第3章 線性系統(tǒng)的時域分析partB

第3章

線性系統(tǒng)的時域分析廣西大學電氣工程學院內(nèi)容提要1.什么是時域分析2.典型輸入信號3.時域響應(yīng)4.穩(wěn)定性5.性能指標----暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)6.一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)7.高階系統(tǒng)及其降階

8.線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

9.根軌跡法10.零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響穩(wěn)態(tài)性能指標由于存在慣性，系統(tǒng)在外作用下要經(jīng)歷一段暫態(tài)過程。穩(wěn)定的系統(tǒng)經(jīng)過一段時間后就會進入穩(wěn)態(tài)?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度是其重要的技術(shù)指標。穩(wěn)態(tài)誤差必須在允許范圍之內(nèi)，控制系統(tǒng)才有使用價值。在控制理論中，穩(wěn)態(tài)誤差是指由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)造成的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實際值之差，而不考慮元件因素造成的誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的定義一般定義誤差為E(s)=R(s)–H(s)Y(s)。由于輸入包括期望值和擾動，穩(wěn)態(tài)誤差可以分為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差兩部分。一般不考慮噪聲和擾動時，穩(wěn)態(tài)誤差就是指給定穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的定義給定穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)擾動穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)其中穩(wěn)態(tài)誤差的定義計算穩(wěn)態(tài)誤差一般采用拉普拉斯變換的終值定理?？偟姆€(wěn)態(tài)誤差為其中沒有擾動時的誤差為擾動造成的誤差為關(guān)于反饋環(huán)節(jié)再解釋反饋的作用：在控制過程中對輸出不斷測量，并與給定進行比較，利用放大后的偏差產(chǎn)生控制作用，以減小或消除誤差。為使反饋信號能準確地反映被控制量，應(yīng)該只用比例環(huán)節(jié)作為反饋通道，通常為單位反饋或進行標度變換的轉(zhuǎn)換函數(shù)。但有時為了將輸出量的噪聲抑制到輸入端可接受的水平，則需在反饋通道中加入一定帶寬的濾波器。系統(tǒng)類型開環(huán)傳遞函數(shù)事不過三，三次沒辦成的事情已超出了自己的能力。

系統(tǒng)分別稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)。給定穩(wěn)態(tài)誤差對開環(huán)傳遞函數(shù)在沒有擾動時，利用終值定理得誤差為可見，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于開環(huán)傳遞函數(shù)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)、開環(huán)增益K、輸入信號。終值定理成定的條件條件：sE(s)的收斂域包含s平面的整個右半平面，即sE(s)的極點除坐標原點外均位于s平面的左半平面。若不滿足這個條件表明e(t)是不收斂的。例：開環(huán)傳遞函數(shù)是,輸入是求穩(wěn)態(tài)誤差。不符合條件。實際上：0輸入為單位階躍信號時給定穩(wěn)態(tài)誤差輸入為單位階躍信號時，對于0型系統(tǒng)對于Ⅰ型系統(tǒng)對于Ⅱ型系統(tǒng)要減小/消除穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增加開環(huán)積分環(huán)節(jié)和增加開環(huán)增益，但會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輸入為單位斜坡信號時給定穩(wěn)態(tài)誤差輸入為單位斜坡信號時，對于0型系統(tǒng)對于Ⅰ型系統(tǒng)對于Ⅱ型系統(tǒng)要減小/消除穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增加開環(huán)積分環(huán)節(jié)和增加開環(huán)增益，但會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輸入為單位拋物線信號時給定穩(wěn)態(tài)誤差輸入為單位拋物線信號時，對于0型系統(tǒng)對于Ⅰ型系統(tǒng)對于Ⅱ型系統(tǒng)要減小/消除穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增加開環(huán)積分環(huán)節(jié)和增加開環(huán)增益，但會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。課堂練習一下已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。擾動穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)且沒有s=0的零點，即則輸入為0時，擾動造成的穩(wěn)態(tài)誤差為擾動穩(wěn)態(tài)誤差如果擾動為單位階躍信號，則如果控制器中含積分環(huán)節(jié)，則可見，必須在控制器中設(shè)置積分環(huán)節(jié)才可能消除擾動穩(wěn)態(tài)誤差。如果擾動為斜坡信號和加速度信號時又如何？例：求系統(tǒng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差并比較比較下面兩題的結(jié)果：a.設(shè)單位反饋系統(tǒng)中控制器和被控對象的傳遞函數(shù)分別為

b.設(shè)單位反饋系統(tǒng)中控制器和被控對象的傳遞函數(shù)分別為如擾動n(t)是單位階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)，試求系統(tǒng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差。例：求系統(tǒng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差并比較兩種情況下開環(huán)傳函一樣但誤差傳遞函數(shù)不一樣擾動n(t)是單位階躍函數(shù)時當擾動n(t)是斜坡函數(shù)時由此看出，如要使系統(tǒng)在承受斜坡形式擾動時的穩(wěn)態(tài)誤差為常量，控制器中必須有一個串聯(lián)積分，僅在被控對象中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)是達不到目的的。減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施閉環(huán)控制優(yōu)于開環(huán)控制增大控制器開環(huán)增益，但要注意穩(wěn)定性控制器設(shè)置積分環(huán)節(jié)，但不能太多采用串聯(lián)控制抑制內(nèi)回路擾動采用復(fù)合控制閉環(huán)控制優(yōu)于開環(huán)控制(對象參數(shù)有變)開環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差在r(t)=1(t)時K=10，設(shè)Kp=1/KK=10，設(shè)Kp=100/K△K=1，△K/K=10%MATLAB數(shù)值結(jié)果Open_close_loop_compare.mdl增大控制器開環(huán)增益，但要注意穩(wěn)定性r(t)=1.(t)時K=１時輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差K=0.1時K=100時輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差增大控制器開環(huán)增益，但要注意穩(wěn)定性K=0.1,1和100時系統(tǒng)的仿真圖如下K_enlarge.mdl控制器設(shè)置積分環(huán)節(jié)，但不能太多不加積分加一個積分加二個積分穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定考慮無給定R是液阻、C是液槽橫截面積仿真yewei.mdl采用串聯(lián)控制抑制內(nèi)回路擾動某串級直流電機控制系統(tǒng)方框圖如圖，分別是主、副調(diào)控器，為電機傳遞函數(shù)。等效變換采用串聯(lián)控制抑制內(nèi)回路擾動抑制擾動的能力可表示為主副均采用比例調(diào)節(jié)，增益分別為Kp1

和Kp2則主副總增益越大，則串級控制的抗干擾能力越強。一般Kp2>1,所以Kp1.Kp2>Kp1于是仿真比較cascade_control.mdl采用復(fù)合控制按照擾動補償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)：擾動作用下的輸出為誤差為E(s)=-Y(s),如果選擇Gd1(s)=Gd2(s)/Gc(s),可使Y(s)=0,實現(xiàn)了對擾誤差的全補償。

仿真例fuhekz.mdl內(nèi)容提要1.什么是時域分析2.典型輸入信號3.時域響應(yīng)4.穩(wěn)定性5.性能指標----暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)6.一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)7.高階系統(tǒng)及其降階

8.線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

9.根軌跡法10.零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響什么是根軌跡？控制系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點。根軌跡法是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點求解閉環(huán)傳遞函數(shù)極點的一種圖解方法。例如，求如下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)極點：什么是根軌跡？閉環(huán)傳遞函數(shù)為極點為當K接近0時，S1=0，S2=-1，即開環(huán)極點。隨著K的增大，S1減小，S2增大。當K增大到0.25時，S1=S2=－0.5。隨著K增大，S1和S2變?yōu)楣曹椞摳?，并且實部保持為?.5。對于給定的K值，由根軌跡圖可以大略估計閉環(huán)系統(tǒng)極點的位置，從而分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。什么是根軌跡？根軌跡是當開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)（一般是根軌跡增益K1）從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上移動的軌跡。根軌跡方程反映了閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系。根軌跡增益根軌跡方程閉環(huán)特征方程為1+L(s)=0，即：上式可以用幅值條件和相角條件來表示：

如何繪制根軌跡相角條件用于確定s平面上一點是否在根軌跡上，是繪制根軌跡的依據(jù)。幅值條件用于計算根軌跡上的點所對應(yīng)的K1值。K1>0是180?根軌跡：根軌跡增益變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面變化的軌跡稱為常規(guī)根軌跡K1<0是0?根軌跡。如何繪制180度根軌跡規(guī)則一：根軌跡有n條連續(xù)分支規(guī)則二：根軌跡始于開環(huán)極點，止于開環(huán)零點,有(n-m)條根軌跡終止于無窮遠處規(guī)則三：根軌跡對稱于實軸(利用這一規(guī)則，可只求一半)規(guī)則四：實軸上的某一段，若其右邊的開環(huán)零點和開環(huán)極點總數(shù)為奇數(shù)，則該段實軸是根軌跡的一部分。為什么？如何繪制180度根軌跡續(xù)規(guī)則五：兩支根軌跡在實軸或在平面上某處的交點方程為，sd為交點。利用該式可以進行近似計算將得到的根代入1+L(s)=0能夠使K1>0便是分離點。除了確定分離點外，還有分離角,l是分支數(shù)如何繪制180度根軌跡續(xù)規(guī)則六：根軌跡與虛軸的交點可由代入特征方程求出或利用Routh判據(jù)求出規(guī)則七：當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)的分子、分母階次差時，系統(tǒng)閉環(huán)極點之和等于系統(tǒng)開環(huán)極點之和且為常數(shù)。根軌跡向左和向右移動的總量和為0。為何？規(guī)則八：趨向無窮遠處的(n-m)條根軌跡的漸近線與實軸的交角為漸近線匯交于實軸上的坐標為如何繪制180度根軌跡續(xù)規(guī)則九：根軌跡的出射角和入射角：其共軛極點的出射角為，其共軛零點的入射角為例：單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制系統(tǒng)根軌跡。例：單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制系統(tǒng)根軌跡。解：（1）有3條根軌跡分支。起點為極點0，-1，-2，終點為無窮遠處。（2）實軸上的根軌跡為(-∞,-2]，[-1,0]。（3）根軌跡的交點滿足以下方程由于交點在[-1,0]，因此sd=-0.42。例：單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制系統(tǒng)根軌跡。（4）與虛軸的交點。方法1：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s3+3s2+2s+K1=0令s=i，則

-i3-

32+i2+K1=0令實部虛部分別為0，得到與虛軸的交點為例：單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制系統(tǒng)根軌跡。方法2：用Routh穩(wěn)定判據(jù)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s3+3s2+2s+K1=0列出

Routh表

臨界穩(wěn)定狀態(tài)時K1=6。輔助方程例：單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制系統(tǒng)根軌跡。（5）根軌跡的漸近線與實軸的交點為交角為用MATLAB實現(xiàn)根軌跡繪制draw_root_locus.m例：分離點沒在坐標軸上的情況clfg=tf([1],[11060240720163228803840384025601023]);rlocus(g)手工繪制常規(guī)根軌跡的九條規(guī)則簡記1.根軌跡的數(shù)量2.對稱性和連續(xù)性3.根軌跡的起點和終點4.實軸上的根軌跡5.根軌跡的交點6.根軌跡與虛軸的交點7.根之和8.根軌跡的漸近線9.根軌跡的出射角與入射角(一般可以不用)你能畫出開環(huán)傳遞函數(shù)為K1/s的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡嗎？開環(huán)傳遞函數(shù)為K1/s的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡手畫開環(huán)傳遞函數(shù)為K1/s的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)為K(S+1)/(s-2)2的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡手畫開環(huán)傳遞函數(shù)為K(S+1)/(s-2)2的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如何繪制0度根軌跡規(guī)則一、二、三同180度情況規(guī)則四：實軸上的某一段，若其右邊的開環(huán)零點和開環(huán)極點總數(shù)為偶數(shù)，則該段實軸是根軌跡的一部分規(guī)則五同180度情況規(guī)則六同180度情況，但應(yīng)注意此時的閉環(huán)特征方程與180度不一樣規(guī)則七同180度情況如何繪制0度根軌跡續(xù)規(guī)則八：趨向無窮遠處的(n-m)條根軌跡的漸近線與實軸的交角為交于實軸上的坐標為規(guī)則九：根軌跡的出射角和入射角：共軛出射角為共軛入射角為參數(shù)根軌跡根軌跡增益K1從零變化到無窮大時繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。除根軌跡增益K1以外的其它參量從零變化到無窮大時繪制的根軌跡，稱為參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的方法是將系統(tǒng)閉環(huán)特征方程轉(zhuǎn)換為常規(guī)根軌跡方程的形式。參數(shù)根軌跡【步驟】設(shè)變化參數(shù)為A，（1）列出閉環(huán)特征方程：1+L(s)=0；（2）解出參數(shù)A；（3）并進一步變換為；

（4）作出等效單位反饋系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為：例：繪制參數(shù)根軌跡解：閉環(huán)特征方程為

s3+2s2+s+b=0

變換為

b=-(s3+2s2+s)構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)

單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試概略繪制b=0∞時的根軌跡（1）系統(tǒng)有3條根軌跡，始于3個開環(huán)極點：0，-1，-1，均趨于無窮遠處。

例：繪制參數(shù)根軌跡---續(xù)（3）解方程1/s+1/(s+1)+1/(s+1)=0，得到根軌跡的交點sd=-1/3。由幅值條件得到對應(yīng)的b=4/27。（4）與虛軸交點。令s=i，代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，即-i3-22+i+b=0（2）實軸上的根軌跡：[-∞,-1]，[-1,0]。（5）漸近線：例：繪制參數(shù)根軌跡---續(xù)（1）當0<b≤4/27時，閉環(huán)極點落在實軸上，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)過程。（2）當4/27<b≤2時，一對復(fù)數(shù)閉環(huán)極點逐漸向虛軸靠近，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程。（3）當b>2時，有閉環(huán)極點落在右半s平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，階躍響應(yīng)振蕩發(fā)散。滯后系統(tǒng)根軌跡單位負反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為特征多項式為幅值條件：

相角條件：幅值條件多了一因子沿縱軸而變化，且有無窮多條根軌跡。(這與時滯為無窮階系統(tǒng)是一致的)

根靈敏度參數(shù)從標稱值發(fā)生變化時，根軌跡的位置對參數(shù)變化的靈敏度。在量值上可以用隱式函數(shù)求導方式得到：內(nèi)容提要1.什么是時域分析2.典型輸入信號3.時域響應(yīng)4.穩(wěn)定性5.性能指標----暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)6.一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)7.高階系統(tǒng)及其降階

8.線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

9.根軌跡法10.零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響閉環(huán)零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響由對高階系統(tǒng)的響應(yīng)的分析，我們可以知：a.系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于閉環(huán)極點的位置。若閉環(huán)極點位于s平面的左半部分，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈收斂性，系統(tǒng)必穩(wěn)定，b.如果系統(tǒng)的極點均為負實數(shù)，而且無零點，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)一定為非振蕩的，響應(yīng)時間主要取決于距離虛軸最近的極點。若其他極點距虛軸的距離比最近的極點大5倍以上，可以忽略前者對暫態(tài)過程的影響。閉環(huán)零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響c.如果系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導極點(這一點必須事先確認是否符合主導極點存在條件)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量取決于主導極點的衰減指數(shù)，并與其他零極點接近原點或相互接近的程度有關(guān)，而調(diào)節(jié)時間主要取決于主導極點實部。d.如果系統(tǒng)中存在距離非常接近的閉環(huán)極點和零點，其相互距離比其本身的模小一個數(shù)量級以上，則把這一對閉環(huán)零、極點近似為偶極子。一般情況下，近似偶極子對系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。但如果近似的偶極子位置接近坐標原點，其影響往往應(yīng)考慮。但它們并不會影響主導極點的地位。閉環(huán)零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響e.在有共軛復(fù)極點為主導極點的情況下，附加極點大小對系統(tǒng)的影響你能總結(jié)一下嗎？增加一個極點（如圖）其他極點的存在會增大系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度減慢(峰值時間遲后)，超調(diào)量減少，調(diào)節(jié)時間減小；極點離虛軸越近,阻尼越大，超調(diào)量越小。事實上，將原系統(tǒng)傳遞函數(shù)附加的極點寫成時間常數(shù)形式，將其看成一個慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)越大，相當于增加了阻尼，極點離虛軸越近，從而從物理上得到解釋。

閉環(huán)零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響f.在有共軛復(fù)極點為主導極點的情況下,附加零點大小對系統(tǒng)的影響過阻尼欠阻尼其他零點的存在減小系統(tǒng)的阻尼，使響應(yīng)速度加快(峰值時間提前)，超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時間也增加；零點離虛軸越近，阻尼越小，超調(diào)量越大。即使是過阻尼的系統(tǒng)，加入零點后，也可能有超調(diào)。

開環(huán)零、極點分布對根軌跡的影響與閉環(huán)系統(tǒng)性能附加開環(huán)極點對根軌跡的影響附加開環(huán)零點對根軌跡的影響附加開環(huán)偶極子對閉環(huán)根軌跡的影響出現(xiàn)開環(huán)零極點相消時的根軌跡分析需注意的問題附加開環(huán)極點對根軌跡的影響附加開環(huán)極點改變了實軸上根軌跡。開環(huán)極點的引入使根軌跡向右移動對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，系統(tǒng)的快速性變差，加入的極點越靠近原點，這種作用越強。附加開環(huán)零點對根軌跡的影響開環(huán)零點的引入使根軌跡向左移動，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利，零點越靠近原點，這種作用越強。若增加的開環(huán)零點和某個極點重合或距離很近時，構(gòu)成偶極子，則二者作用相互抵消?？梢酝ㄟ^加入開環(huán)零點的方法，抵消有損于系統(tǒng)性能的極點。課后MATLAB作業(yè)分析開環(huán)傳遞函數(shù)增加一個開環(huán)零點后,分幾種情況討論根軌跡的變化，得出相關(guān)結(jié)論。

附加開環(huán)偶極子對閉環(huán)根軌跡的影響由于開環(huán)偶極子中的零點zc與極點pc重合或相近，所以對s平面上某點提供的幅值與幅角相等或相近，即

開環(huán)偶極子不影響遠處根軌跡形狀以及相應(yīng)點處的根增益,但可能影響根軌跡上各點開環(huán)比例系數(shù)(從上面的關(guān)系可以看出)，由此，原點附近的開環(huán)偶極子將影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以將選擇zc/pc>5以上，改善穩(wěn)態(tài)性能。出現(xiàn)開環(huán)零極點相消時的根軌跡分析需注意的問題分析兩個閉環(huán)系統(tǒng)例子，一個H(s)在前向通道中，一個在反饋通道中：兩者的開環(huán)傳遞函數(shù)經(jīng)約分后相同，進行根軌跡分析，結(jié)論是什么？手工分析在K>0時均是穩(wěn)定的

你求一下它們的閉環(huán)傳遞函數(shù)，如何？

出現(xiàn)開環(huán)零極點相消時的根軌跡分析需注意的問題—續(xù)開環(huán)存在開環(huán)零、極點對消的情況下，繪制系統(tǒng)根軌跡以及利用根軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾點結(jié)論：當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)存在一對相等的開環(huán)零、極點時,在s平面存在點狀根軌跡，不應(yīng)將這一對開環(huán)零、極點對消掉。系統(tǒng)將始終存在一個不隨參數(shù)變化而變化的閉環(huán)極點。若可對消的開環(huán)零極點分別是G(s)的極點與H(s)的零點，系統(tǒng)必不具有與點狀根軌跡對應(yīng)的閉環(huán)極點相對消的閉環(huán)零點，此時對系統(tǒng)判穩(wěn)必須考慮點狀根軌跡的影響．其他情況可以不考慮點狀根軌跡。由于存在閉環(huán)零、極點對消時閉環(huán)傳遞函數(shù)不再是系統(tǒng)的完全描述，故此時系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性可能是不一致的。系統(tǒng)時域分析綜合例題根軌跡與性能指標主導極點與偶極子確定開環(huán)增益與閉環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)零極點增加與變化對閉環(huán)系統(tǒng)根的影響系統(tǒng)時域分析系統(tǒng)之例1例：單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，（1）試確定系統(tǒng)在穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下的開環(huán)增益K1

的范圍。（2）計算阻尼比=0.5時的K1值以及相應(yīng)的閉環(huán)極點，估算此時系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標。（3）求在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。你有什么思路：用什么工具？題干中給出了什么信息？如何計算性能指標？解：（1）先畫出系統(tǒng)的根軌跡。a.系統(tǒng)有3條根軌跡分支，均趨于無窮遠處。b.實軸上的根軌跡為：[-∞,-2]，[-1,0]。c.根軌跡的交點滿足1/s+1/(s+1)+1/(s+2)=0,即3s2+6s+2=0，解得sd=-0.42。代入根軌跡幅值條件|L(s)|=1得到K1=0.4。d.由1+L(i)=1得到根軌跡與虛軸的交點為s=1.4i，相應(yīng)的K1=6。e.根軌跡的漸近線與實軸交點和夾角分別為σ=-1，θ=π/3,π,-π/3。根軌跡如右圖示。從圖中可以看出：穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下的根軌跡增益的范圍為0.4<K1<6。解：（2）=0.5，arccos=600。作等阻尼線OA，與根軌跡的交點就是一個閉環(huán)極點(共軛極點也可得到)。再計及閉環(huán)特征方程式聯(lián)立成方程組便可求出

K1=1.04

ωn=2/3

λ3=-2.33（2）于是三個閉環(huán)特征根為：

λ1=-0.33+j0.58，

λ2=-0.33-j0.58，

λ3=-2.33在所求得的3個閉環(huán)極點中，λ1、λ2是主導極點，可用它們構(gòu)成的二階系統(tǒng)估算原三階系統(tǒng)的性能。解：（3）原系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)計算為系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)時域分析系統(tǒng)之例2例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為求閉環(huán)系統(tǒng)具有阻尼比0.5的主導極點的具體位置，并求相應(yīng)的速度誤差系數(shù)Kv，欲使Kv=12，且系統(tǒng)的動態(tài)特性基本保持不變，如何引入開環(huán)偶極子？

未加入偶極子時的根軌跡繪制。主要是求分離點，采用近似求法：等阻尼線0.5與根軌跡的交點對應(yīng)的特征根ch3_compresive_example_2.mk*=1.5206e+003poles=-19.4665-11.9828-1.275