第二單元 復雜直流電路的分析

第2單元復雜直流電路分析2.1含獨立電源網(wǎng)絡的等效變換

2.2支路電流法2.3節(jié)點電壓法

2.4網(wǎng)孔電流法2.5疊加定理

2.6戴維南定理2.1.1等效的概念

任何具有2個出線端的部分電路都稱為二端網(wǎng)絡。若二端網(wǎng)絡中含有電源稱為有源二端網(wǎng)絡，如二端網(wǎng)絡內(nèi)不含電源，則稱為無源二端網(wǎng)絡，如下圖所示。2.1含獨立電源網(wǎng)絡的等效變換

如果一個二端網(wǎng)絡的端口電壓、電流關(guān)系與另一個二端網(wǎng)絡的端口電壓、電流關(guān)系相同，則稱其為等效二端網(wǎng)絡或等效電路。對于兩個等效的二端網(wǎng)絡總可以用一個去替換另一個，這種替換稱為等效變換，如下圖所示。2.1.2理想電源的串聯(lián)和并聯(lián)

1．理想電壓源的串聯(lián)

在電路中如果有多個理想電壓源串聯(lián)時，可以等效成一個理想電壓源，其電壓值是各個電壓源的代數(shù)和。此二端網(wǎng)絡的端電流I由外電路決定，其等效電路如下圖所示。2．理想電流源的并聯(lián)

在電路中如果有多個理想電流源并聯(lián)時，可以等效成一個理想電流源，其電流值是各個電流源的代數(shù)和。此二端網(wǎng)絡的端電流U由外電路決定，其等效電路如下圖b所示。

3．理想電壓源的并聯(lián)

只有理想電壓源相等且極性一致時才允許并聯(lián)，否則將違反KVL。此時，等效的電壓源為并聯(lián)電壓源中的一個，如下圖所示。4．理想電流源的串聯(lián)

只有理想電流源相等且流向一致時才允許串聯(lián)，否則將違反KCL。此時，等效的電流源為串聯(lián)電流源中的一個，如下圖所示。

5．理想電壓源與二端網(wǎng)絡并聯(lián)

由理想電壓源特點可知，其端電壓與流過它的電流無關(guān)。所以，理想電壓源與任何二端網(wǎng)絡（不包括不同值的理想電壓源）并聯(lián)，對外電路而言，都可以等效為該理想電壓源，如下圖所示。6．理想電流源與二端網(wǎng)絡串聯(lián)

由理想電流源特點可知，其輸出電流與它兩端的電壓無關(guān)。所以，理想電流源與任何二端網(wǎng)絡（不包括不同值的理想電流源）串聯(lián)，對外電路而言，這部分電路可以等效為該理想電流源，如下圖所示。

【例】求下圖所示電路的最簡等效電路?！窘?】在圖a圖中，12V電壓源與2A電流源并聯(lián)，可等效為12V電壓源，如圖b所示；在圖b圖中，12V電壓源與4A電流源串聯(lián)，可等效為4A電流源，如圖c所示。2.1.3兩種實際電源模型的等效變換

實際電源模型之間的等效變換有兩種，一是實際電壓源等效變換為實際電流源；二是實際電流源等效變換為實際電壓源。如下圖所示。

不難看出，當Ru=Ri，US=RiIS時，它們之間為是互為等效電路。

實際電源在等效變換時應注意以下幾點：

（1）實際電源的相互轉(zhuǎn)換，只是對電源的外電路而言的，它們吸收或供出的功率總是一樣的，但對電源內(nèi)部則是不等效的。如電流源，當外電路開路時，內(nèi)阻上仍有功率損耗；電壓源開路時，內(nèi)阻上并不損耗功率。（2）變換時要注意兩種電路模型的極性必須一致，即電流源流出電流的一端與電壓源的正極性端相對應。

實際電源在等效變換時應注意以下幾點：

（3）實際電源的相互轉(zhuǎn)換中，不僅只限于內(nèi)阻，可擴展至任一電阻。凡是理想電壓源與電阻R串聯(lián)的有源支路，都可以變換成理想電流源與電阻R并聯(lián)的有源支路，反之亦然。（4）理想電壓源與理想電流源不能相互等效變換。理想電壓源的電壓恒定不變，電流取決于外電路負載；理想電流源的電流是恒定的，電壓取決于外電路負載，故兩者不能等效?！纠壳髨Da所示電路的等效電流源模型；求圖b所示電路的等效電壓源模型。【解:】根據(jù)實際電源模型等效變換的條件，可以求出等效電流源參數(shù)

Ru=Ri=6Ω

；其等效電路如圖c所示。

同理，根據(jù)實際電源模型等效變換的條件，可以求出等效電壓源參數(shù)為Ru=Ri=4Ω其等效電路如圖d所示?！窘狻?/p>

首先將32V實際電壓源轉(zhuǎn)換為8A實際電流源，如下頁圖a所示。第二步，合并圖a中的兩個電流源，將兩個電阻并聯(lián)合并成一個電阻，電路簡化為下頁圖b。第三步，將圖b中的10A實際電流源轉(zhuǎn)換為實際電壓源，如下頁圖c所示。最后，將圖c中的兩個各電壓源合并成一個電壓源，將兩個電阻合并成一個電阻，電路簡化為下頁圖d所示的實際電壓源?！纠侩娐啡缦聢D所示，求其最簡等效電路。

【例】如下圖a所示電路，已知R1=1Ω，R2=2Ω，R3=10Ω，

US1=18V，US2=28V應用兩種實際電源模型的等效變換，求電阻R3所在支路的電流I?！窘?】因電壓源與某電阻串聯(lián)的支路，可以變換成電流源與電阻并聯(lián)的支路，故先將圖a所示的電路，等效變換成圖b所示的電路，其中

再將兩個電流源合并成一個電流源，如圖c電路所示，其中并聯(lián)電阻R1、R2的等效電阻為【解:】因電壓源與某電阻串聯(lián)的支路，可以變換成電流源與電阻并聯(lián)的支路，故先將圖a所示的電路，等效變換成圖b所示的電路，其中

再將兩個電流源合并成一個電流源，如圖c電路所示，其中并聯(lián)電阻R1、R2的等效電阻為最后，應用分流公式可求出R3支路電流為2.2支路電流法

支路電流法是以支路電流作為未知變量，利用基爾霍夫定律列寫方程組，而后聯(lián)立求解未知的電路電流的方法。支路電流法求解電路的方法如下：（1）首先確定電路中的支路數(shù)，假設為b條，然后設每個支路電流為未知量，并在相應的支路處標出各個電流的參考方向。（2）然后標出電路中的節(jié)點，根據(jù)KCL列寫方程。注：若在電路中有n個節(jié)點，根據(jù)KCL只能列出（n-1)個獨立的節(jié)點方程。

（3）確定電路中的所有網(wǎng)孔，設定各網(wǎng)孔的繞行方向，并根據(jù)KVL列寫回路方程。（4）將（2）（3）步中列出的方程組成一個方程組，求解出支路電流。以下圖所示的電路為例來說明支路電流法的分析步驟。

在該電路中支路數(shù)b=3，節(jié)點數(shù)n=2，以支路電流I1、I2、I3為變量，設定各支路電流的參考方向如上圖所示，共要列出三個獨立方程。

首先，根據(jù)支路電流的參考方向，流出節(jié)點的電流前取“－”號，流入節(jié)點的電流前取“＋”號，列出（n-1)個獨立的節(jié)點方程。由于該電路中節(jié)點數(shù)n=2，只需列寫一個節(jié)點方程即可，對于節(jié)點a列寫KCL方程或以b為參考節(jié)點列寫KCL方程

其次，選擇回路，應用KVL列出其余所需獨立方程。通常，可取網(wǎng)孔來列KVL方程。電路圖中有兩個網(wǎng)孔，按順時針方向繞行，對網(wǎng)孔回路Ⅰ列寫KVL方程：按順時針方向繞行，對網(wǎng)孔回路Ⅱ列寫KVL方程：網(wǎng)孔的數(shù)目恰好等于b-(n-1)=3-(2-1)=2。因為每個網(wǎng)孔都包含一條互不相同的支路，所以每個網(wǎng)孔都是一個獨立回路，可以列出一個獨立的KVL方程。應用KCL和KVL，一共可列出(n-1)+［b-(n-1)］=b個獨立方程，它們都是以支路電流為變量的方程，因而可以解出b個支路電流。

【例】下圖所示的電路中，已知US1=36V，US2=24V，R1=8Ω，R2=4Ω，R3=8Ω，R4=4Ω，試求各支路電流I1、I2、I3。

【解:】

以支路電流為變量，電流參考方向與網(wǎng)孔回路繞行方向如圖所示，以a為節(jié)點列寫出KCL方程為對網(wǎng)孔回路Ⅰ和Ⅱ可列出KVL方程為聯(lián)立方程組為代入數(shù)據(jù)，得整理為解之，得I1=2A，I2=0.5A，I3=2.5A

【例】試用支路電流法求下圖所示電路的支路電流。

【解:】

為了用支路電流法求解，就必須先給6A電流源兩端設定一個未知的電壓U，參考方向如圖所示。該電路有1個獨立的節(jié)點，兩個網(wǎng)孔回路，設定各支路電流和網(wǎng)孔回路繞行方向如圖所示。

列方程組為解之，得

I1=-2A，I2=4A，I3=6A

，U=90V

2.3節(jié)點電壓法

2.3.1節(jié)點電壓方程的一般形式

在電路中任選某一節(jié)點做為參考節(jié)點，把其他節(jié)點與此參考節(jié)點之間的電壓稱為節(jié)點電壓。節(jié)點電壓的參考極性一般規(guī)定參考節(jié)點為負，其余獨立節(jié)點為正。以下圖為例，電路中有3個節(jié)點，分別為0、1、2。設節(jié)點0為參考節(jié)點，節(jié)點1和節(jié)點2到參考節(jié)點的電壓分別為U1和U2。

根據(jù)KCL，可以列兩個獨立的電流方程（2-3）將式（2-3）中各支路電流用節(jié)點電壓表示為代入式（2-3），整理得

（2-4）式（2-4）也可寫成（2-5）將式（2-5）改寫為一般形式（2-6）

式（2-6）可以推廣到多個節(jié)點的電路。設電路中有n個節(jié)點，則有n-1個節(jié)點電壓，其方程組形式為

2.3.2節(jié)點電壓法的分析步驟應用節(jié)點電壓法來分析計算電路的解題步驟如下：（1）確定參考節(jié)點，并設定各獨立節(jié)點電壓的參考極性。（2）確定各節(jié)點的自導和互導，列出節(jié)點電壓方程。（3）解方程求各節(jié)點電壓。（4）設定各支路電流的參考方向，根據(jù)所求得的獨立節(jié)點電壓及KVL和VCR關(guān)系，即可求出各支路電壓和支路電流。

【例】電路如下圖所示，若已知R1=R2=R3=1Ω，IS1=1A，

US1=US2=2V。列出電路的節(jié)點方程并求解?！窘?】若選參考節(jié)點如圖b所示，設流過電壓源US1中的電流大小為I0，參考方向如圖b所示，于是可列寫出方程為節(jié)點1

節(jié)點2節(jié)點3

又有

U1-U3=2V代入數(shù)據(jù)，解之，得

U1=2.5V，U2=2V，U3=0.5V，I0=3A2.3.3彌爾曼定理

下圖所示電路中只有1個獨立節(jié)點，可列出1個獨立的節(jié)點電壓方程為寫成一般形式為【例】應用彌爾曼定理求下圖所示電路中各支路電流。【解:】本電路只有一個獨立節(jié)點，設其電壓為U1，可得

設各支路電流的參考方向如圖所示，求得各支路電流分別為2.4網(wǎng)孔電流法

2.4.1網(wǎng)孔電流方程的一般形式

下圖所示電路中，共有三個支路，兩個網(wǎng)孔。設想在每個網(wǎng)孔中，都有一個電流沿網(wǎng)孔邊界環(huán)流，其參考方向如圖所示，這樣一個在網(wǎng)孔內(nèi)環(huán)行的假想電流叫做網(wǎng)孔電流。

從圖中可以看出，各網(wǎng)孔電流與各支路電流之間的關(guān)系為即所有支路電流都可以用網(wǎng)孔電流線性表示。

以網(wǎng)孔電流為變量，應用KVL列出方程組整理得（2-9）

這就是以網(wǎng)孔電流為未知量時列寫的KVL方程，

稱為網(wǎng)孔方程。

方程組（2-9）可以進一步寫成（2-10）方程組（2-10）也可以推廣到具有m個網(wǎng)孔的平面電路，其網(wǎng)孔方程的規(guī)范形式為

2.4.2網(wǎng)孔電流法的分析步驟

應用網(wǎng)孔電流法來分析計算電路的解題步驟如下：（1）選定一組獨立網(wǎng)孔，并指定各網(wǎng)孔電流的繞行方向。（2）確定各網(wǎng)孔的自阻和互阻，列出網(wǎng)孔電流方程組。（3）解方程求出網(wǎng)孔電流。（4）由網(wǎng)孔電流求出各支路電流。（5）利用已知的網(wǎng)孔電流，根據(jù)各支路電流及各支路的VCR關(guān)系，求出其他所需的電量。

【例】應用網(wǎng)孔電流法求下圖a所示電路中各支路電流。已知R1=20Ω，R2=2Ω，R3=4Ω，R4=6Ω，IS1=2A，US1=26V，求各支路電流。【解:】先將圖a所示的電路中，電流源與電阻的并聯(lián)組合等效變換成電壓源與電阻的串聯(lián)組合，如圖b所示。在圖b中，假設網(wǎng)孔電流繞行方向如圖b所示，方程組為代入數(shù)據(jù)，解之，得在圖a所示的電路中，有【例】電路如下圖所示，已知R1=R2=R3=R4=R5=2Ω，IS1=2A，US1=4V，求各支路電流。

【解:】理想電流源支路是網(wǎng)孔3獨享支路，在圖示網(wǎng)孔電流參考方向下，網(wǎng)孔電流Im3等于已知電流源電流IS1。電路只有兩個未知網(wǎng)孔電流，故只需列兩個網(wǎng)孔電流方程。

網(wǎng)孔3Im3=IS1網(wǎng)孔1(R1+R2+R3)Im1－R2IS1－R3Im2=–US1

網(wǎng)孔2(R3+R4+R5)Im2－R3Im1－R4IS1=US1代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立求解可求出未知網(wǎng)孔電流根據(jù)網(wǎng)孔電流與各支路電流的關(guān)系可得各支路電流代入數(shù)據(jù)，解之，得2.5疊加定理

2.5.1疊加定理的內(nèi)容

疊加定理可以表述為：在線性電路中，有幾個獨立電源共同作用時，在任一支路所產(chǎn)生的電流（或電壓）等于各獨立電源單獨作用時在該支路所產(chǎn)生的電流（或電壓）的代數(shù)和。下面在線性電路中來驗證疊加定理，求下圖所示電路中R2支路電流I。

圖a所示電路中含有兩個獨立電壓源，以支路電流為變量，應用KCL、KVL列出方程組如下解之，得圖b是電壓源US單獨作用下的情況。此時，電流源的作用為零，零電流源相當于無限大電阻(即開路)。在US單獨作用下R2支路電流為

圖2-28c是電流源IS單獨作用下的情況。此時，電壓源的作用為零，零電壓源相當于零電阻(即短路)。在IS單獨作用下R2支路電流為求所有獨立源單獨作用下R2支路電流的代數(shù)和，得上例表明：疊加定理在線性電路中是存在的，可以用它來分析計算復雜的線性電路。

2.5.2疊加定理的應用

應用疊加定理進行電路分析的具體步驟如下：（1）標出各支路電流的參考方向。（2）將電路分解為各獨立電源單獨作用的分電路，標出各分電路中電流的參考方向。（3）求解各分電路中電流。（4）疊加合成求解。【例】如圖2-29a所示電路，已知R1=1Ω，R2=2Ω，R3=10Ω，US1=18V,US2=28V,

應用疊加定理，求電阻R3所在支路的電流?！窘?】（1）當電壓源US1單獨作用時，電壓源US2用短路代替，相當于電阻R2和電阻R3并聯(lián)后，再與電阻R1串聯(lián)，電路如圖所示，電阻R3支路電流為（2）當電壓源US2單獨作用時，電壓源US1用短路代替，相當于電阻R1和電阻R3并聯(lián)后，再與電阻R2串聯(lián)，電路如圖2-29c所示，電阻R3支路電流為（3）當兩個電壓源US1、US2共同作用時，根據(jù)疊加定理，電阻R3支路電流為2.6戴維南定理2.6.1戴維南定理的內(nèi)容

任何一個有源二端網(wǎng)絡都可以用一個電壓源與電阻相串聯(lián)的等效電路來代替，如下圖所示。這個電壓源電壓就是有源二端網(wǎng)絡的開路電壓UOC，這個電阻就是該網(wǎng)絡中所有電壓源短路、電流源開路時的等效電阻Ro，Ro又稱輸出電阻或內(nèi)阻。我們稱它為戴維南定理，又稱等效電壓源定理。

2.6.2戴維南定理的應用

應用戴維南定理分析計算電路的具體步驟如下：

（1）在一個復雜電路中，若只求解其中一條支路的電流或電壓時，可將此支路斷開去掉，則剩余部分電路可看成一個有源二端網(wǎng)絡。（2）應用戴維南定理，首先求該二端網(wǎng)絡的開路電壓UOC。在求解開路電壓UOC時，前面所講述的電路分析方法都可以使用。（3）將上述有源二端網(wǎng)絡除源(即電壓源用短路代替，電流源用開路代替)，求所得無源二端網(wǎng)絡的等效電阻Ro。（4）UOC和Ro串聯(lián)組成等值電壓源，接在待求支路兩端，形成單回路簡單電路，求出其中電流或電壓，即為所求支路的電流或電壓。（5）適用范圍：只求一條支路的電流或電壓。

【例】求下圖a所示電路a、b端