第9章-質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

動(dòng)力學(xué)曹aowei@第九章動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)一、動(dòng)力學(xué)的任務(wù)動(dòng)力學(xué)：研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系的 科學(xué)。二、動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用

動(dòng)力學(xué)的形成與發(fā)展是和生產(chǎn)的發(fā)展密切聯(lián)系的，特別是在現(xiàn)代工業(yè)與科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，對(duì)動(dòng)力學(xué)提出了更加復(fù)雜的課題。例如：高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的動(dòng)力計(jì)算、航空航天高技術(shù)、動(dòng)強(qiáng)度分析、機(jī)械手、機(jī)器人、系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定性等都需要?jiǎng)恿W(xué)理論。動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用神州六號(hào)飛行機(jī)械手汽車懸架的動(dòng)力學(xué)分析汽輪機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)等……動(dòng)力學(xué)三、動(dòng)力學(xué)的分類動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)的抽象模型：質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無(wú)限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。剛體：特殊質(zhì)點(diǎn)系，其中任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變。質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可忽略不計(jì)的物體。動(dòng)力學(xué)的分類：動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)空氣動(dòng)力學(xué)超高速碰撞動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律牛頓定律，是牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中建立的描述物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)三定律，亦稱為動(dòng)力學(xué)基本定律。第一定律慣性定律第二定律力與加速度之間關(guān)系定律第三定律作用與反作用定律§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律(慣性定律):

不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。該定律還定義了慣性參考系，因?yàn)樵摱缮婕暗搅遂o止和勻速直線運(yùn)動(dòng)，也就很自然的涉及到了參考系?！?-1動(dòng)力學(xué)的基本定律慣性參考系：

牛頓定律的結(jié)論只有在慣性參考系才是正確的。以太陽(yáng)為原點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)軸指向三個(gè)恒星的日心參考系是慣性參考系。(研究天體的運(yùn)動(dòng)、地心的運(yùn)動(dòng)等)

以地心為原點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)軸指向三個(gè)恒星的地心參考系是慣性參考系。(人造衛(wèi)星的軌道、洲際導(dǎo)彈的彈道等)

一般的工程問(wèn)題，把固定于地面的坐標(biāo)系或相對(duì)于地面作勻速直線平移的坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律第二定律（力與加速度之間關(guān)系定律）質(zhì)點(diǎn)受力作用時(shí)將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與作用力的方向相同，其大小則與力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比如果在質(zhì)點(diǎn)上同時(shí)作用了幾個(gè)力，該質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的加速度則取決于這些力的合力的大小和方向，即

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其加速度的乘積等于作用在此質(zhì)點(diǎn)上諸力的合力。該定律表明，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量

第三定律(作用與反作用定律):

兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等,方向相反,沿著同一直線,且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。該定律說(shuō)明兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)不論是靜止平衡的，還是運(yùn)動(dòng)的，它們之間的作用力和反作用力總是大小相等，方向相反。牛頓定律的適用條件？§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律說(shuō)明1.該式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。

2.牛頓第一定律和第二定律不是在任何參考系中皆成立的。

只有在慣性參考系下才是正確的。

思考加速度可分為，公式中的指的是什么加速度？§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程矢量形式直角坐標(biāo)形式自然形式§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程一、矢量形式設(shè)可以自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)M，其質(zhì)量為m，作用力的合力為F，加速度為a，則這是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程二、直角坐標(biāo)形式質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式把矢徑r和力F在Oxyz軸上投影這是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程二、自然形式(自然軸上投影)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式把矢徑r和力F在Mtnb軸上投影這是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然形式§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題：第一類問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)，求力第一類問(wèn)題的求解： 已知r=r(t)，對(duì)其求導(dǎo)，代入左邊公式，即可求得力F§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題：第二類問(wèn)題的求解：是積分過(guò)程 在求解第二類問(wèn)題時(shí)，方程的積分中要出現(xiàn)積分常數(shù)，為了完全確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)的初始條件定出這些積分常數(shù)。第一類問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)，求力第二類問(wèn)題：已知力，求運(yùn)動(dòng)§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題：第一類問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)，求力第二類問(wèn)題：已知力，求運(yùn)動(dòng)綜合問(wèn)題：已知部分力和運(yùn)動(dòng)求其它力和運(yùn)動(dòng)例題9-1

設(shè)電梯以不變的加速度

a上升,求放在電梯地板上重

W

的物塊

M

對(duì)地板的壓力?！?-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程解：分析物體M，它受重力W和地板反力FN的作用根據(jù)可得因?yàn)榇肷鲜?，得地板反力例題9-1§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-1所以地板所受的壓力為上式第一部分稱為靜壓力第二部分稱為附加動(dòng)壓力

稱為動(dòng)壓力

討論1、n>1

動(dòng)壓力大于靜壓力，這種現(xiàn)象稱為超重

2、n<1

動(dòng)壓力小于靜壓力，這種現(xiàn)象稱為失重

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)解題步驟：明確研究對(duì)象，確定坐標(biāo)系；2.進(jìn)行受力分析，并畫(huà)出受力圖；3.進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，并畫(huà)出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)量，如速度、加速度、角速度、角加速度等；4.選擇動(dòng)力學(xué)定理進(jìn)行分析求解?！?-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

例9-2

曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示.曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng),OA=r,AB=l,當(dāng)比較小時(shí),以O(shè)

為坐標(biāo)原點(diǎn),滑塊B

的運(yùn)動(dòng)方程可近似寫(xiě)為

如滑塊的質(zhì)量為m,忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量,試求當(dāng)和時(shí),連桿AB所受的力.例題10-220pwj==t§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程解:研究滑塊其中已知:則求:例題9-2§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程有得這屬于動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題。當(dāng)?shù)美}9-2§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-3

單擺M的擺錘重W，繩長(zhǎng)

l

，懸于固定點(diǎn)O

繩的質(zhì)量不計(jì)。設(shè)開(kāi)始時(shí)繩與鉛垂線成偏角,并被無(wú)初速釋放，求繩中拉力的最大值例題9-3§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-3解：擺錘M在繩的約束下，只能沿已知圓弧運(yùn)動(dòng)，用自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程求解較方便。以擺錘M為研究對(duì)象，選擇如圖的自然軸系任意瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度在切向和法向的投影為寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)的自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-3考慮到則式(1)化為對(duì)上式采用定積分，把初條件定為積分下限，有從而得把式(3)代入式(2)，得當(dāng)擺球M到達(dá)最低位置時(shí)，繩拉力有最大值，故§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-4例9-4：小車載著質(zhì)量為m物體以加速度a沿著斜坡上行，如果物體不捆扎，也不至于掉下，物體與小車接觸面的摩擦系數(shù)至少應(yīng)為多少？解：取物體為研究對(duì)象解得§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-4要保證物體不下滑，根據(jù)靜摩擦定律，應(yīng)有即§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-5例9-5：粉碎機(jī)滾筒半徑為Ｒ，繞通過(guò)中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在時(shí)才掉下來(lái)。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n

?！?-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-5解：取鐵球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)鐵球到達(dá)某一高度時(shí)，會(huì)脫離筒壁而沿拋物線下落。鐵球在上升過(guò)程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程在主法線上的投影式鐵球在未離開(kāi)筒壁前的速度，等于筒壁上與其重合點(diǎn)的速度。即§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-5解得當(dāng)時(shí)，鐵球?qū)⒙湎?，這時(shí)，于是的滾筒轉(zhuǎn)速

討論1、顯然，越小，要求n越大。2、當(dāng)時(shí)，鐵球就會(huì)緊貼筒壁轉(zhuǎn)過(guò)最高點(diǎn)而不脫離筒壁下落，起不到粉碎礦石的作用。§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-6例9-6：彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k，物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運(yùn)動(dòng)方程。解：這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故為第二類動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。以彈簧未變形時(shí)的平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將物塊至于任意位置x>0處。物塊在x方向只受彈簧力。根據(jù)直角坐標(biāo)系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-6§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-7例9-7：彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k，物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運(yùn)動(dòng)方程。解：這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故為第二類動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。以彈簧在靜載mg作用下變形后的平衡位置(稱為靜平衡位置)為原點(diǎn)建立建立Ox坐標(biāo)系，將物塊至于任意位置x>0處。列出物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-7因?yàn)樗猿跏紬l件故可得物塊的運(yùn)動(dòng)方程§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程例題9-7

討論1、重力mg只改變了系統(tǒng)的平衡位置，對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律并無(wú)影響2、物塊垂直懸掛時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇不同，運(yùn)動(dòng)微分方程不同。第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程本章小結(jié)1、牛頓三定律適用于慣性參考系

(1)質(zhì)點(diǎn)具有慣性，其質(zhì)量是慣性的度量

(2)作用于質(zhì)點(diǎn)的力與其所產(chǎn)生的加速度成比例

(3)作用力與反作用力等值、方向、共線，分別作用于兩物體上2、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程為，應(yīng)用時(shí)取投影形式。第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程3、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題

(1)已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力