第3章 DC-DC變換器動(dòng)態(tài)建模

第3章DC-DC變換器動(dòng)態(tài)建模3.1狀態(tài)平均的概念3.2Buck-Boost變換器的交流模型3.3Buck變換器交流模型3.4平均開關(guān)模型3.5調(diào)制器的模型3.6模型驗(yàn)證3.1狀態(tài)平均的概念DC/DC變換器的動(dòng)態(tài)建模中，一般會忽略一些次要因數(shù)（如開關(guān)頻率諧波與其邊帶等），以簡化模型，由于DC/DC變換器存在非線性元件（功率開關(guān)、二極管等），因此是非線性系統(tǒng)。但在研究某一穩(wěn)定工作點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，仍可以把它當(dāng)成線性系統(tǒng)來近似，這就要用到狀態(tài)平均的概念。定義開關(guān)周期平均算子為

對于電感來說，描述電感特性的微分方程為通過積分可以得到

即 而因此

即電感電流和電壓的開關(guān)周期平均值同樣也滿足電感特性的微分方程。當(dāng)電感電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，其電流的開關(guān)周期平均值恒定，則電壓的開關(guān)周期平均值為零，但電壓的瞬時(shí)值并不為零。同樣，電容電流和電壓的開關(guān)周期平均值同樣也滿足電容特性的微分方程，即當(dāng)電容電壓達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，其電壓的開關(guān)周期平均值恒定，則電流的開關(guān)周期平均值為零，但電流的瞬時(shí)值并不為零。3.2Buck-Boost變換器的交流模型大信號模型圖3.1Buck-Boost電路在開關(guān)T閉合階段[t，t+ton]，電感電壓和電容電流分別為在開關(guān)T斷開階段[t+ton，t+T]，電感電壓和電容電流分別為

則電感電壓的開關(guān)周期平均值為因此上述最后三個(gè)方程即為控制理論中的狀態(tài)方程和輸出方程?？梢娪捎谄湎禂?shù)α和α’都為時(shí)間的函數(shù)，所以均為非線性方程，不易求解。2.線性化若變換器工作在某一靜態(tài)工作點(diǎn)，α、<vg(t)>、<iL(t)>、<vL(t)>、<iC(t)>、<vC(t)>、<ig(t)>的穩(wěn)態(tài)值分別為D、Vg、IL、VL、IC、VC、Ig。由于穩(wěn)態(tài)時(shí)電感電流的開關(guān)周期平均值恒定，則有VgD+VCD’=0，即由于穩(wěn)態(tài)時(shí)電容電壓的開關(guān)周期平均值恒定，則有-ILD’-VC/R=0，即同樣也存在Ig=ILD若在穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近存在輸入電壓vg和占空比α的擾動(dòng)，即則會引起各狀態(tài)變量的微小變動(dòng)，即

于是便可得到忽略上式中中的小信號二次項(xiàng)，考慮穩(wěn)態(tài)平衡方程，則通過上式可得線性常微分方程同理可得另外兩個(gè)線性常微分方程

3.小信號交流等效電路上述三個(gè)微分方程可用下面三個(gè)對應(yīng)的子電路來表達(dá)。由于受控源和構(gòu)成的兩端口網(wǎng)絡(luò)以及和分別都符合理想變壓器的特征，為了進(jìn)一步觀察他們之間的相互聯(lián)系，可用變壓器耦合的小信號交流模型來表達(dá)。三個(gè)子電路

(a)對應(yīng)輸入電流方程(b)對應(yīng)電感方程(c)對應(yīng)電容方程圖3.2三個(gè)子電路

圖3.3Buck-Boost變換器小信號交流等效電路由此可以推導(dǎo)出僅考慮輸入電壓波動(dòng)時(shí)的傳遞函數(shù)，以及僅考慮占空比波動(dòng)時(shí)的傳遞函數(shù)。僅考慮輸入電壓波動(dòng)時(shí)，為零，則受控電流源和受控電壓源都為零，將兩邊電路經(jīng)過繞組歸算后連接到中間回路，則等效電路如圖3.4所示，由此可以推導(dǎo)出圖3.4僅考慮輸入電壓波動(dòng)時(shí)的等效電路圖3.5僅考慮占空比波動(dòng)時(shí)的等效電路僅考慮占空比波動(dòng)時(shí)，為零，則左邊變壓器的副邊電壓為零，將電感L和受控電壓源歸算到右邊變壓器的副邊，并轉(zhuǎn)換成電流源形式，則等效電路如圖3.5所示，由此可以推導(dǎo)出（其中公式，，D+D’=1）3.3Buck變換器交流模型圖3.6Buck電路由電路可得下列微分方程：由微分方程可得如下穩(wěn)態(tài)值：Vc=αVg，IL=Vc/R，Ig=αIL?？紤]平衡點(diǎn)附近的擾動(dòng)情況，且忽略小信號二次項(xiàng)，則有表達(dá)小信號狀態(tài)下的微分方程和等效電路：圖3.7Buck變換器小信號交流等效電路則有3.4平均開關(guān)模型基于數(shù)學(xué)方法的交流模型變換方法推導(dǎo)比較麻煩，而平均開關(guān)模型方法，將能提供一種便捷的變換方法?；舅枷胧?，任何一種DC/DC變換電路都可以分割成兩個(gè)子電路，一個(gè)為定長線性子電路，另一個(gè)是開關(guān)網(wǎng)絡(luò)，如圖3.8所示，其中的關(guān)鍵問題是將非線性的開關(guān)網(wǎng)絡(luò)子電路變成線性定常電路。圖3.8開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck-Boost變換電路1.基于平均開關(guān)模型的Buck-Boost小信號交流模型

將Buck-Boosk電路改畫成基于開關(guān)網(wǎng)絡(luò)的形式，如圖3.8所示，則開關(guān)網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)變量之間關(guān)系如下：由此可得

用受控源來取代開關(guān)網(wǎng)絡(luò)，則得到如圖3.9所示的開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck-Boost等效電路

圖3.9開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck-Boost等效電路對受控電壓源<v1(t)>求微分可得到其小信號表達(dá)式即

同理可得

圖3.10開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck-Boost小信號交流等效電路若僅考慮對輸出的影響，并將電感分別折算到變壓器的原副邊，則等效電路如圖3.11所示。由于

，所以將原邊電感折算到副邊后的電感值為L(1+D’/D)(D2/D’2)=LD/D’2，原來的副邊電感為L(1+D/D’)=L/D’，因此將原邊電感折算到副邊后副邊總的電感量為LD/D’2+L/D’=L/D’2，而將折算到變壓器副邊的值為(D/D’)，由此導(dǎo)出的與前面導(dǎo)出的結(jié)果相同。若僅考慮對輸出的影響，則等效電路如圖3.11所示，將變壓器原邊的受控電壓源和電感折算到變壓器的副邊，其結(jié)果與前面導(dǎo)出的結(jié)果相同。圖3.11開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck-Boost小信號交流等效電路(）2.基于平均開關(guān)模型的Buck小信號交流模型

圖3.12開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck變換電路由圖3.12所示的開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck變換電路可知，存在下列方程式通過求微分可得：由此可得開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck-Boost小信號交流等效電路如下圖所示，可見該電路與前面推導(dǎo)的Buck變換器小信號交流等效電路完全一致。圖3.13開關(guān)網(wǎng)絡(luò)形式的Buck小信號交流等效電路3.5調(diào)制器的模型調(diào)制器的輸入信號是補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)（電壓調(diào)節(jié)器）的輸出電壓vk，輸出為占空比α

，由于<α>=<vk>/VM，VM為控制電壓vk的最大值，可以得到其直流和小信號模型如下所示，所以調(diào)制模型是線性模型

D=Vk/VM

以BUCK電路為例，進(jìn)行模型驗(yàn)證，在BUCK電路中，

C=10u，L=1mH，Vg=30V，占空比初始值為0.4，5ms時(shí)切換為0.3，圖3.14中紅色為實(shí)際電路中的負(fù)載電壓波形，黃色為小