粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第七章粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)建立流體力學(xué)原理與方法的最終目的是求流體與固體邊界之間的作用力。粘性阻力包括摩擦阻力和壓差阻力兩種：摩擦阻力：摩擦切應(yīng)力在物體運(yùn)動(dòng)方向上的合力；壓差阻力：作用于物面上的壓力在物體運(yùn)動(dòng)方向上的合力。兩者均與粘性有關(guān)，其中壓差阻力中包括尾渦阻力。建立粘性流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量方程，即納維--斯托克斯方程，并求其在層流運(yùn)動(dòng)下的精確解。建立邊界層方程，求解邊界層內(nèi)的速度分布和粘性摩擦力。紊流概述，雷諾方程及雷諾應(yīng)力，紊流的時(shí)均速度分布與粘性切應(yīng)力。1第七章粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)§7—1粘性流體運(yùn)動(dòng)的納維—斯托克斯方程§7—2簡(jiǎn)單邊界條件下納維—斯托克斯方程的精確解§7—3邊界層的概念§7—4邊界層方程組及邊界條件§7—5平板層流邊界層的精確解§7—6邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式§7—7平板邊界層計(jì)算§7—8邊界層分離及減阻§7—9紊流概述§7—10

雷諾方程及雷諾應(yīng)力§7—11紊流的半經(jīng)驗(yàn)理論§7—12紊流模式理論2第一節(jié)粘性流體運(yùn)動(dòng)的納維—斯托克斯方程

將動(dòng)量守恒定律應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)著的粘性流體質(zhì)點(diǎn)上，可得到諸流動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，即粘性流體運(yùn)動(dòng)的納維—斯托克斯方程，該方程是于1827年和1845年由Navier和Stokes分別從不同角度獨(dú)立得到。在流場(chǎng)中任取一空間點(diǎn)M(x,y,z)，并以該點(diǎn)為一頂點(diǎn)作一微小正六面體。在過(guò)M點(diǎn)的三個(gè)正交面MBDC，MCEA

和MAFB上則作用著應(yīng)力Px，Py，Pz，又可分出Pij9個(gè)應(yīng)力分量，即一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由這9個(gè)分量來(lái)描述。一、關(guān)于應(yīng)力3式中Pxx，Pyy，Pzz為正應(yīng)力分量，其余6個(gè)為切應(yīng)力分量。Pij中第一個(gè)下角標(biāo)表示其作用面的法線方向，第二個(gè)下角標(biāo)表示其作用方向。在這9個(gè)應(yīng)力分量中，只有6個(gè)應(yīng)力分量是獨(dú)立的，即：4流體中一點(diǎn)的應(yīng)力完全由這9個(gè)分量確定。對(duì)于理想流體而言，應(yīng)力只是空間點(diǎn)和時(shí)間的函數(shù)，與方位無(wú)關(guān)，且方向總是指向作用面的內(nèi)法線方向，即應(yīng)力為正壓力。而對(duì)于實(shí)際流體而言，應(yīng)力不僅與空間坐標(biāo)和時(shí)間有關(guān)，而且還與方位有關(guān)，并且應(yīng)力的方向不再指向作用面的內(nèi)法線方向，即存在法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，因此對(duì)于實(shí)際流體，要確定一點(diǎn)的應(yīng)力大小，須先確定作用面的方位，一般選取垂直于坐標(biāo)軸的三個(gè)正交面作為其作用面。5二、應(yīng)力形式的動(dòng)量方程作用于流體微團(tuán)上的表面力還有GEAF，GFBD和GDCE三個(gè)面上的應(yīng)力，這些力也可分解成各自作用面上的法向和切向分量。6根據(jù)函數(shù)的泰勒展開并舍去高階量，可表示為：7將牛頓第二定律應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)著的粘性流體質(zhì)點(diǎn)，以X方向?yàn)槔鹤饔糜谠摿黧w微團(tuán)沿X軸方向的合力為：慣性力:根據(jù)牛頓第二定律:可得到X方向的運(yùn)動(dòng)方程:8可得到X方向的運(yùn)動(dòng)方程:同理可得:將上式整理后得:(7-4)9上述方程即為粘性流體運(yùn)動(dòng)應(yīng)力形式的動(dòng)量方程。方程中未知量有：速度V（3個(gè)），應(yīng)力（6個(gè)），共9個(gè)未知量，方程4個(gè)，故方程組不封閉，需補(bǔ)充關(guān)系式。(7-4)10二、廣義牛頓內(nèi)摩擦定律（本構(gòu)方程）

廣義牛頓內(nèi)摩擦定律（本構(gòu)方程）反應(yīng)了應(yīng)力和應(yīng)變率之間存在的制約關(guān)系，這是建立流體動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)。真實(shí)流體的力學(xué)性質(zhì)是很復(fù)雜的，不同種類的流體可能表現(xiàn)出完全不同的力學(xué)特性，即便是同一種流體在不同的外部條件下，比如溫度不同時(shí)，力學(xué)特性也會(huì)有很大的差異。因此要建立一個(gè)普適的本構(gòu)方程幾乎是不可能的。Stokes提出了適用于牛頓流體的如下三條假設(shè)：（1）流體是各向同性的，也就是說(shuō)流體的物理性質(zhì)與方向無(wú)關(guān)，只是坐標(biāo)位置的函數(shù)；（2）應(yīng)力張量是應(yīng)變率張量的線性函數(shù)，與旋度無(wú)關(guān)。（3）靜止流體中，切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的值為流體的靜壓。111、切向應(yīng)力與變形速度的關(guān)系變形包括線變形和角變形（剪變形）。線變形運(yùn)動(dòng)是由速度分量在它方向上變化率決定的，即角變形運(yùn)動(dòng)是由速度分量在垂直于它的方向上的變化率決定的。牛頓切應(yīng)力公式：上式說(shuō)明切應(yīng)力與流體微團(tuán)的角變形速率成正比。12在三元流動(dòng)中，三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的角變形速度分別為：推廣牛頓粘性公式至三元流動(dòng)中，則可得切應(yīng)力與角變形速度的關(guān)系式：(7-5)(1)(3)(2)132、法向應(yīng)力與變形速度的關(guān)系(7-6)廣義牛頓內(nèi)摩擦定律!式中：P為粘性流體的動(dòng)壓力。14粘性流體中一點(diǎn)的流體動(dòng)壓力P定義為：以M為球心，具有無(wú)限小半徑r的球面上，作用著的法向應(yīng)力之負(fù)算術(shù)平均值。用數(shù)學(xué)式子可表示為：沿球半徑方向的單位矢量。粘性流體動(dòng)壓力P與沿坐標(biāo)軸方向的正應(yīng)力的關(guān)系式為：對(duì)于不可壓縮流體，，則式（7-6）變?yōu)椋?5(4)(6)(5)對(duì)于理想流體或靜止流體，則有：16將切向應(yīng)力、法向應(yīng)力與變形速度之間的關(guān)系式（7-5）與（7-6）合在一起用張量形式書寫將非常簡(jiǎn)潔，其表達(dá)式為：(7-7)式中各量的下角標(biāo)i,j,k取值為1，2，3，分別對(duì)應(yīng)x,y,z,k為求和下標(biāo)。至此，連續(xù)方程、三個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程以及（1）~（6）個(gè)補(bǔ)充方程，共10個(gè)方程，求解10個(gè)未知數(shù)（3個(gè)速度分量、6個(gè)應(yīng)力分量以及動(dòng)壓力P），所以方程組封閉，理論上可求解。17三、納維—斯托克斯方程（簡(jiǎn)稱N—S方程）將應(yīng)力和變形速度間的關(guān)系式代入應(yīng)力方程（以X方向?yàn)槔?8同理可得Y和Z方向的運(yùn)動(dòng)微分方程：19(7-8)上式即為粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程(對(duì)單位質(zhì)量流體而言)，適用于一切牛頓流體。左邊為單位質(zhì)量流體的慣性力；右邊依次為單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力、壓力和粘性力。對(duì)于不可壓縮流體，由于，則有：20(7-9)上式即為不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程。寫成矢量形式有：(7-10)21如果流體為理想流體，粘性系數(shù)，則上述方程變成歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程：如果流體靜止，則上述方程變成歐拉平衡微分方程：(7-10)22不可壓縮粘性流體的N-S方程在直角坐標(biāo)系下的形式為：在上述方程中，未知數(shù)有4個(gè)：3個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，再加1個(gè)連續(xù)方程，共4個(gè)方程，故方程組封閉，原則上可求解。23定解條件：1、初始條件；t=0時(shí)，給定2、邊界條件（列出三種最常見(jiàn)的）：靜止固壁：（粘附條件）；運(yùn)動(dòng)固壁：自由界面上：即在自由界面上，法向應(yīng)力等于自由界面上的壓力，切向應(yīng)力為零。24不可壓縮粘性流體的N-S方程在柱坐標(biāo)系下的形式為：式中:----空間點(diǎn)的柱坐標(biāo);----速度的三個(gè)坐標(biāo)分量。25不可壓縮粘性流體的N-S方程在球坐標(biāo)系下的形式為：26式中:----空間點(diǎn)的柱坐標(biāo);----速度的三個(gè)坐標(biāo)分量。27粘性流體運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)主要有以下三點(diǎn)：（1）運(yùn)動(dòng)的有旋性；（2）能量的耗損性；（3）渦旋的擴(kuò)散性由于N-S方程為二階非線性偏微分方程組，準(zhǔn)確解為數(shù)甚少，只有在一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題中才能實(shí)現(xiàn)：如兩無(wú)限大平行平板間的定常流動(dòng)（庫(kù)特流）；圓管內(nèi)的的定常流動(dòng)；兩同心旋轉(zhuǎn)圓柱間的定常流動(dòng)等等。28第二節(jié)簡(jiǎn)單邊界條件下N—S方程的精確解在某些簡(jiǎn)單問(wèn)題中，方程的非線性項(xiàng)（即慣性項(xiàng)）自動(dòng)消失，N-S方程成為線性的，從而可求到它的準(zhǔn)確解。一、庫(kù)埃特流動(dòng)兩無(wú)限大平行平板間充滿著粘性不可壓縮流體，在壓差作用下流動(dòng)，不計(jì)質(zhì)量力，設(shè)流動(dòng)定常且為層流。流動(dòng)特點(diǎn)：29N-S方程組變?yōu)椋ㄒ訶方向?yàn)槔篩和Z方向同理得：（1）（2）（3）（4）30（1）（2）（3）（4）由（2）、（3）知：，由（4）知：故（1）式變?yōu)椋海?）31（5）上式左邊是y的函數(shù)，右邊是x的函數(shù)，則必有：即壓力沿X軸呈線性分布，沿Y和Z方向不變。積分（5）式得：邊界條件：這就是兩平行平板間粘性流動(dòng)速度分布的精確解。32通常引入一個(gè)無(wú)量綱壓力參數(shù)P，其定義為：式中流動(dòng)的某種特征速度，如它可取為平板間的平均流速。則平板間的無(wú)量綱速度分布為：(7-13)從上式可知，速度分布呈拋物線型。在上、下兩平板處速度為零，在兩板中間速度達(dá)到極大值。若P=0，則，即流體將靜止不動(dòng)。33下面再討論另外一種庫(kù)特流，上平板以一恒定速度沿本身所在平面向X軸的正向運(yùn)動(dòng)。前半部分的解法如前所述，只是邊界條件發(fā)生了變化。邊界條件：這種流動(dòng)稱為壓力差和粘性拖動(dòng)雙重作用下的庫(kù)特流。(7-14)34(7-14)(7-15)將上式寫成無(wú)量綱形式為：討論：1、由于方程是由非線性簡(jiǎn)化為線性，因此流動(dòng)結(jié)果是粘性拖動(dòng)和壓力差兩種流動(dòng)的疊加，速度分布為二次曲線。2、當(dāng)時(shí)，整個(gè)截面速度分布為正值，不會(huì)出現(xiàn)倒流，見(jiàn)圖中曲線（1）。353、當(dāng)時(shí)，在下平板附近可能出現(xiàn)倒流，取決于的值，見(jiàn)圖中曲線（2）。4、當(dāng)時(shí)，兩平板間的流動(dòng)只在上平板的拖動(dòng)下流動(dòng)，稱為純剪切庫(kù)特流，速度分布為線性，見(jiàn)圖中曲線（3）。36水平放置等直徑圓管，在壓力差作用下作定常層流運(yùn)動(dòng)，忽略質(zhì)量力。建立以管軸為Z軸的柱坐標(biāo)系。流動(dòng)特點(diǎn)：二、等直徑圓管中的粘性層流流動(dòng)柱坐標(biāo)系下的連續(xù)方程為：37柱坐標(biāo)系下N-S方程的簡(jiǎn)化過(guò)程（以r方向?yàn)槔浩渲校簞t有：38其余類似，所以N-S方程可簡(jiǎn)化為：(1)(3)(2)由（1）、（2）知：p=p(z)，又則有：(4)上式左、右兩邊分別為r和z的函數(shù)，則必有：39故（4）式積分得：邊界條件：速度分布為拋物線分布，此種流動(dòng)稱為泊肅葉流動(dòng)。40三、旋轉(zhuǎn)同心圓管間的粘性層流流動(dòng)在兩個(gè)半徑分別為的同心圓管的管壁之間有不可壓縮粘性流體，設(shè)管長(zhǎng)比管徑大得多，若兩管各以角速度繞管軸旋轉(zhuǎn)，則因粘性作用，管壁間的流體將被誘導(dǎo)而作圓周層流運(yùn)動(dòng)。忽略質(zhì)量力，且設(shè)Z方向無(wú)壓差作用，將柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)取在管軸上，Z軸取管軸方向。流動(dòng)特點(diǎn)：41將上述流動(dòng)特點(diǎn)分別