計(jì)算方法中的Lagrange插值

第三章插值法(InterpolationMethod)已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫舉例這就是本章要討論的“插值問(wèn)題”當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時(shí)，在區(qū)間[a,b]上一系列節(jié)點(diǎn)x0…xm

處測(cè)得函數(shù)值y0

=f(x0),…,ym

=f(xm)，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x)，滿足條件g(xj)=f(xj)(j=0,…m)(*)這個(gè)問(wèn)題稱為“插值問(wèn)題”插值問(wèn)題的定義這里的g(x)

稱為f(x)的插值函數(shù)。節(jié)點(diǎn)x0…xm稱為插值節(jié)點(diǎn),條件（*)稱為插值條件，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間x0x1x2x3x4

xf(x)g(x)最常用的插值函數(shù)是…?代數(shù)多項(xiàng)式用代數(shù)多項(xiàng)式作插值函數(shù)的插值稱為代數(shù)插值本章主要討論的內(nèi)容插值函數(shù)的類(lèi)型有很多種插值問(wèn)題插值法插值函數(shù)一、插值問(wèn)題解的存在唯一性？二、插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法？三、插值函數(shù)的誤差如何估計(jì)？代數(shù)插值3.2代數(shù)插值問(wèn)題解的存在惟一性給定區(qū)間［a,b］上互異的n+1個(gè)點(diǎn)｛xj｝nj=0的一組函數(shù)值f(xj)，j=0，…,n，求一個(gè)n次多項(xiàng)式pn(x)∈Pn，使得pn(xj)=f(xj)，j=0,1,…，n.…...(1)令pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(2)

只要證明Pn(x)的系數(shù)a0,a1,…,an存在唯一即可為此由插值條件(1)知Pn(x)的系數(shù)滿足下列n+1個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程組

a0+a1x0+…+anx0n=f(x0)

a0+a1x1+…+anx1n=f(x1) ……. a0+a1xn+…+anxnn=f(xn)……(3)而ai(i=0,1,2,…,n)的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式由于xi互異，所以(4)右端不為零，從而方程組(3)的解a0,a1,…an

存在且唯一。通過(guò)解上述方程組(3)求得插值多項(xiàng)式pn(x)的方法并不可取.這是因?yàn)楫?dāng)n較大時(shí)解方程組的計(jì)算量較大，而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大（可能是病態(tài)方程組）,當(dāng)階數(shù)n越高時(shí)，病態(tài)越重。為此我們必須從其它途徑來(lái)求Pn(x)：不通過(guò)求解方程組而獲得插值多項(xiàng)式基本思想：在n次多項(xiàng)式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)0(x),1(x),…,n（x),使pn(x)=a00(x)

+a11(x)

+…+ann（x)不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值n=1使得可見(jiàn)P1(x)是過(guò)(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl3.3Lagrange插值求n

次多項(xiàng)式使得已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求構(gòu)造基函數(shù)

（2）與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與f

無(wú)關(guān)這里每個(gè)lj(x)都是n次多項(xiàng)式，且由(1)式容易驗(yàn)證lj(x）滿足j=0,1,…，n（1）對(duì)任意的pn(x)∈Pn，都有pn(x)=c0l0(x)+c1l1(x)+…+cnln(x)其中c0,c1,…,cn為組合系數(shù)可以證明函數(shù)組l0(x)，l1(x)，…,ln(x)在插值區(qū)間［a,b］上線性無(wú)關(guān)，所以這n+1個(gè)函數(shù)可作為Pn的一組基函數(shù)，稱為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)由Lagrange插值基函數(shù)滿足(2)式可知，方程組變成因此得到插值多項(xiàng)式pn(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+…+f(xn)ln(x)記為L(zhǎng)n(x)＝f(xj)lj(x)稱Ln(x)為n次Lagrange插值多項(xiàng)式

插值余項(xiàng)/*Remainder*/定理4.3.1若在[a,b]內(nèi)存在,則在[a,b]上的n+1個(gè)互異的點(diǎn)，對(duì)f（x)所作的n次Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(x)有誤差估計(jì)Rolle’sTheorem的推論:若充分光滑，且存在使得證明：由于Rn(xi)＝0，i=0,1,…，n任意固定x

xi(i=0,…,n),考察(t)有n+2

個(gè)不同的根x0…

xn

x例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算

sin50，并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算利用sin50=0.7660444…利用x0,x1

作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)