第5章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性理論

5.1穩(wěn)定性基本概念5.2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性5.3李雅普諾夫第一法5.4李雅普諾夫第二法5.5線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析研究的目的和意義:穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個(gè)重要特征。要求：在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動(dòng)消失后，仍然能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無關(guān)。對(duì)于一個(gè)給定的控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性分析通常是最重要的。如果系統(tǒng)是線性定常的，那么有許多穩(wěn)定性判據(jù)，如Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)和Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)等可利用。然而，如果系統(tǒng)是非線性的，或是線性時(shí)變的，則上述穩(wěn)定性判據(jù)就將不再適用。經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一，二階非線性系統(tǒng))，描述函數(shù)法。

Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題本節(jié)所要介紹的Lyapunov第二法（也稱Lyapunov直接法）是確定非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的最一般的方法。當(dāng)然，這種方法也可適用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。此外，它還可應(yīng)用于線性二次型最優(yōu)控制問題。主要內(nèi)容：李氏第一法（間接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)造李氏函數(shù)

2.初始狀態(tài)1.自治系統(tǒng)：輸入為零的系統(tǒng)5.1李氏穩(wěn)定性基本概念

系統(tǒng)的平衡狀態(tài)3.平衡狀態(tài)：對(duì)所有的t，狀態(tài)滿足平衡狀態(tài)xe在狀態(tài)空間所確定的點(diǎn)，稱平衡點(diǎn)。

a.線性定常系統(tǒng)

A非奇異：

A奇異：有無窮多個(gè)有唯一b.非線性系統(tǒng)

可能有多個(gè)

例：

令

平衡點(diǎn)4.孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的領(lǐng)域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。對(duì)于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。以后取坐標(biāo)原點(diǎn)作為平衡點(diǎn)研究。5.范數(shù)的概念范數(shù)的定義n為狀態(tài)空間中，向量x的長度稱為向量x的范數(shù)（或歐幾里德范數(shù)），用表示向量x與xe的距離為當(dāng)x-xe的范數(shù)限定在某一范圍之內(nèi)時(shí)，記為

它的幾何意義，在三維狀態(tài)空間中以xe為球心，以為半徑的一個(gè)球域，可記為5.2Lyapunov意義下的穩(wěn)定性1.Lyapunov意義下的穩(wěn)定性（穩(wěn)定和一致穩(wěn)定）定義：對(duì)于系統(tǒng)如果對(duì)任意實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)實(shí)數(shù)使得一切滿足的任意初始狀態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡（狀態(tài)方程的解）在所有時(shí)間內(nèi)都滿足：則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。即：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)曲線不超出，則系統(tǒng)穩(wěn)定。時(shí)變：與有關(guān)定常系統(tǒng)：與無關(guān)，是一致穩(wěn)定的。幾何意義范數(shù)劃出了一個(gè)球域它能將系統(tǒng)解的所有各點(diǎn)都包圍在內(nèi)。即從出發(fā)的軌跡，在t>t0的任何時(shí)刻總不會(huì)超出。等幅振蕩在李氏意義下是穩(wěn)定的。2.Lyapunov意義下漸近穩(wěn)定性1）是李氏意義下穩(wěn)定的2）平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)一致漸近穩(wěn)定幾何意義：穩(wěn)定下任意狀態(tài)軌跡最終收斂于xe.即軌跡不會(huì)超出，且最終趨于平衡點(diǎn)。

3.Lyapunov意義下大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定性對(duì)都有初始條件擴(kuò)展到整個(gè)空間，且是漸近穩(wěn)定。大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件：系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。線性系統(tǒng)(嚴(yán)格)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必是有大范圍漸近穩(wěn)定性(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān))。非線性系統(tǒng)：只能在小范圍一致穩(wěn)定，由狀態(tài)空間出發(fā)的軌跡都收斂或其附近。當(dāng)與無關(guān)大范圍一致漸近穩(wěn)定。4.Lyapunov意義下的不穩(wěn)定性不管，有多小，只要由內(nèi)，由出發(fā)的軌跡超出以外，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。從定義看，球域限制初始狀態(tài)的取值，球域規(guī)定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的邊界。1.系統(tǒng)自由響應(yīng)

有界，則平衡狀態(tài)穩(wěn)定；2.如果不僅有界，而且收斂于平衡狀態(tài)則平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定；3.如果無界，則平衡狀態(tài)不穩(wěn)定；結(jié)論：（1）線性系統(tǒng)：任一孤立平衡狀態(tài)，均可坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，分析原點(diǎn)的穩(wěn)定性具有代表性；（2）非線性系統(tǒng)：各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性不同，分析各個(gè)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性；（3）對(duì)于線性系統(tǒng)：平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定；（4）經(jīng)典控制中的系統(tǒng)穩(wěn)定指漸近穩(wěn)定，而李氏意義下的穩(wěn)定包括臨界穩(wěn)定。（5）線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。（6）非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定只說明存在局域發(fā)散的軌跡。至于是否趨于無窮遠(yuǎn)域外是否存在其它平衡狀態(tài)。若存在極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。例：分析系統(tǒng)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)狀態(tài)解為系統(tǒng)狀態(tài)與平衡狀態(tài)之間的范數(shù)：系統(tǒng)的狀態(tài)不收斂到平衡狀態(tài)，系統(tǒng)是穩(wěn)定，但是不是漸近穩(wěn)定。雖然系統(tǒng)有無窮個(gè)平衡狀態(tài)，但系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，只分析原點(diǎn)的穩(wěn)定性即可。5.3李雅普諾夫第一法（間接法）利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。1.線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：（1）李氏穩(wěn)定的充要條件：

即系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部。（2）李氏漸近穩(wěn)定的充要條件：

2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：

假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展開成泰勞級(jí)數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：在平衡狀態(tài)附近存在各階偏導(dǎo)數(shù)，于是：

--非線性函數(shù)其中：--級(jí)數(shù)展開式中二階以上各項(xiàng)之和雅可比矩陣令

則線性化系統(tǒng)方程為：

(1)若，則非線性系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的，與無關(guān)；(2)若則非線性系統(tǒng)在是不穩(wěn)定；

結(jié)論：(3)若，穩(wěn)定性與有關(guān)，即非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性與函數(shù)展開的高階項(xiàng)有關(guān)。

例：系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)例：單擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)非線性系統(tǒng)各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性不相同。（1）以上的穩(wěn)定性指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，稱為系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性，即有界輸入、有界狀態(tài)（BIBS）穩(wěn)定。（2）任意有界輸入作用下，均有輸出有界，稱為系統(tǒng)外部穩(wěn)定性，即有界輸入、有界輸出（BIBO）穩(wěn)定。3.BIBS穩(wěn)定與BIBO穩(wěn)定4.外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性之間的關(guān)系對(duì)于線性系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的特征值決定系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。（1）若傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消，則傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)的特征值相同，內(nèi)部穩(wěn)定性等價(jià)與外部穩(wěn)定性。（2）若傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)對(duì)消傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)對(duì)消，則傳遞函數(shù)的極點(diǎn)少于系統(tǒng)的特征值數(shù)，傳遞函數(shù)極點(diǎn)只是系統(tǒng)矩陣A的特征值的子集，可能消去的是正實(shí)部的極點(diǎn)，則系統(tǒng)可能具有外部穩(wěn)定性，但不一定具有內(nèi)部穩(wěn)定性。（3）若系統(tǒng)是既能控又能觀測的，則內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定等價(jià)。例：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：分析系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定。（1）系統(tǒng)A的特征方程：特征值，系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于左半平面，所以系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。系統(tǒng)具有正實(shí)部的極點(diǎn)被系統(tǒng)的零點(diǎn)對(duì)消了，所以系統(tǒng)的輸入輸出特性中沒有表現(xiàn)出來。當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消，且系統(tǒng)矩陣A的特征值與傳遞函數(shù)的極點(diǎn)相同時(shí)，系統(tǒng)的BIBS和BIBO穩(wěn)定性相一致。

1、標(biāo)量函數(shù)的正定性

如果對(duì)所有在域中的非零狀態(tài)向量且在x

=0處有則在域（域包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)的標(biāo)量函數(shù)稱為正定函數(shù)。預(yù)備知識(shí)如果時(shí)變函數(shù)由一個(gè)定常的正定函數(shù)作為下限，即存在一個(gè)正定函數(shù)則稱時(shí)變函數(shù)在域（包含狀態(tài)空間原點(diǎn)）內(nèi)是正定函數(shù)。2、標(biāo)量函數(shù)的負(fù)定性

如果是正定函數(shù)，則標(biāo)量函數(shù)3、標(biāo)量函數(shù)的正半定性

如果標(biāo)量函數(shù)

除了原點(diǎn)以及某些狀態(tài)等于零外，在域內(nèi)的所有其它狀態(tài)都是正定的，則稱為正半定標(biāo)量函數(shù)。稱為負(fù)定函數(shù)。

4、標(biāo)量函數(shù)的負(fù)半定性

如果

是正半定函數(shù)，則標(biāo)量函數(shù)

既可為正值，也可為負(fù)值時(shí)，則標(biāo)量函數(shù)稱為不定的標(biāo)量函數(shù)。稱為負(fù)半定函數(shù)。5、標(biāo)量函數(shù)的不定性如果在域內(nèi)，不論域多么小，

1、

4、

正定的2、正半定的

3、負(fù)定的5、不定的正定的

6、二次型函數(shù)

建立在Lyapunov第二法基礎(chǔ)上的穩(wěn)定性分析中，有一類標(biāo)量函數(shù)起著很重要的作用，即二次型函數(shù)（每項(xiàng)的次數(shù)都是二次）。例如，

注意，這里的x為實(shí)向量，P為實(shí)對(duì)稱矩陣。二次型函數(shù)的定號(hào)性二次型函數(shù)的正定性可用賽爾維斯特準(zhǔn)則判斷。（1）正定：二次型函數(shù)為正定的充要條件是矩陣P的所有主子行列式均為正值，即

（2）正半定：如果P是非奇異矩陣，且它的所有主子行列式均非負(fù)，則是正半定的是正定的，則是負(fù)定的。（3）負(fù)定：二次型函數(shù)為負(fù)定的充分必要條件是，P的各階主子式滿足是正半定的，則是負(fù)半定的。（4）負(fù)半定：二次型函數(shù)為負(fù)定的充分必要條件是，P的各階主子式滿足[例]試證明下列二次型是正定的。二次型可寫為

利用賽爾維斯特準(zhǔn)則，可得

因?yàn)榫仃嘝的所有主子行列式均為正值，所以是正定的。5.4李雅普諾夫第二法(直接法)李氏第二法又稱直接法，可以在不求出狀態(tài)方程的解條件下直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性

盡管采用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，需要相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)和技巧，然而當(dāng)其它方法無效時(shí)，這種方法卻能解決非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。RLC電路，選取電感電流和電容電壓作為狀態(tài)變量，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0，電路總能量：能力的變化率

，系統(tǒng)總能量不變，響應(yīng)為等幅振蕩，李氏意義下穩(wěn)定；

，系統(tǒng)總能量衰減，李氏意義下漸近穩(wěn)定。干擾使系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)，系統(tǒng)具有正能量，產(chǎn)生自由運(yùn)動(dòng)；能量變化率表明能力是不斷消耗、維持不變、增大，導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性變化。由力學(xué)經(jīng)典理論可知，對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)總能量（正定函數(shù)）隨著時(shí)間連續(xù)減?。ㄟ@意味著總能量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)必然是負(fù)定的），直到平衡狀態(tài)時(shí)為止，則振動(dòng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1.Lyapunov函數(shù)(李氏函數(shù))Lyapunov第二法是建立在更為普遍的情況之上的，即：如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當(dāng)其運(yùn)動(dòng)到平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)存儲(chǔ)的能量隨著時(shí)間的增長而衰減，直到在平穩(wěn)狀態(tài)達(dá)到極小值為止。若能找到描述上述過程的能量函數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題也就容易解決。然而對(duì)于一些純數(shù)學(xué)系統(tǒng)，畢竟還沒有一個(gè)定義“能量函數(shù)”的簡便方法。為了克服這個(gè)困難，Lyapunov引出了一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為Lyapunov函數(shù)。當(dāng)然，這個(gè)函數(shù)無疑比能量更為一般，并且其應(yīng)用也更廣泛。實(shí)際上，任一標(biāo)量函數(shù)只要滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件，都可作為Lyapunov函數(shù)（可能十分困難）。Lyapunov函數(shù)與和t有關(guān)，我們用來表示Lyapunov函數(shù)。如果在Lyapunov函數(shù)中不含t，則用其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)2.Lyapunov第二法Lyapunov第二法直接利用能量函數(shù)的符號(hào)特征，提供了判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準(zhǔn)則，而不必直接求出方程的解（這種方法既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)）。其平衡狀態(tài)滿足，假定狀態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)()，并設(shè)在原點(diǎn)鄰域存在對(duì)x的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：定理1：若(1)是正定的；

(2)是負(fù)定的；則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。說明：負(fù)定能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)衰減。則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。進(jìn)一步地，若物理含義：李氏函數(shù)是一個(gè)能量函數(shù)，一定為正定的。隨系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)能量在逐漸減小，則。能量最終耗盡，系統(tǒng)又回到平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。注意：該定理給出的是系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，即如果能找到滿足定理的李氏函數(shù)，則系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。但如果找不到這樣的李氏函數(shù)，并不意味系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。該定理本身并沒有給出能量函數(shù)的建立。一般情況，v(x)是不唯一的。通常V(x)可取為二次型函數(shù)，即其中P陣的元素可以時(shí)變，可以定常。例1：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。解：令原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡點(diǎn)。

選取李氏函數(shù)則負(fù)定原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；只有一個(gè)平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定；由于V(x)與t無關(guān)，又是大范圍一致漸近穩(wěn)定。定理1幾何意義：等能量軌跡(整個(gè)平面)例：線性時(shí)變系統(tǒng)，試判斷其原點(diǎn)是否是大范圍漸近穩(wěn)定。解：系統(tǒng)在原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定定理2：穩(wěn)定性若(1)正定；

(2)負(fù)半定；

(3)在非零狀態(tài)存在某個(gè)x值使它恒為零；則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。始終為零，表明能量不再變化，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不會(huì)趨于平衡點(diǎn)，而是等幅振蕩狀態(tài)，即系統(tǒng)可以保持在一個(gè)極限環(huán)上。在這種情況下，原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)稱為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。例2：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：設(shè)則故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。

定理2定理3：若(1)正定；

(2)負(fù)半定；

(3)在非零狀態(tài)不恒為零，則平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。說明：當(dāng)是負(fù)半定時(shí)，附加了條件不恒等于零。負(fù)半定，意味能量為常數(shù)，不會(huì)再減小。系統(tǒng)的狀態(tài)x距平衡點(diǎn)的距離為一常數(shù)，系統(tǒng)一定不是漸近穩(wěn)定的。附加條件后，僅僅只在某個(gè)時(shí)刻暫為零，其它時(shí)刻均為負(fù)，表明系統(tǒng)的能量的衰減不會(huì)停止。

恒等于零，系統(tǒng)地運(yùn)動(dòng)軌跡將落在特定的曲面上，意味運(yùn)動(dòng)不會(huì)收斂到平衡點(diǎn)。對(duì)應(yīng)非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)極限環(huán)或線性系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定；不恒等于零，系統(tǒng)地運(yùn)動(dòng)軌跡只在某個(gè)時(shí)刻與特定曲面相切，運(yùn)動(dòng)軌跡通過切點(diǎn)后并不停留而繼續(xù)運(yùn)動(dòng)向平衡點(diǎn)收斂，系統(tǒng)仍為漸近穩(wěn)定。例3：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：1)

令即原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。設(shè)

其它

負(fù)半定當(dāng)系統(tǒng)在李氏意義下是穩(wěn)定的。是否是漸近穩(wěn)定？

假設(shè)

要求為此，需要進(jìn)一步分析狀態(tài)方程看：則要求必需在時(shí)，不可能衡為零。

只有全零解非零狀態(tài)時(shí)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定，且是大范圍一致漸近穩(wěn)定。定理3

如果選擇另一個(gè)李氏函數(shù)

正定的負(fù)定的定理4：若(1)正定；

(2)正定則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。說明：正定能量函數(shù)隨時(shí)間增大，在處發(fā)散。

線性系統(tǒng)不穩(wěn)定非線性系統(tǒng)不一定推論1：當(dāng)正定，正半定，且在非零狀態(tài)不恒為零時(shí)，則原點(diǎn)不穩(wěn)定。推論2：正定，正半定，若，，則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定(同定理3)。原點(diǎn)不穩(wěn)定

例4：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解:設(shè)則

可見與無關(guān)，故非零狀態(tài)(如)有，而對(duì)其余任意狀態(tài)有

故正半定。令即非零狀態(tài)時(shí)，不恒為零，則原點(diǎn)不穩(wěn)定即系統(tǒng)不穩(wěn)定。推論1幾點(diǎn)說明（1）李氏第二法分析穩(wěn)定性關(guān)鍵是找到李氏函數(shù)，李氏穩(wěn)定性本身沒有提供構(gòu)造李氏函數(shù)的一般方法。李氏函數(shù)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，李氏函數(shù)總是存在的，對(duì)于漸近穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，李氏函數(shù)一定可用二次型函數(shù)構(gòu)造。幾點(diǎn)說明(2)這里僅給出了充分條件，也就是說，如果我們構(gòu)造出了Lyapunov函數(shù)，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的Lyapunov函數(shù)，我們并不能給出任何結(jié)論，例如我們不能據(jù)此說該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3)對(duì)于非線性系統(tǒng)，通過構(gòu)造某個(gè)具體的Lyapunov函數(shù)，可以證明系統(tǒng)在某個(gè)穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于線性系統(tǒng)，如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4)我們這里給出的穩(wěn)定性定理，既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，也適合于定常系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。(5).選取不唯一，但沒有通用辦法，選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致不定的結(jié)果。

這僅僅是充分條件。(6).--單調(diào)衰減(實(shí)際上是衰減振蕩)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較

在線性定常系統(tǒng)中，若平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的，然而在非線性系統(tǒng)中，不是大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的。因此，線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性的含義和非線性系統(tǒng)的含義完全不同。

Lyapunov第二法的步驟：構(gòu)造一個(gè)正定二次型函數(shù)；求，并代入狀態(tài)方程；判斷的定號(hào)性；判斷非零情況下，是否為零。漸近穩(wěn)定李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定5.5線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：為唯一平衡狀態(tài)。設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù)

為李氏函數(shù)

則：--非奇異矩陣將代入：令

由漸近穩(wěn)定性定理1，只要Q正定(即負(fù)定)，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。

定理：系統(tǒng)在平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為:

給定一正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在唯一的正定實(shí)對(duì)稱矩陣P使成立，則標(biāo)量函數(shù)

為系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。

方法1：1.給定正定矩陣Q，Q=I2.設(shè)P為實(shí)對(duì)稱矩陣

3.解矩陣方程

4.判斷P的正定性，若P正定，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且為李氏函數(shù)。方法2：Q取正半定(定理2)允許單位矩陣主對(duì)角線上部分元素為零負(fù)半定。

例1：解：選取P正定

是大范圍一致漸近穩(wěn)定

2.線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：其中---非奇異陣，是平衡狀態(tài)。設(shè)令李氏代數(shù)方程定理：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定任一正定實(shí)對(duì)稱陣Q，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱P，使式成立，則是系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。例：設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的條件。解：根據(jù)穩(wěn)定定理知P為正定。即滿足上述條件必有即只有當(dāng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處才是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。二、線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理：若系統(tǒng)的矩陣A是t的函數(shù)（即時(shí)變函數(shù)），則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)Xe=0處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的充要條件為：對(duì)于任意給定連續(xù)對(duì)稱正定矩陣Q(t)，存在一個(gè)連續(xù)對(duì)稱正定矩陣P(t)，使得而系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是證明：設(shè)李亞普諾夫函數(shù)是則P(t)必是正定且對(duì)稱矩陣，其由定理可知，當(dāng)P是正定對(duì)稱矩陣時(shí)，若Q也是一個(gè)正定對(duì)稱矩陣，則是負(fù)定的，系統(tǒng)便是漸近穩(wěn)定的。矩陣方程屬于黎卡蒂(Riccati)矩陣微分方程，其解為式中，是時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是黎卡蒂矩陣方程的初始條件。若取所以根據(jù)P(t)是否具有連續(xù)、對(duì)稱和正定性來分析線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。且李氏函數(shù)為

如果要檢驗(yàn)非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性，則非線性系統(tǒng)的線性化模型穩(wěn)定性分析遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。必須研究沒有線性化的非線性系統(tǒng)。有幾種基于Lyapunov第二法的方法可達(dá)到這一目的，包括用于判斷非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分條件的克拉索夫斯基方法、用于構(gòu)成非線性系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的Schultz-Gibson變量梯度法、用于某些非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的魯里葉(Lure’)法等。下面僅討論克拉索夫斯基方法。5.6Lyapunov第二法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用定理:（克拉索夫斯基定理）考慮如下非線性系統(tǒng)式中，x為n維狀態(tài)向量，為的非線性n維向量函數(shù)，假定對(duì)可微（i=1,2,…,n）。該系統(tǒng)的雅可比矩陣定義為又定義式中，是雅可比矩陣，是的共軛轉(zhuǎn)置矩陣

如果矩陣

是負(fù)定的，則平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的。該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

此外，若隨著，則平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。