第三章 33 幾何概型 2

3.3幾何概型預(yù)習(xí)思考1，什么是幾何概型？有何特點？計算公式？2，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM的長大于AC的長的概率．3

在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M.求AM＜AC的概率．1．幾何概型的定義若每事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積、體積、角度)成比例，則稱此概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的特點(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有

．(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性

．無限多個相等[例1]

在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM的長大于AC的長的概率．C'

在求解與長度有關(guān)的幾何概型時，先找到幾何區(qū)域D，可能是一線段或幾條線段或曲線段，后找到事件A發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關(guān)鍵，但邊界點是否取到卻不影響事件A的概率．思考：分析：基本事件是什么？滿足條件的基本事件有哪些？答案：C-55-12x0

[例2]

如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M.求AM＜AC的概率．C'在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，

任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為___．思考：[例3]

如圖所示，圓盤中陰影部分扇形的圓心角為60°。若向圓盤內(nèi)投鏢，如果某人每次都能隨機投入圓盤中，那么他投中陰影部分的概率為______．解此類幾何概型問題的關(guān)鍵是(1)根據(jù)題意確認是否是與面積有關(guān)的幾何概型問題．

(2)找出或構(gòu)造出隨機事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關(guān)面積．(3)套用公式從而求得隨機事件的概率．[例4]有一杯2升的水，其中含有一個細菌，用一小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個細菌的概率．課時練習(xí)P60,課堂強化課時小結(jié)幾何概型四種案例：長度；角度；面積；體積。概率計算：P=課時作業(yè)作業(yè)十八備用練習(xí)國家安全機關(guān)的監(jiān)聽錄音記錄了兩名間諜的談話，發(fā)現(xiàn)在30min長的磁帶上，從開始30s處起，有10s長的一段談話內(nèi)容包含兩名間諜犯罪的信息．后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了．該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，才使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯了鍵使含有犯罪信息的談話被部分或全部擦掉的概率有多少？[巧思]

因為在任意時刻都會按錯鍵，即在任意時刻按錯鍵是等可能的，且有無限多個結(jié)果，符合幾何概型．可以用“按錯鍵使含有犯罪信息的談話被部分或全部擦掉”所發(fā)生的時間與總時間的比值進行求解．[妙解]包含兩名間諜談話錄音的部分在30～40s之間，當(dāng)按錯鍵的時刻在這段時間之內(nèi)時，部分被擦掉；當(dāng)按錯鍵的時刻在0～30s之間時，全部被擦掉．即在0～40s之間的時間段內(nèi)任一時刻按錯鍵時，含有犯罪信息的談話被部分或全部擦掉，而在0～30min之間的時間段內(nèi)任一時刻按錯鍵的可能性是相等的．所以按錯鍵使含有犯罪信息的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開始到談話內(nèi)容結(jié)束的時間段的長度有關(guān)，符合幾何概型的條件．[小問題·大思維]1．幾何概型的概率計算與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀有關(guān)嗎？提示：幾何概型的概率只與它的長度(面積或體積)有

關(guān)，而與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關(guān)．2．幾何概型中，概率為0的事件一定是不可能事件嗎？

概率為1的事件也一定是必然事件嗎？提示：如果隨機事件所在區(qū)域是一個單點，因單點的

長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0(即P(A)＝0)，但它不是不可能事件；如果隨機事件所在

的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它出現(xiàn)的概率為1(即P(