第3講-簡單桿系w03ban

有限單元法及軟件應(yīng)用

山東建筑大學(xué)2011進度安排1有限元方法概述2數(shù)理力學(xué)基礎(chǔ)3簡單桿系結(jié)構(gòu)有限元法4彈性力學(xué)平面有限元方法5等參元和高斯積分6空間問題有限元法7梁結(jié)構(gòu)單元8板殼問題有限元法9結(jié)構(gòu)動力問題有限元法進度安排10材料非線性問題11幾何非線性問題12熱傳導(dǎo)問題13有限元Fortran程序設(shè)計14ANSYS有限元軟件期末考試桿系結(jié)構(gòu)的有限元法3.1概述3.2彈簧系統(tǒng)的剛度矩陣3.3拉壓直桿的有限元分析3.4梁的有限元分析3.5剛架的有限元分析3.1概述3.1.1桿系結(jié)構(gòu)定義由有限根桿件在它們的端點處相互連接而成的結(jié)構(gòu)分類平面桿系：各桿軸線和外力作用線在一個平面內(nèi)空間桿系：各桿軸線和外力作用線不在一個平面內(nèi)工程中常見類型拉壓直桿，桁架（平面和空間），梁（簡支懸臂梁等），剛架（平面和空間）當結(jié)構(gòu)長度尺寸比兩個截面方向的尺寸大得很多時，這類結(jié)構(gòu)稱為桿件。由桿件組成的結(jié)構(gòu)體系稱為桿系。由桁桿組成的桿系稱為桁架；由梁組成的桿系稱為剛架。若桿系和作用力均位于同一平面內(nèi)，則稱為平面桁架或平面剛架，否則稱為空間桁架或空間剛架。3.1概述3.1.2桿系單元定義桿系結(jié)構(gòu)中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點稱為節(jié)點。桿系單元為一維單元。結(jié)構(gòu)離散一般原則：桿系的交叉點、邊界點、集中力作用點、桿件截面尺寸突變處等都應(yīng)該設(shè)置節(jié)點，節(jié)點之間的桿件即構(gòu)成單元。F節(jié)點1節(jié)點2單元①節(jié)點3節(jié)點2單元②桿系結(jié)構(gòu)：梁、拱、框架、桁架等，它們?？呻x散成桿元和梁元?！稹稹稹稹稹稹稹稹鹆汗翱蚣堋稹稹稹稹痂旒?.1概述3.1.2桿系單元分類桁架單元：桁架中的桿件剛架單元：剛架中的桿件區(qū)別：桁架節(jié)點：鉸節(jié)點傳遞力！剛架節(jié)點：剛節(jié)點

傳遞力和力矩！3.1概述3.1.3桿系單元的有限元分析與平面問題和空間問題比較，基本流程完全相同；具體計算細節(jié)需要按照桿系單元的特性來進行。3.2彈簧系統(tǒng)的剛度矩陣一、單個彈簧的剛度矩陣彈簧的作用力向量位移向量為為了求出剛度矩陣，將彈簧系統(tǒng)看成兩個簡單的系統(tǒng)，(1)只有節(jié)點1變形，節(jié)點2固定。(2)只有接點2變形，接點1固定，如圖3-3(b)所示。(3)根據(jù)線彈簧系統(tǒng)的疊加原理，疊加上述兩種情形作用在節(jié)點1上的合力作用在節(jié)點2上的合力從上式可以看出，這一剛度矩陣是對稱的另外，這一矩陣是奇異的，即它的行列式的值等于零。二、組合彈簧的剛度矩陣(1)先令只允許節(jié)點1有位移考慮彈簧1-2，由靜力平衡條件有節(jié)點3沒有力作用，因此只允許節(jié)點2有位移(2)令即彈簧1-2的伸長量與彈簧2-3的縮短量相等，對彈簧1-2有拉力對彈簧2-3有壓力分別對兩彈簧求靜力平衡有(3)最后令只允許節(jié)點3有位移類似情況(1)(4)合成。對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，每個節(jié)點只有一個方向的位移。因此方程式為在知道了單個彈簧單元的剛度矩陣后，是否可以利用它來直接疊加出多個彈簧串聯(lián)系統(tǒng)得總剛度矩陣呢？答案是肯定的。仍以上面兩彈簧系統(tǒng)為例，說明如何疊加剛度矩陣。疊加剛度矩陣1、首先，寫出每個彈簧單元的受力方程和單元剛度矩陣單元2：單元1：2、由于整個系統(tǒng)有3個節(jié)點(位移)，將上述方程擴大成3階方程，有3、按矩陣相加原則，將兩式相加，有

在上面的疊加單元剛度矩陣的過程中，我們用到了矩陣擴大的辦法。這對于只有幾個單元的簡單系統(tǒng)比較方便，但是隨著系統(tǒng)中單元數(shù)目的增多，相應(yīng)擴大后的矩陣就相當大，擴大后的非零元素在矩陣中的位置就不很清楚。

為了清楚起見，一般采用按節(jié)點號將相應(yīng)單元的剛度矩陣中元素寫到總剛度矩陣中去的辦法疊加。

對于具有n個節(jié)點的彈簧系統(tǒng)，由于每個節(jié)點只有一個可能的位移方向，(或只有一個自由度)，因此整個系統(tǒng)有n

個自由度，相應(yīng)的總剛度矩陣應(yīng)該是我們先寫成一個空的矩陣,將單元剛度矩陣按單元的節(jié)點號寫到空矩陣中去。第1個單元的節(jié)點號為1和2，則單元剛度矩陣再將第二個單元(節(jié)點號為2和3)的剛度矩陣疊加到總剛度矩陣的第2、3行的第2、3列上去，即以上面兩彈簧系統(tǒng)為例，總剛度矩陣應(yīng)該是方程求解如前所述，剛度矩陣是一個奇異陣，即，它的行列式的值為零，矩陣的逆不存在。對應(yīng)線性代數(shù)方程組無定解。物理解釋：對整個系統(tǒng)的位移都沒有加以限制，這樣在任何外力的作用下，系統(tǒng)都會像剛體一樣產(chǎn)生整體運動

為使方程組有定解，只需要給系統(tǒng)加大上一定的約束(約束條件、邊界條件)。例如，假設(shè)節(jié)點1固定不動從而得到定解。解上述方程可得到各個節(jié)點的位移，利用所求的位移就可計算出每個彈簧所受力的大小。從上面的推導(dǎo)計算中，可以總結(jié)出用有限元求解彈簧系統(tǒng)受力問題的基本步驟:1)形成每個單元的剛度矩陣2)由每個單元的剛度矩陣按節(jié)點號疊加成整個系統(tǒng)的剛度矩陣3)引入約束條件；4)以節(jié)點位移為未知量求解線性代數(shù)方程組5)用每個單元的力—位移關(guān)系求單元力。例題3-1如圖3-11所示為三彈簧系統(tǒng)，，節(jié)點1和4固定，在節(jié)點2和節(jié)點3處施加軸向力，求節(jié)點2、節(jié)點3的位移和節(jié)點1、4處的作用力。解：1)求出單個彈簧的剛度矩陣對于彈簧1-2對于彈簧2-3對于彈簧3-4將這些單個彈簧的剛度矩陣擴展成2)列出邊界條件和結(jié)構(gòu)矩陣方程：為了驗證結(jié)果的正確性，我們進行受力平衡驗證：3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.1拉壓直桿（單元描述）幾何形狀：等截面A,長度為l載荷：沿軸線方向分布節(jié)點：2個局部坐標系：沿軸線定義的一維坐標系ox節(jié)點坐標

在x軸的坐標：xi,xj節(jié)點位移（自由度）

沿x軸的位移：ui

,uj單元節(jié)點位移列陣ijlxuiuj單元分析單元分析的目的是為整體分析做準備，單元分析就是建立單元桿端力和桿端位移之間的關(guān)系，即單元剛度方程。單元分析的一般步驟如下：1)用廣義坐標法或試湊法建立形函數(shù)，從而建立滿足變形協(xié)調(diào)的單元位移場，即單元內(nèi)任意一點的位移用單元節(jié)點位移(對桿件單元為桿端位移)來表示；2)由幾何方程建立單元應(yīng)變場，即單元內(nèi)任意一點的應(yīng)變由節(jié)點位移來表示；4)用變形體虛位移原理或最小勢能原理建立單元剛度方程，獲得單元剛度矩陣和單元等效節(jié)點載荷矩陣。3)由物理方程建立單元應(yīng)力場，也即單元內(nèi)任意一點的應(yīng)力由節(jié)點位移來表示；

拉壓桿單元，已知等直桿件桿長為橫截面面積為材料彈性模量為所受軸向分布載荷集度為桿端位移分別為桿端力分別記為1、建立位移場設(shè)局部坐標系下桿中任意點a的坐標為因為只有兩個邊界條件因此桿軸任意一點的位移可假設(shè)為由結(jié)點位移條件

x=0

時，u=u1

x=l

時，u=u2從而可得到a截面位移為那么a截面位移形函數(shù)形函數(shù)矩陣桿端位移向量或者節(jié)點位移向量形函數(shù)具有如下性質(zhì)：1)本端為1，它端為02)單元內(nèi)任意一點總和為12、應(yīng)變分析B為應(yīng)變矩陣或者幾何矩陣。3、應(yīng)力分析單元的應(yīng)變能4、建立單元剛度方程根據(jù)單元上的載荷，可得單元的外力勢能為由此可得到單元總勢能為表示單元等效節(jié)點載荷表示局部坐標單元剛度矩陣由總勢能一階變分等于零對于均質(zhì)等截面較支桿來說，它的剛度值也可直接由材料力學(xué)中力與變形的關(guān)系獲得。當單元上受有均布滿跨軸向載荷p時節(jié)點載荷等效當單元距離1節(jié)點處有一集中軸向載荷圖示所示桁架試求1-2桿和1-4桿單元的局部坐標單元剛度矩陣1-2桿：抗拉剛度1-4桿：抗拉剛度3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.2位移模式單元位移模式的推導(dǎo)位移模式形函數(shù)ijlxuiuja1a23.3拉壓直桿的有限元分析3.3.3應(yīng)變應(yīng)變分量

拉壓直桿只有軸向應(yīng)變：幾何方程的推導(dǎo)3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.4應(yīng)力應(yīng)力分量

拉壓直桿只有軸向應(yīng)力：物理方程的推導(dǎo)3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.5單元剛度矩陣3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.6單元節(jié)點等效載荷（軸向載荷）集中力根據(jù)離散的要求，集中力直接施加在所處節(jié)點上體力軸向分布載荷q(x)推導(dǎo)依據(jù)：

面力按照集中載荷施加在面所在的節(jié)點上3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析整體分析400mm300mmXY20kN25kN①②③④1234取桿件與桿件交點、集中力作用點、桿件與支承的交點為節(jié)點。相鄰兩節(jié)點間的桿件段是單元。節(jié)點編號時力求單元兩端點號差最小。

ij3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析：在局部坐標系下建立單元平衡方程整體分析：在整體坐標系下組裝整體平衡方程因此，組裝過程中需要兩個坐標系之間的轉(zhuǎn)換：整體坐標系:OXY局部坐標系:OxyxyXYOα有限元中的坐標系有整體坐標系和局部坐標系。對于一個結(jié)構(gòu)，整體坐標系一般只有一個；而局部坐標系有很多個，一個單元就有一個局部坐標。局部坐標系每一個單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元剛度矩陣相同。XY○○○○○Pxy桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有2個節(jié)點i、j。約定：單元坐標系的原點置于節(jié)點i；節(jié)點i到j(luò)的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中x軸的正向。y軸、z軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。對于梁單元，y軸和z軸分別為橫截面上的兩個慣性主軸。xyzij··3.3.7平面桁架的有限元分析整體坐標系OXY：節(jié)點位移為Ui

,Vi(i,j)局部坐標系Oxy：節(jié)點位移為ui

,uj

則有：3.3拉壓直桿的有限元分析ijxyXYOαUjVjUiViujui從整體坐標到局部坐標的坐標變換矩陣[T]寫成矩陣形式xyiia+abXYXYxybacdcd-ca取——i節(jié)點在單元坐標系中的位移向量——i節(jié)點在結(jié)構(gòu)坐標系中的位移向量x對X、Y的方向余弦y對X、Y的方向余弦同理可得單元j節(jié)點在單元坐標系和結(jié)構(gòu)坐標系中的位移向量：有組合上述結(jié)果，得平面桿單元的局部坐標單元位移和整體坐標單元位移之間關(guān)系：

i、j兩節(jié)點間的位移變換關(guān)系互不耦合。上式可寫成坐標變換矩陣[T]的計算式：3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析推導(dǎo)：注意：局部坐標系下的應(yīng)力和應(yīng)變3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析因此，單元剛度矩陣在局部坐標系和整體坐標系下的變換式：3.3拉壓直桿的有限元分析3.3.7平面桁架的有限元分析在整體坐標系下的單元剛度矩陣為：形成整體剛度矩陣、引入約束條件、求解位移和單元內(nèi)力例題講解空間桿單元（3DLINK8）ijxylz（1）單元位移向量124536（2）形函數(shù)（3）應(yīng)變矩陣

（4）應(yīng)力矩陣(5)等價節(jié)點力(6)單元坐標單元剛度矩陣

對于等截面空間桿單元，3.4梁的有限元分析3.4.1純彎梁單元(單元描述)幾何形狀：長度l，橫截面為A。材料屬性：彈性模量E，橫截面的慣性矩為I。節(jié)點：i,j共2個局部坐標系：oxy3.4梁的有限元分析材料力學(xué)基礎(chǔ)知識1xy1y3.4梁的有限元分析3.4.1純彎梁單元(單元描述)局部坐標系節(jié)點坐標值：xi=0,xj=l節(jié)點位移值：撓度vi和轉(zhuǎn)角θi節(jié)點力：彎距Mi和剪力Qi因此，單元位移列陣：單元載荷列陣：3.4梁的有限元分析3.4.2

位移模式

代入單元兩個節(jié)點的坐標和位移條件，即可求解四個待定常數(shù)a1-a4：梁單元內(nèi)一點有2個位移：v、，因為，=dv/dx；僅一個位移是獨立的，取v

。3.4梁的有限元分析3.4.3應(yīng)變3.4梁的有限元分析3.4.4應(yīng)力3.4.5單元剛度矩陣單元平衡方程：3.4梁的有限元分析3.4.6等效節(jié)點載荷若存在集中力或者集中力矩，將作用點取為節(jié)點若存在分布載荷，按照虛功等效的原則進行計算適用情況：截面高度小于長度的1/5的桿系結(jié)構(gòu)。原因：單元的位移模式，決定了沒有考慮剪切撓度。xyijlq(x)將形函數(shù)矩陣[N]代入上式，積分可得分布荷載的等效結(jié)點力。表1給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點力。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2-ql2/123ql/20ql2/307ql/20-ql2/20ql/45ql2/96ql/4-5ql2/96ijqqijqij幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力表1例：有一變截面梁，一端固定，另一端鉸支。梁長為2l，固支端的截面盡寸為b×1.6h，鉸支端的截面尺寸為b×h。梁上作用均布載荷p0。求梁端的約束反力。xy離散化將梁劃分成2個單元，3個結(jié)點。每個單元長度為,截面取平均截面。單元剛度矩陣ij1223對號入座，組合整體剛度矩陣123荷載等效結(jié)點力向量約束反力向量123總荷載向量引入邊界條件將整體平衡方程中對應(yīng)的1、2、5行和總剛中1、2、5列刪去，得解方程組，得結(jié)點位移值將結(jié)點位移值代入整體平衡方程，可得約束反力3.4梁的有限元分析3.4.7應(yīng)用實例12312kN/m1m1m3.5剛架的有限元分析3.5.1平面剛架

對于小變形問題，可以認為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按一維拉壓桿單元和彎剪平面梁單元的結(jié)果相互獨立的兩種變形形式軸向拉壓面內(nèi)彎曲因此：剛架單元＝桿單元＋梁單元局部坐標系:oxyz3.5剛架的有限元分析3.5.1平面剛架兩個坐標系：局部坐標系整體坐標系3.5.2平面剛架單元（單元描述：局部坐標系下）節(jié)點位移軸向位移橫向位移繞z軸的轉(zhuǎn)角節(jié)點載荷軸向力剪力彎矩3.5剛架的有限元分析ijxyijxy2356l14F2F3F5F6lF1F4（1）單元節(jié)點位移和單元節(jié)點荷載①單元節(jié)點位移②單元節(jié)點荷載剛架的有限元分析因此，局部坐標系下：單元節(jié)點位移列陣：單元節(jié)點載荷列陣：3.5.2平面剛架單元（單元描述：局部坐標系下）3.5剛架的有限元分析3.5.3單元剛度矩陣(局部坐標系下)3形函數(shù)式中形函數(shù)[N]為：其中,單元分析：局部坐標系整體分析：整體坐標系因此，需要進行坐標轉(zhuǎn)換。3.5剛架的有限元分析

由于1

、2

、4、5的性質(zhì)和平面鉸接桿相同，因而有相