

加權最小二乘法的基本思想：對原模型加權，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計其參數。

在采用OLS方法時:

對較小的殘差平方ei2賦予較大的權數，對較大的殘差平方ei2賦予較小的權數。根據加權最小二乘法的公式：當權數恒等于1時，就等效于普通最小二乘法。從此意義上說，加權最小二乘法也稱為廣義最小二乘法（GeneralizedLeastSquares,GLS）

六、異方差的修正注意：在實際操作中人們通常采用如下的經驗方法：不對原模型進行異方差性檢驗，而是直接選擇加權最小二乘法，尤其是采用截面數據作樣本時。如果確實存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權最小二乘法等價于普通最小二乘法七、案例--中國農村居民人均消費函數

例4.1.4

中國農村居民人均消費支出主要由人均純收入來決定。農村人均純收入包括(1)從事農業(yè)經營的收入，(2)包括從事其他產業(yè)的經營性收入(3)工資性收入、(4)財產收入(4)轉移支付收入?？疾鞆氖罗r業(yè)經營的收入(X1)和其他收入(X2)對中國農村居民消費支出(Y)增長的影響:普通最小二乘法的估計結果：

異方差檢驗進一步的統(tǒng)計檢驗

(1)G-Q檢驗

將原始數據按X2排成升序，去掉中間的7個數據，得兩個容量為12的子樣本。對兩個子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：

子樣本1：(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648子樣本2：(0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.2729計算F統(tǒng)計量：

F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31

查表給定=5%，查得臨界值F0.05(9,9)=2.97判斷

F>F0.05(9,9)

否定兩組子樣方差相同的假設，從而該總體隨機項存在遞增異方差性。（2）懷特檢驗

作輔助回歸:

（-0.04）(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47)(-1.11) R2=0.4638似乎沒有哪個參數的t檢驗是顯著的。但

nR2

=31*0.4638=14.38=5%下，臨界值20.05(5)=11.07，拒絕同方差性

去掉交叉項后的輔助回歸結果

(1.36)(-0.64)(0.64)(-2.76)(2.90)R2=0.4374X2項與X2的平方項的參數的t