平面圖形的鑲嵌

綜合與實踐

平面圖形的鑲嵌1.經(jīng)歷平面圖形鑲嵌的探索過程，進一步發(fā)展探究意識、積累探究經(jīng)驗.2.認識多邊形鑲嵌平面的條件，并能運用其中的一種或幾種圖形進行平面圖形鑲嵌；了解構(gòu)造基本鑲嵌圖案的一些方法。3.經(jīng)歷小組合作和交流過程，進一步積累合作與交流的活動經(jīng)驗，增強合作意識.4.通過圖案設計活動，發(fā)展空間觀念、以及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。一、認識平面圖形的鑲嵌我們經(jīng)常能見到各種建筑物的地板，觀察地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案.觀察在線美麗的鑲嵌圖案欣賞時空美麗的鑲嵌圖案欣賞時空用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌。平面圖形的鑲嵌觀察小結(jié)二、探索正多邊形的鑲嵌

探索活動

在平面內(nèi)，各角相等，各邊也都相等的多邊形叫做正多邊形。邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和等于（n-2)·180°知識介紹：問題：用大小相同的正三角形、正六邊形能否鑲嵌平面？簡述你的理由。能否用正五邊形鑲嵌平面？正三角形的鑲嵌正六邊形的鑲嵌思考探究

除正三角形、正四邊形、正六邊形能鑲嵌平面外，還能找到其他能鑲嵌平面的正多邊形嗎？合作議論歸納2.用大小相同的正三角形、正四邊形、正六邊形都可以鑲嵌平面，其他正多邊形都不可以鑲嵌平面。1.同一種正多邊形是否可以鑲嵌平面的關(guān)鍵是：一種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否360°。

對于正n邊形，其內(nèi)角都為，

在每個拼結(jié)點處，設可以將m個內(nèi)角彼此無重疊、無縫隙地拼結(jié)在一起，則×m=360°,m(n-2)=2n,mn-2m+4-2n=4m(n–2)-2(n-2)=4,(m-2)(n-2)=4,m

，n是正整數(shù)，因此m-2，n-2都是４的因子，m，n的取值僅有三種可能：m=6，n=3；m=4，n=4；m=3，n=6。(n-2)×180°n(n-2)×180°n合作議論歸納2.用大小相同的正三角形、正四邊形、正六邊形都可以鑲嵌平面，其他正多邊形都不可以鑲嵌平面。1.同一種正多邊形是否可以鑲嵌平面的關(guān)鍵是：一種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否360°。

(n-2)×180°n三、探索用兩種正多邊形鑲嵌平面的條件.正方形的每個內(nèi)角是90°，正三角形的每個內(nèi)角是60°，對于某個拼結(jié)點處，設有x個60°角，有y個90°角，則：60x+90y=360即：2x+3y=12又x、y是正整數(shù)解得：x=3,y=2即：每個頂點處用正三角形的三個內(nèi)角，正方形的兩個內(nèi)角進行拼接.(如上圖)(1)正三角形與正方形正三角形的每個內(nèi)角是60°，正六邊形的每個內(nèi)角是120°，對于某個拼結(jié)點處，設有x個60°角，有y個120°角，即：60x+120y=360°即x+2y=6x、y是正整數(shù)解得：即：每個頂點處用四個正三角形和一個正六邊形，或者用二個正三角形和兩個正六邊形，如上圖.(2)正三角形與正六邊形結(jié)論：由n種正多邊形組合起來鑲嵌成一個平面的條件：(1)n個正多邊形中一個內(nèi)角的和的倍數(shù)是360°(2)n個正多邊形的邊長相等，或其中一個或n個正多邊形的邊長是另一個或n個正多邊形的邊長的整數(shù)倍.(3)正三角形和正十二邊形與前一樣討論，得每個頂點處用一個正三角形和兩個正十二邊形由以上討論可找到鑲嵌平面的條件.四、探索任意三角形、四邊形的鑲嵌用形狀、大小完全相同的三角形能否鑲嵌平面？如果能，觀察每個拼接點處有幾個角，它們與這種三角形的三個內(nèi)角有什么關(guān)系。如果不能，說明為什么。用同一種四邊形能否鑲嵌平面呢？？？？？？問題實踐之窗實踐之窗任意三角形的鑲嵌任意四邊形的鑲嵌實踐小結(jié)用同一種三角形可以鑲嵌平面用同一種四邊形可以鑲嵌平面平面圖形能鑲嵌平面的條件是，每個拼接點處的多邊形各內(nèi)角之和能組合成180°或360°五、利用可以鑲嵌的基本圖形來設計新的鑲嵌圖形怎樣利用可以密鋪的基本圖形來設計新的可以密鋪的圖形？思考時空在原圖上截下一部分把它平移到相對位置，組成一個新的圖形，則新的圖形可以進行密鋪從正方形出發(fā)，按下列步驟設計圖案：畫一個正方形；取正方形一邊的中點，12

畫出部分1，

并將其剪下

補在2的位置上；123411同樣，畫出部分3，3

并將其剪下補在2的位置上；3經(jīng)過上述步驟后，得到一個新的圖案。（1）按上述步驟，你得到了一個“箭頭”了嗎？（2）剪出若干個同樣的“箭頭”，拼出一個美麗的圖案1.全等的圖形之間無縫隙、不重疊4.圖案設計要有自己的創(chuàng)意設計密鋪圖案的方法與要求:2.選取一個可以密鋪的圖案(三角形,四邊形,六邊形等).在原圖上截下一部分把它平移到相對位置，組成一個新的圖形，以新的圖形為基本圖案可以進行密鋪3.應該是”鋪”出來的而不是”畫”出來的欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空欣賞時空

如何以下圖中的（1）、（2）為拼圖的“基本單位”，拼出圖（3）、（4）、（5）、（6）？如果允許圖形作軸對稱變換，那么還可以拼出怎樣的圖案？交流樂園（1）（3）（2）（5）（4）（6）（10）（8）（9）（7）收獲與評價本節(jié)課你有什么收獲和感受？

本節(jié)課你有什么疑惑和問題？

你能給自己和同伴在本節(jié)課的學習作個評價嗎？

課堂小結(jié)學習目標鑲嵌的含義鑲嵌的條件鑲嵌的應用(觀察感悟)(