第二章 資金時間價值與等值計算

教學目標

應該會進行利息、等值的計算，會進行名義利率和有效利率的計算，了解連續(xù)復利的概念和計算原理第二章資金時間價值與等值計算資金時間價值——不同時間發(fā)生的等額資金在價值上的差別稱為資金的時間價值。

從兩方面理解:從投資者的角度看，資金的時間價值表現為資金運動過程中價值的增值。從消費者的角度看，資金一旦用于投資，就不能用于消費。資金的時間價值體現為放棄現期消費的損失所得到的必要補償。利息（或利潤）——資金在單位時間內產生的增值。利息（或利潤）是衡量資金時間價值的絕對尺度。用I表示。利率（收益率）——利息（或利潤）與本金之比，稱為“利率”或收益率，它是衡量資金時間價值的相對尺度，記作i。單利法僅以本金為基數計算利息，利息不再計息。例：從銀行借款100元,i=10%,三年后本利和為年份年初欠款年末欠利息年末欠本利和110010110211010120312010130單利計算公式為：本利和（終值）F＝P(1＋in)（F——本利和或終值；P——現值；i——利率；n——年限）復利法以本金與累計利息之和為基數計算利息，即“利滾利”。例：從銀行借款100元,i=10%，三年后本利和為年份年初欠款年末欠利息年末欠本利和110010110211011121312112.1133.1復利計算公式為：本利和（終值）F＝P(1＋i)n

（F——本利和或終值；P——現值；i——利率；n——年限）某人把10000元，按利率10%（以單利計息）借給朋友3年。3年后，改以復利計息，朋友又使用了4年。最后他從朋友那里收回的本利和F是多少？解：單利計息法公式：F前3年＝P(1＋in)

復利計息法公式：F后4年＝P(1＋i)n

F=10000(1+10%×3)(1+10%)4

=19033元

最后可收回本利和是19033元。計息周期——一年內計算利息周期的次數，用m來表示。計息周期有年、半年、季、月、周、日等。實際利率——將計息周期實際發(fā)生的利率稱為計息周

期實際利率，用i來表示。名義利率——計息周期的實際利率乘以每年計息周期

數就得到名義利率，用r來表示。實際利率

i=(1+r／m)m

-1當m=1時，i=r；m>1時，i>r；m∞時，即一年中無限多次計息，連續(xù)復利計算。這時的實際利率稱連續(xù)利率。例：從銀行借入資金10萬元，年名義利率r為12%，分別按每年計息1次以及每年計息12次，求年實際利率i和本利和F？

解：若每年計息1次i＝(1+r／m)m

-1=(1+0.12/1)1

-1=12%F=P(1+i)n=10×1.12=11.2萬元若每年計息12次i=(1+0.12／12)12

-1=12.68%F=P(1+i)n=10×1.1268=11.268萬元即：m＞1時，實際利率i大于名義利率r，計息次數越多，實際利率i越高。

例:商業(yè)住房按揭貸款杭州商業(yè)銀行按揭貸款的年名義利率r=5.04%，每年計息12次年實際利率i=(1+r／m)m-1=(1+5.04％／12)12–1=5.158％

i＞r資金等值——是指在考慮資金時間價值因素后，不同時點上數額不等的資金在一定利率條件下具有相等的價值。影響資金等值的因素有三個：

資金額大??；資金發(fā)生的時間；利率將一個時點發(fā)生的資金金額換算成另一時點的等值金額，這一過程叫資金等值計算。貼現與貼現率——把將來某一時點處資金金額折算成

現在時點的等值金額稱為貼現或折現。貼現時所

用的利率稱貼現率或折現率，用i表示?，F值——是指資金“現在”價值，用P

表示。終值——現值在未來某一時點的資金金額稱為終值或

將來值，用F表示。等年值——

一定時期內每期有等額收支的資金值，用

A表示。1、一次支付終值公式

2、一次支付現值公式

3、等額分付終值公式

4、等額分付償債基金公式

5、等額分付現值公式

6、資金回收公式102n-13nPF=?計算公式：F=P(1＋i)n

F＝P(F／P，i，n)例：一份遺書上規(guī)定有250000元留給未成年的女兒，但是，暫由她的保護人保管8年。若這筆資金的利率是5％，問8年后這位女孩可以得到多少錢？解：F=P(1＋i)n

=250000×(1+0.05)8

=369250元F=P(F／P，i，n)=250000×1.477=369250元102n-13nPF=?87P＝F×(1＋i)-n

P＝F×(P／F，i，n)102n-13nP=?F例：某剛剛參加工作的大學生欲籌備未來結婚費用，打算5年后從銀行得到10萬元，如果銀行利率為12％，問現在應存入銀行多少錢？解：P=F(1＋i)-n=10×(1＋12%)-5=5.67萬元P=F(P／F，12%，5)=10×0.5674=5.67萬元102435P=?F=10

F=A(F／A，i，n)102n-13nAF=?AAAA例：一位工作了3年的大學生想購買一套房子，他從25歲起每年末向銀行存入8000元，連續(xù)存10年，若銀行年利率為8％，問10年后共有多少本利和？10293108000F=?8000800080008000i=8%F=A(F／A，i，n)=8000×(F／A，8%，10)=8000×14.487=115892元0n-1A=?A＝F(A／F，i，n)12F3n

例：一對夫婦欲積累一筆育兒基金，用于5年后供孩子上大學用。此項基金約需要6萬元，銀行利率12％，問每年末至少要存款多少？10235F=6A=?

i=12%解：A=F(A／F，i，n)=6×(A／F，12%，5)=6×0.15741=0.9445（萬元）4例：某人學習了工程經濟學課程以后，了解到達到富裕的最佳決策及實施這一決策的方法是利用貨幣的增殖能力。如果他希望在年滿59歲退休時擁有100萬元，他決定從25歲生日時就開始投資，假定投資的年收益率為10％，則從第25個生日起，到第59個生日止，每個生日必須投資多少？25262759F=100A=?

i=10%解：A＝F(A／F，i，n)=100×(A／F，10%，35)=100×0.00369=0.369（萬元）102n-13nP=?AP＝A×(P／A，i，n)例：有一家小飯店要出租，合同期為8年，預計年凈收益20萬元，若投資者要求的年收益率為20％，問投資者最多愿意出多少價格租小飯店？

102738P=?A=20i=20%解：P＝A×(P／A，i，n)=20×(P／A，20%，8)=20×3.837=76．74（萬元）

例：一位發(fā)明者轉讓其專利使用權，一種收益方式是在今后5年里每年收到12000元，隨后又連續(xù)7年每年收到6000元，另一種收益方式是將前種收益形式改為一次性付款。在不考慮稅收的情況下，如要求年收益率10％，投資者選擇后一種方式，即一次性購買專利權的價格為多少？102536P=?A1

=12000

i=10%1112A2=6000解：P前5年=A1(P/A,10%,5)=45492元P后7年=A2(P/A,10%,7)(P/F,10%,5)=18135元P=P前5年+P后7年=63627元102n-13nPA=?A＝P×(A／P，i，n)例：某投資項目貸款200萬元，銀行要求在10年內等額收回全部貸款，已知貸款利率為10％，那么項目每年的凈收益不應少于多少萬元？1029310P=200A=?解：A=P(A／P,i,n)=200(A／P,10%,10)=200×0.16275=32．6萬元i=10%例：幾個大學生合資建設一家廢舊金屬回收公司，期初投資100萬元，建設期1年，第二年投產，如果年利率為10％，打算投產后5年內收回全部投資，問該廠每年應最少獲利多少？解：A=P(F／P,10％,1)(A／P,10％,5)=100×1.100×0.2638=29.018萬元A=100(F／P,10％,6)(A／F,10％,5)=100×1.722×0.1638=29.016萬元P=100A=？123456年i=10%0

0A+GAnn-1n-2321A+2GA+(n-3)GA+(n-2)GA+(n-1)G7、等差序列終值公式F=？F=FA+FG

0A+GAnn-1n-2321A+2GA+(n-3)GA+(n-2)GA+(n-1)GP=？8、等差序列現值公式P=PA+PG

0A+GAnn-1n-2321A+2GA+(n-3)GA+(n-2)GA+(n-1)GA=？9、等差序列年金公式A=AA+AG

例：

某企業(yè)擬購買一臺設備，其年收益額第一年為10萬元，此后直至第8年末逐年遞減3000元，設年利率為15％，按復利計息，求該設備8年的收益現值P及等額分付序列收益年金A？023546781

10

9.78.29.4

8.8

8.59.17.9年A=10萬元單位：萬元i=15%G2G3G4G5G6G7G

解：

P2=G(A/G,15％,8)(P/A,15％,8)=0.3×2.78×4.487=3.74萬元收益現值P=P1—P2=44.87—3.74=41.1萬元收益年金：A=P(A／P,15％,8)=41.1×0.2229=9.2萬

023546781

10

9.78.29.4

8.8

8.59.17.9A=10萬元年單位：萬元i=15%G2G3G4G5G6G7G

類別求解已知復利系數系數代數式公式

FP

(F/P，i，n)

PF

(P/F,i,n)

FA(F/A，i，n)

AF(A/F，i，n)

PA

(P/A，i，n)

AP

(A/P，i，n)

FG(F/G，i，n)

總結：等值計算公式一次支付系列等額分付系列

6個主要公式的關系：

但應注意，只有在i、n

等條件相同的情況下，上述關系才成立。例：浙江某大學畢業(yè)生欲回家鄉(xiāng)籌辦一家澳洲火雞飼養(yǎng)場，第一年投資10萬元，1年后又投資15萬元，2年后再投入20萬元，第3年建成投產。投資全部由一家銀行貸款，年利率為8％。貸款從第三年開始每年年末等額償還，還款期10年。問每年應至少收益（償還銀行貸款）多少萬元？102015A=？······年012312i=8%解：方案投產年年初的總投資額為：

P=10(F/P，8％，2)+15(F/P，8％，1)+20=10×1.1664+15×1.08+20=47.864萬元A=P(A/P,8％,10)=47.864×0.1490=7.13萬元102015A=？······年012312i=8%例：一對還有10年就要退休的夫婦，每年將一筆款項存入銀行欲建立一筆海外旅游基金。該旅游基金預計用途是：自第10年年末起，連續(xù)3年各提2萬元。如果銀行存款利率為8％，那么10年中每年年末應等額存入銀行多少元？01101112289A=?A=2萬元年i=8%解：將專用基金折算為第10年末的價值：F=20000+20000(P/F,8％,1)+20000(P/F,8％,2)=20000+20000×0.9259+20000×0.8573=55664元A=F(A/F,8％,10)=55664×0.06903=3842.49元01101112289A=?A=2萬元年i=8%

例

某企業(yè)擬購買大型設備，價值為500萬元，有兩種付款方式可供選擇：①一次性付款，優(yōu)惠12％；②分期付款，則不享受優(yōu)惠，但首付必須達到40%。其余第1年末付30％，第2年末付20％，第3年末支付余下的10%。

求：1）假若企業(yè)購買設備所用資金是自有資金，自有資金的機會成本為10%(即資金利率)，問應該選擇哪種付款方式？2）假若企業(yè)用借款資金購買設備，借款的利率為16%，則應選擇哪種付款方式？

012320015010050年i=10%i=16%解：1）i=10％一次性付款：P=500-500×12%=440萬元

分期付款：P=200+150(P/F,10%,1)+100(P/F,10%,2)+50(P/F,10%,3)=456.6萬元

2)i=16％一次性付款：P=440(萬元)分期付款：P=200+150(P/F,16%,1)+100(P/F,16%,2)+50(P/F,16%,3)=435.7萬元

012320015010050年i=10%i=16%

例：某企業(yè)擬購買一設備，預計該設備有效使用壽命為5年，在壽命期內每年能產生純收益6.5萬元，若該企業(yè)要求的最低投資收益率為15％，問該企業(yè)可接受的設備價格為多少?

解：P=6.5(P／A，15％，5)=21.8萬元所以，企業(yè)可接受的最高價格為21.8萬元。012A=6.5萬元P=？345年i=15%

例

某投資者5年前以200萬元價格買入一房產，在過去的5年內每年獲得年凈現金收益25萬元，現在該房產能以250萬元出售，若投資者要求的年收益率為20％，問此項投資是否合算?

0P=2002527512345i=20%單位：萬元解（2）：將收益折算成現值：P=25(P/A,20％,5)+250(P/F,20％,5)=175.25(萬元)獲得i=20％的收益投資175.25萬即可，因此不合算解（1）：投資200萬元，i=20%時應獲收益額：F=200(F/P,20％,5)=498(萬元)而實際收益：F=25(F/A,20％,5)+250=436(萬元)投資沒有達到20％的收益率，故不合算0P=2002527512345i=20%單位：萬元

在市場上某債券較為緊俏，它是1年前發(fā)行的，面額為500元，年限5年，年利率10％，每年支付利息，到期還本?，F投資者要求在余下的4年中年收益率至少為8％，問該債券現在的價格為多少時，投資者才值得買入?

解：P=50(P／A，8％，4)+500(P／F，8％，4)=50×3.312+500×0.735=533(元)

所以，若投資者要求的收益率為8％，則該債券現在的價格為533元時投資者才值得買入。

例0550501234P=?年單位：萬元i=8%

8．某人從25歲參加工作起至59歲，每年存入養(yǎng)老金5000元，若利率為6％，則他在60-74歲間每年可以等額領到多少錢?

解：F59歲末=5000(F/A,6%,35)=5000×111.435=557175元A60-74歲=P(A/P,6%,15)=5571735×0.10296=57366.7元2559266074……61t歲……5000A=?0

第二種方式：將付款額折成現值P=5+3.6(P/A,10%,10)(P/F,10%,2)=5+3.6×6.145×0.8264=23.28＜25萬元532014512……3.6年10．某公司欲引進一項專利，對方提出兩種付款方式可供選擇。一種是：一筆總算售價25萬美元，一次支付；另一種是：總算與提成相結合，其具體條件是，簽約時付費5萬元，2年建成投產后，按產品每年銷售收入60萬元的6％提成(從第3年末至第12年末）。若資金利率為10%，問從經濟角度該公司應選擇哪種付款方式？解：PC=5×(P/A,10%,15)+3×(P/F,10%,3)+3×(P/F,10%,6)+3×(P/F,10%,9)+3×(P/F,10%,12)+3×(P/F,10%,15)=44.9萬元12.某設備除每年發(fā)生5萬元運行費用外，每隔3年需大修一次，每年費用為3萬元，若設備的壽命為15年，資金利率為10%，求其在整個壽命期內設備費用現值為多少？P=？0123456789101112131415年359．某企業(yè)獲得10萬元貸款，償還期5年、年利率為10％，試就下面四種還款方式，分別計算5年還款總額及還款額現值。(1)每年末還2萬元本金和所欠利息；(2)每年末只還所欠利息，本金在第5年末一次還清；(3)每年末等額償還本金和利息；(4)第5年末一次還清本金和利息。9.(1)某企業(yè)獲得10萬元貸款，償還期5年、年利率為10％，每年末還2萬元本金和所欠利息，試計算5年還款總額及還款額現值。解：第1年利息：10×10％=1(萬元)第2年利息：(10-2)·10％=0.8(萬元)第3、第4、第5年利息分別為0.6、0.4、0.2萬元還款總額：F=3+2.8+2.6+2.4+2.2=13萬元還款現值：P=3(P/F,10％,1)+2.8(P/F,10％,1)+2.6(P／F,10％,1)+……

=10萬元012345年10A=2萬元9.(2)某企業(yè)獲得10萬元貸款，償還期5年、年利率為10％，每年末只還所欠利息，本金在第5年末一次還清。試計算5年還款總額及還款額現值？解：還款總額：F=10+10×10％×5=15萬元還款現值：P=10(P／F，10％，5)+10×10%×

(P／A，10％，5)=10萬元012345年10萬元A=1萬元10萬元9.(3)某企業(yè)獲得10萬元貸款，償還期5年、年利率為10％，每年末等額償還本金和利息，試計算5年還款總額及還款額現值。解：年還款額：A=10(A／P，10％，5)=2.64萬元還款總額：F=2.64×

5=13.2萬元還款現值：P=2.64(P／A，10％，5)=10萬元1102345A=？年09.(4)某企業(yè)獲得10萬元貸款，償還期5年、年利率為10％，第5年末一次還清本金和利息，計算5年還款總額及還款額現值。

解:還款總額：F=10(F／P，10％，5)=16.11萬元還款現值：P=16.11(P／F，10％，5)=10萬元10年F=？123450

7．某企業(yè)1年前買了1萬張面額為100元、年利率為10％(單利)、3年后到期一次性還本付息國庫券。現在有一機會可以購買年利率為12％、2年期、到期還本付息的無風險企業(yè)債券，該企業(yè)擬賣掉國庫券購買企業(yè)債券，試問：該企業(yè)可接受的國庫券最低出售價格是多少?

解：根據F=P(1+i·n)，設該企業(yè)可接受一張國庫券最低售價為P，則100·(1+10%·3)=P·(1+12%·2)P=104.8元

解：年實際利率i＝（1+12%/12）12–1=12.7%

三年后一次性歸還本利和：F=20（F/P,12%,3）=20×1.405=28.1（萬元）11.某企業(yè)向銀行貸款20萬元，條件是年利率12%，每月計息一次，求年實際利率以及3年末應歸還的本利和？

■——即成果與消耗之比，或產出的經濟成果與投入的資源總量之比。

■——即有效勞動成果與勞動耗費之比，或符合社會需求的有效產出與投入之比。

經濟效果經濟效益差額表示法：經濟效果＝成果－勞動消耗比如，利潤、利稅額、凈現值等指標。比值表示法：

比如，勞動生產率等指標。差額比值表示法：比如，投資利潤率、成本利潤率等指標。利潤=銷售收入-總成本-稅金勞動生產率=工業(yè)生產總值/勞動者人數投資利潤率=（銷售收入-總成本-稅金）/投資宏觀經濟效果和微觀經濟效果

從企業(yè)利益出發(fā)，分析得出的技術方案為企業(yè)帶來的效果稱為微觀經濟效果；而技術方案對地區(qū)經濟乃至整個國民經濟和社會產生的效果稱為宏觀經濟效果。直接經濟效果和間接經濟效果

直接經濟效果指項目自身直接產生并得到的經濟效果；間接經濟效果指項目帶來的自身之外的經濟效果。有形經濟效果和無形經濟效果

有形經濟效果指能用貨幣計量的經濟效果；無形經濟效果指難以用貨幣計量的經濟效果。

三峽工程的諸項效果中能夠體現宏觀和微觀經濟效果、直接和間接經濟效果、有形和無形經濟效果，而就防洪、發(fā)電、航運和環(huán)境影響的任何一個方面而言，多種經濟效果又同時存在，通過學習該案例，注意區(qū)分各種經濟效果?！颈景咐龍D片和文字材料取自于中國長江三峽工程網站】

“萬里長江，險在荊江”。荊江流經的江漢平原和洞庭湖平原，沃野千里，是糧庫、棉山、油海、魚米之鄉(xiāng)，是長江流域最為富饒的地區(qū)之一，屬國家重要商品糧、棉和水產品基地。荊江防洪問題，是當時長江中下游防洪中的最突出