粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)

第七章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)建立流體力學(xué)原理與方法的最終目的是求流體與固體邊界之間的作用力。粘性阻力包括摩擦阻力和壓差阻力兩種：摩擦阻力：摩擦切應(yīng)力在物體運動方向上的合力；壓差阻力：作用于物面上的壓力在物體運動方向上的合力。兩者均與粘性有關(guān)，其中壓差阻力中包括尾渦阻力。建立粘性流體運動的動量方程，即納維--斯托克斯方程，并求其在層流運動下的精確解。建立邊界層方程，求解邊界層內(nèi)的速度分布和粘性摩擦力。紊流概述，雷諾方程及雷諾應(yīng)力，紊流的時均速度分布與粘性切應(yīng)力。1第七章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)§7—1粘性流體運動的納維—斯托克斯方程§7—2簡單邊界條件下納維—斯托克斯方程的精確解§7—3邊界層的概念§7—4邊界層方程組及邊界條件§7—5平板層流邊界層的精確解§7—6邊界層動量積分關(guān)系式§7—7平板邊界層計算§7—8邊界層分離及減阻§7—9紊流概述§7—10

雷諾方程及雷諾應(yīng)力§7—11紊流的半經(jīng)驗理論§7—12紊流模式理論2第一節(jié)粘性流體運動的納維—斯托克斯方程

將動量守恒定律應(yīng)用于運動著的粘性流體質(zhì)點上，可得到諸流動參數(shù)之間的關(guān)系，即粘性流體運動的納維—斯托克斯方程，該方程是于1827年和1845年由Navier和Stokes分別從不同角度獨立得到。在流場中任取一空間點M(x,y,z)，并以該點為一頂點作一微小正六面體。在過M點的三個正交面MBDC，MCEA

和MAFB上則作用著應(yīng)力Px，Py，Pz，又可分出Pij9個應(yīng)力分量，即一點的應(yīng)力狀態(tài)由這9個分量來描述。一、關(guān)于應(yīng)力3式中Pxx，Pyy，Pzz為正應(yīng)力分量，其余6個為切應(yīng)力分量。Pij中第一個下角標(biāo)表示其作用面的法線方向，第二個下角標(biāo)表示其作用方向。在這9個應(yīng)力分量中，只有6個應(yīng)力分量是獨立的，即：4流體中一點的應(yīng)力完全由這9個分量確定。對于理想流體而言，應(yīng)力只是空間點和時間的函數(shù)，與方位無關(guān)，且方向總是指向作用面的內(nèi)法線方向，即應(yīng)力為正壓力。而對于實際流體而言，應(yīng)力不僅與空間坐標(biāo)和時間有關(guān)，而且還與方位有關(guān)，并且應(yīng)力的方向不再指向作用面的內(nèi)法線方向，即存在法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，因此對于實際流體，要確定一點的應(yīng)力大小，須先確定作用面的方位，一般選取垂直于坐標(biāo)軸的三個正交面作為其作用面。5二、應(yīng)力形式的動量方程作用于流體微團(tuán)上的表面力還有GEAF，GFBD和GDCE三個面上的應(yīng)力，這些力也可分解成各自作用面上的法向和切向分量。6根據(jù)函數(shù)的泰勒展開并舍去高階量，可表示為：7將牛頓第二定律應(yīng)用于運動著的粘性流體質(zhì)點，以X方向為例：作用于該流體微團(tuán)沿X軸方向的合力為：慣性力:根據(jù)牛頓第二定律:可得到X方向的運動方程:8可得到X方向的運動方程:同理可得:將上式整理后得:(7-4)9上述方程即為粘性流體運動應(yīng)力形式的動量方程。方程中未知量有：速度V（3個），應(yīng)力（6個），共9個未知量，方程4個，故方程組不封閉，需補(bǔ)充關(guān)系式。(7-4)10二、廣義牛頓內(nèi)摩擦定律（本構(gòu)方程）

廣義牛頓內(nèi)摩擦定律（本構(gòu)方程）反應(yīng)了應(yīng)力和應(yīng)變率之間存在的制約關(guān)系，這是建立流體動力學(xué)方程的基礎(chǔ)。真實流體的力學(xué)性質(zhì)是很復(fù)雜的，不同種類的流體可能表現(xiàn)出完全不同的力學(xué)特性，即便是同一種流體在不同的外部條件下，比如溫度不同時，力學(xué)特性也會有很大的差異。因此要建立一個普適的本構(gòu)方程幾乎是不可能的。Stokes提出了適用于牛頓流體的如下三條假設(shè)：（1）流體是各向同性的，也就是說流體的物理性質(zhì)與方向無關(guān)，只是坐標(biāo)位置的函數(shù)；（2）應(yīng)力張量是應(yīng)變率張量的線性函數(shù)，與旋度無關(guān)。（3）靜止流體中，切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的值為流體的靜壓。111、切向應(yīng)力與變形速度的關(guān)系變形包括線變形和角變形（剪變形）。線變形運動是由速度分量在它方向上變化率決定的，即角變形運動是由速度分量在垂直于它的方向上的變化率決定的。牛頓切應(yīng)力公式：上式說明切應(yīng)力與流體微團(tuán)的角變形速率成正比。12在三元流動中，三個坐標(biāo)平面內(nèi)的角變形速度分別為：推廣牛頓粘性公式至三元流動中，則可得切應(yīng)力與角變形速度的關(guān)系式：(7-5)(1)(3)(2)132、法向應(yīng)力與變形速度的關(guān)系(7-6)廣義牛頓內(nèi)摩擦定律!式中：P為粘性流體的動壓力。14粘性流體中一點的流體動壓力P定義為：以M為球心，具有無限小半徑r的球面上，作用著的法向應(yīng)力之負(fù)算術(shù)平均值。用數(shù)學(xué)式子可表示為：沿球半徑方向的單位矢量。粘性流體動壓力P與沿坐標(biāo)軸方向的正應(yīng)力的關(guān)系式為：對于不可壓縮流體，，則式（7-6）變?yōu)椋?5(4)(6)(5)對于理想流體或靜止流體，則有：16將切向應(yīng)力、法向應(yīng)力與變形速度之間的關(guān)系式（7-5）與（7-6）合在一起用張量形式書寫將非常簡潔，其表達(dá)式為：(7-7)式中各量的下角標(biāo)i,j,k取值為1，2，3，分別對應(yīng)x,y,z,k為求和下標(biāo)。至此，連續(xù)方程、三個運動微分方程以及（1）~（6）個補(bǔ)充方程，共10個方程，求解10個未知數(shù)（3個速度分量、6個應(yīng)力分量以及動壓力P），所以方程組封閉，理論上可求解。17三、納維—斯托克斯方程（簡稱N—S方程）將應(yīng)力和變形速度間的關(guān)系式代入應(yīng)力方程（以X方向為例）：18同理可得Y和Z方向的運動微分方程：19(7-8)上式即為粘性流體的運動微分方程(對單位質(zhì)量流體而言)，適用于一切牛頓流體。左邊為單位質(zhì)量流體的慣性力；右邊依次為單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力、壓力和粘性力。對于不可壓縮流體，由于，則有：20(7-9)上式即為不可壓縮粘性流體的運動微分方程。寫成矢量形式有：(7-10)21如果流體為理想流體，粘性系數(shù)，則上述方程變成歐拉運動微分方程：如果流體靜止，則上述方程變成歐拉平衡微分方程：(7-10)22不可壓縮粘性流體的N-S方程在直角坐標(biāo)系下的形式為：在上述方程中，未知數(shù)有4個：3個運動方程，再加1個連續(xù)方程，共4個方程，故方程組封閉，原則上可求解。23定解條件：1、初始條件；t=0時，給定2、邊界條件（列出三種最常見的）：靜止固壁：（粘附條件）；運動固壁：自由界面上：即在自由界面上，法向應(yīng)力等于自由界面上的壓力，切向應(yīng)力為零。24不可壓縮粘性流體的N-S方程在柱坐標(biāo)系下的形式為：式中:----空間點的柱坐標(biāo);----速度的三個坐標(biāo)分量。25不可壓縮粘性流體的N-S方程在球坐標(biāo)系下的形式為：26式中:----空間點的柱坐標(biāo);----速度的三個坐標(biāo)分量。27粘性流體運動的一般性質(zhì)主要有以下三點：（1）運動的有旋性；（2）能量的耗損性；（3）渦旋的擴(kuò)散性由于N-S方程為二階非線性偏微分方程組，準(zhǔn)確解為數(shù)甚少，只有在一些簡單的問題中才能實現(xiàn)：如兩無限大平行平板間的定常流動（庫特流）；圓管內(nèi)的的定常流動；兩同心旋轉(zhuǎn)圓柱間的定常流動等等。28第二節(jié)簡單邊界條件下N—S方程的精確解在某些簡單問題中，方程的非線性項（即慣性項）自動消失，N-S方程成為線性的，從而可求到它的準(zhǔn)確解。一、庫埃特流動兩無限大平行平板間充滿著粘性不可壓縮流體，在壓差作用下流動，不計質(zhì)量力，設(shè)流動定常且為層流。流動特點：29N-S方程組變?yōu)椋ㄒ訶方向為例）：Y和Z方向同理得：（1）（2）（3）（4）30（1）（2）（3）（4）由（2）、（3）知：，由（4）知：故（1）式變?yōu)椋海?）31（5）上式左邊是y的函數(shù)，右邊是x的函數(shù)，則必有：即壓力沿X軸呈線性分布，沿Y和Z方向不變。積分（5）式得：邊界條件：這就是兩平行平板間粘性流動速度分布的精確解。32通常引入一個無量綱壓力參數(shù)P，其定義為：式中流動的某種特征速度，如它可取為平板間的平均流速。則平板間的無量綱速度分布為：(7-13)從上式可知，速度分布呈拋物線型。在上、下兩平板處速度為零，在兩板中間速度達(dá)到極大值。若P=0，則，即流體將靜止不動。33下面再討論另外一種庫特流，上平板以一恒定速度沿本身所在平面向X軸的正向運動。前半部分的解法如前所述，只是邊界條件發(fā)生了變化。邊界條件：這種流動稱為壓力差和粘性拖動雙重作用下的庫特流。(7-14)34(7-14)(7-15)將上式寫成無量綱形式為：討論：1、由于方程是由非線性簡化為線性，因此流動結(jié)果是粘性拖動和壓力差兩種流動的疊加，速度分布為二次曲線。2、當(dāng)時，整個截面速度分布為正值，不會出現(xiàn)倒流，見圖中曲線（1）。353、當(dāng)時，在下平板附近可能出現(xiàn)倒流，取決于的值，見圖中曲線（2）。4、當(dāng)時，兩平板間的流動只在上平板的拖動下流動，稱為純剪切庫特流，速度分布為線性，見圖中曲線（3）。36水平放置等直徑圓管，在壓力差作用下作定常層流運動，忽略質(zhì)量力。建立以管軸為Z軸的柱坐標(biāo)系。流動特點：二、等直徑圓管中的粘性層流流動柱坐標(biāo)系下的連續(xù)方程為：37柱坐標(biāo)系下N-S方程的簡化過程（以r方向為例）：其中：則有：38其余類似，所以N-S方程可簡化為：(1)(3)(2)由（1）、（2）知：p=p(z)，又則有：(4)上式左、右兩邊分別為r和z的函數(shù)，則必有：39故（4）式積分得：邊界條件：速度分布為拋物線分布，此種流動稱為泊肅葉流動。40三、旋轉(zhuǎn)同心圓管間的粘性層流流動在兩個半徑分別為的同心圓管的管壁之間有不可壓縮粘性流體，設(shè)管長比管徑大得多，若兩管各以角速度繞管軸旋轉(zhuǎn)，則因粘性作用，管壁間的流體將被誘導(dǎo)而作圓周層流運動。忽略質(zhì)量力，且設(shè)Z方向無壓差作用，將柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點取在管軸上，Z軸取管軸方向。流動特點：41將上述流動特點分別