學(xué)習(xí)-理論力學(xué)009平面運動

第八章剛體的平面運動

§8–1剛體平面運動的概述

§8–2平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動剛體的平面運動方程

§8–3平面圖形內(nèi)各點的速度

§8–4平面圖形內(nèi)各點的加速度習(xí)題課

第八章剛體的平面運動一．平面運動的實例運動學(xué)§8-1剛體平面運動的概述

剛體在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變．也就是說，剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運動．具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動．運動學(xué)二．剛體平面運動的定義

三．平面運動的簡化

剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運動．⒈簡化過程⑴作定平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且與剛體相交成一平面圖形S。當(dāng)剛體運動時，平面圖形S始終保持在定平面Ⅱ內(nèi)。定平面Ⅱ稱為平面圖形S自身所在平面。⑵在剛體上任取⊥平面圖形S的直線A1A2

，A1A2作平動，其上各點都具有相同的運動。⑶A1A2和圖形S的交點A的運動可代表全部A1A2的運動，而平面圖形S內(nèi)各點的運動即可代表全部剛體的運動。⒉結(jié)論運動學(xué)§8-2平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動·

剛體的平面運動方程

一．平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動

⒈證明

任取直線AB，AB的運動即代表了S的運動。由AB→A’B’可視為由兩步完成：

⑴AB平動至A’B”；⑵再繞A’點轉(zhuǎn)一個角B”A’B’最后到達(dá)位置A’B’。合成分解平面運動平動和轉(zhuǎn)動⒉結(jié)論故剛體平面運動可視為平動和轉(zhuǎn)動的合成運動。運動學(xué)AB桿作平面運動平面運動的分解AB

基點運動學(xué)例如曲柄連桿機構(gòu)．二．剛體平面運動方程運動學(xué)于是剛體的平面運動方程為：對于每一瞬時

t

，都可以求出對應(yīng)的，圖形S在該瞬時的位置也就確定了。三．平面圖形的角速度及角加速度

圖形內(nèi)基點A的選取是完全任意的，圖形內(nèi)任一點都可取為基點。所選基點不同，圖形隨其平動的速度和加速度都不同，但圖形對于不同基點轉(zhuǎn)動的角速度及角加速度都是一樣的。

設(shè)平面圖形Ｓ在ｔ時間間隔內(nèi)從位置I運動到位置II以A為基點:

隨基點A平動到A'B''后,繞基點轉(zhuǎn)角到A'B'以B為基點:

隨基點B平動到A''B'后,繞基點轉(zhuǎn)角到A'B'圖中看出：ABA‘B’‘A’‘B’，于是有：運動學(xué)

在任一瞬時，圖形繞其平面內(nèi)任何點轉(zhuǎn)動的角速度及角加速度都相同，因此，稱其為平面圖形的角速度及角加速度。運動學(xué)§8-3平面圖形內(nèi)各點的速度

一．基點法（合成法）的運動可視為牽連運動為平動和相對運動為圓周運動的合成

取A為基點,將動系固結(jié)于A點,動系作平動。取B為動點,則B點

已知：圖形S內(nèi)一點A的速度，圖形角速度求：由轉(zhuǎn)向確定。指向⒈公式的導(dǎo)出運動學(xué)即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和．這種求解速度的方法稱為基點法，也稱為合成法．它是求解平面圖形內(nèi)一點速度的基本方法．根據(jù)速度合成定理則Ｂ點速度為：⒉討論⑵共包括大小﹑方向六個要素，已知任意四個要素，能求出另外兩個要素。⑴是矢量式，符合矢量合成法則；運動學(xué)即平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影彼此相等．這種求解速度的方法稱為速度投影法．由于A,B點是任意的，因此表示了圖形上任意兩點速度間的關(guān)系。由于恒有，因此將上式在AB上投影，有—速度投影定理二．速度投影法⒈公式的導(dǎo)出⒉討論是代數(shù)方程，可解一個未知量。運動學(xué)

即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心．三．速度瞬心法（瞬時速度中心法）

1.問題的提出若選取速度為零的點為基點，求速度的問題會大大簡化。某一瞬時圖形是否有一點速度為零？若存在的話，該點如何確定？

２．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時其上一點A速度,圖形角速度，沿方向取直線AL,然后順的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL'的位置,在AL'上取長度則： 運動學(xué)

⑶已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度的方向，且過A,B兩點分別作速度的垂線,交點

P即為該瞬時的速度瞬心.３．幾種確定速度瞬心位置的方法

⑴已知圖形上一點的速度和圖形角速度

，可以確定速度瞬心的位置．（P點）且Ｐ在順轉(zhuǎn)向繞A點轉(zhuǎn)90o的方向一側(cè)．

⑵已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動,則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心．

運動學(xué)

另：對⑷種(a)的情況，若vA＝vB，則是瞬時平動．⑸已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與AB連線垂直．此時,圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度=0,圖形上各點速度相等,這種情況稱為瞬時平動.(此時各點的加速度不相等)⑷已知某瞬時圖形上A,B兩點速度大小,且(b)(a)運動學(xué)

例如:曲柄連桿機構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動．而的方向沿AC的，瞬時平動與平動不同，它只是剛體作平面運動的某一瞬時的特殊運動狀態(tài)，而非平動。此時連桿BC的圖形角速度

，但角加速度BC桿上各點的速度都相等.但各點的加速度并不相等．設(shè)勻，則

利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法,稱為速度瞬心法.⒋速度瞬心法運動學(xué)平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心。若P點為速度瞬心，則任意一點A的速度方向AP，指向由轉(zhuǎn)向確定。

⒌注意⑴速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。它可以在平面圖形內(nèi)也可以在平面圖形外（平面圖形的擴展部分）；

⑵速度瞬心處的速度為零,加速度一定不為零。不同于轉(zhuǎn)動；

⑶

剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度一定不相同。不同于剛體作平動。運動學(xué)解：運動分析：機構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動,AB作平面運動,滑塊B作平動。

以A為基點，求滑塊B的速度及AB桿的角速度，且方向如圖示。[例1]

已知：曲柄連桿機構(gòu)OA=AB=l，曲柄OA以勻轉(zhuǎn)動。求：當(dāng)=45o時,滑塊B的速度及AB桿的角速度．大?。悍较颍簝晌粗靠山猗菜俣确治觯没c法求vB和wAB:㈠基點法（合成法）

⒈研究AB

；運動學(xué)（）在Ｂ點做速度平行四邊形，如圖示。⒊作速度矢量關(guān)系圖求解：㈡速度投影法⒈研究AB

；⒉速度分析，根據(jù)速度投影定理求vB

:方向OA,方向沿BO直線,運動學(xué)（）試比較上述三種方法的特點。已知的方向，因此可確定出P點為AB桿的速度瞬心不能求出㈢速度瞬心法⒈研究AB;⒉速度分析，用速度瞬心法求vB和wAB

：運動學(xué)§8-4平面圖形內(nèi)各點的加速度取A為基點，將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點取B動點，則B點的運動分解為牽連運動為平動和相對運動為圓周運動于是,由牽連平動時加速度合成定理可得如下公式．基點法(合成法)

已知：圖形S內(nèi)一點A的加速度和圖形的,（某一瞬時）。求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。⒈公式的導(dǎo)出運動學(xué)其中：，方向AB，指向與一致；，方向沿AB，指向A點。即平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點加速度的基本方法。⒉討論⑴是矢量式，符合矢量合成法則；⑵共包括大小﹑方向八個要素，已知任意六個要素，能求出另外兩個要素。由于方向總是已知，所以在該公式中，只要再知道四個要素，即可解出其余兩個待求量。運動學(xué)分析：大小？√RRw

2

方向？√√√故應(yīng)先求出．（）

[例1]

半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點的速度及加速度,求車輪與軌道接觸點P的加速度．P為速度瞬心，解：輪O作平面運動，⒈運動分析：⒉研究輪O

，求w和e：由于此式在任何瞬時都成立，且O點作直線運動，故：運動學(xué)（）以O(shè)為基點，求P點的加速度大?。悍较颍簝晌粗靠山猗醋骷铀俣仁噶筷P(guān)系圖求解：將上式投影到x、y軸上，得：⒊加速度分析，用基點法求：運動學(xué)

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心．解：(a)AB作平動，[例2]

已知O1A=O2B,圖示瞬時O1A/O2B

試問(a),(b)兩種情況下1和

2，1和2是否相等？(a)(b)運動學(xué)(b)AB作平面運動,圖示瞬時作瞬時平動,此時運動學(xué)[例3]

曲柄滾輪機構(gòu)，OA=15cm,n=60rpm滾子半徑R=15cm,求：當(dāng)=60o時(OAAB),滾輪的Ｂ，Ｂ．運動學(xué)運動學(xué)（）P１為其速度瞬心分析:要想求出滾輪的Ｂ,Ｂ先要求出vB,

aBP2vBP1

解：⒈運動分析：OA定軸轉(zhuǎn)動,AB桿和輪B作平面運動研究AB：⒉研究AB

:⑴速度分析，用速度瞬心法求wAB和vB

：運動學(xué)⑵加速度分析，用基點法求eAB和aB：取A為基點，指向O點大小：方向:兩未知量可解⑶作加速度矢量關(guān)系圖求解：將上式投影到x軸上，得：運動學(xué)）(P2為輪B速度瞬心⒊研究輪B

:vBP2⑴速度分析，用速度瞬心法求wB

：）(⑵加速度分析，求eB

：運動學(xué)第八章剛體平面運動習(xí)題課一．概念與內(nèi)容

1.剛體平面運動的定義剛體運動時，其上任一點到某固定平面的距離保持不變．

2.剛體平面運動的簡化可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內(nèi)的運動代替剛體的整體運動．

3.剛體平面運動的分解分解為

隨基點的平動（平動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)）繞基點的轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動規(guī)律與基點的選擇無關(guān)）可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點,通常是運動狀態(tài)已知的點．4.基點運動學(xué)6.剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面平動是剛體平面運動的特例．7.求平面圖形上任一點速度的方法⑴基點法：⑵速度投影法：⑶速度瞬心法： 其中，基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例．5.速度瞬心⑴任一瞬時,平面圖形或擴大部分都唯一存在一個速度為零的點⑵瞬心位置隨時間改變．⑶每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉(zhuǎn)動．這種瞬時繞瞬心的轉(zhuǎn)動與定軸轉(zhuǎn)動不同．⑷

瞬心位于無窮遠(yuǎn)處,

=0,各點速度相同,剛體作瞬時平動,

瞬時平動與平動不同．運動學(xué)

8.求平面圖形上一點加速度的方法基點法：，A為基點,是最常用的方法此外，當(dāng)=0,瞬時平動時也可采用方法它是基點法在=0時的特例。9.平面運動方法與合成運動方法的應(yīng)用條件

⑴平面運動方法用于研究一個平面運動剛體上任意兩點的速度、加速度之間的關(guān)系及任意一點的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關(guān)系．

⑵合成運動方法常用來確定兩個相接觸的物體在接觸點處有相對滑動時的運動關(guān)系的傳遞．運動學(xué)

二．解題步驟和要點

1.根據(jù)題意和剛體各種運動的定義，判斷機構(gòu)中各剛體的運動形式．注意每一次的研究對象只是一個剛體．

2.對作平面運動的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速度(圖形角速度)問題的方法,用基點法求加速度(圖形角加速度)

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量．

(基點法:恰當(dāng)選取基點，作速度平行四邊形，加速度矢量圖；速度投影法:不能求出圖形;速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵．）運動學(xué)[例1]

曲柄肘桿壓床機構(gòu)已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時,AB水平求該位置時的、及運動學(xué)運動學(xué)[例1]

曲柄肘桿壓床機構(gòu)已知:OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時,AB水平.

求該位置時的，及

解：⒈運動分析：OA,BC作定軸轉(zhuǎn)動,AB,BD均作平面運動（）⒉研究AB;速度分析，用速度瞬心法求vB和wAB

：P１為AB桿速度瞬心運動學(xué)P2為其速度瞬心,BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD（）⒊研究BD;速度分析，用速度瞬心法求vD和wBD

：運動學(xué)[例2]

行星齒輪機構(gòu)運動學(xué)

解：⒈運動分析：OA定軸轉(zhuǎn)動，輪A作平面運動；）([例2]

行星齒輪機構(gòu)已知:R,r,o

輪A作純滾動，求⒉研究輪A:

速度分析，用速度瞬心法求：輪A速度瞬心為P點運動學(xué)[例3]

平面機構(gòu)中,楔塊M:=30o,v=12cm/s;盤:r=4cm,與楔塊間無滑動．求圓盤的及軸O的速度和B點速度．運動學(xué)

解：⒈運動分析：軸O,桿OC,楔塊M均作平動,圓盤作平面運動；）([例3]

平面機構(gòu)中,楔塊M:=30o,v=12cm/s;盤:r=4cm,與楔塊間無滑動．求圓盤的及軸O的速度和B點速度．P為速度瞬心，⒉研究輪O:速度分析，用速度瞬心法求w、vO及

vB：運動學(xué)

比較[例2]和[例3]可以看出,不能認(rèn)為圓輪只滾不滑時,接觸點就是瞬心,只有在接觸面是固定面時,圓輪上接觸點才是速度瞬心

每個作平面運動的剛體在每一瞬時都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在剛體或其擴大部分上,不能認(rèn)為瞬心在其他剛體上.例如,[例1]中AB的瞬心在P1點,BD的瞬心在P2

點,而且P1也不是CB桿上的點運動學(xué)[例4]

導(dǎo)槽滑塊機構(gòu)運動學(xué)[例4]

導(dǎo)槽滑塊機構(gòu)已知：曲柄OA=r,勻角速度轉(zhuǎn)動,連桿AB的中點C處連接一滑塊C可沿導(dǎo)槽O1D滑動,AB=l,圖示瞬時O,A,O1三點在同一水平線上,OAAB,AO1C==30。求：該瞬時O1D的角速度．

解：⒈運動分析：

OA,O1D均作定軸轉(zhuǎn)動,AB作平面運動；⒉研究AB：

圖示位置,vA∥vB，wAB=0，AB桿作瞬時平動,所以：⒊用合成運動方法求O1D桿的角速度先求O1D桿上與滑塊C接觸的點的速度運動學(xué)⑴選取動點、動系、靜系：動點:AB桿上C點,

動系:固連擺桿O1D

，靜系:固連地面。⑵三種運動分析：①絕對運動：動點C靜系絕對軌跡：未知曲線②相對運動:動點C動系相對軌跡：③牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動動系（擺桿O1D

）靜系（擺桿O1D）斜直線由速度合成定理：⑶三種速度分析:大?。悍较颍簝晌粗靠山膺\動學(xué)

）(

這是一個需要聯(lián)合應(yīng)用點的合成運動和剛體平面運動理論求解的綜合性問題．注意這類題的解法，再看下例．

由速度合成定理作出速度平行四邊形如圖示。⑷作速度矢量關(guān)系圖求解：運動學(xué)

[例5]平面機構(gòu)運動學(xué)

[例5]

平面機構(gòu)圖示瞬時,O點在AB中點,=60o,BCAB,已知O,C在同一水平線上,AB=20cm,vA=16cm/s,

試求該瞬時AB桿,BC桿的角速度及滑塊C的速度．

解:⒈運動分析：輪A、桿AB、桿BC均作平面運動,套筒O作定軸轉(zhuǎn)動,滑塊C平動.取AB桿上O′點為動點,動系固結(jié)于套筒;靜系固結(jié)于機架,

⒉研究AB

桿：⑴根據(jù)點的速度合成定理確定AB桿上O′點速度方向：運動學(xué)

P1為AB桿速度瞬心大小：方向：

因為沿BA，所以，的方向沿BA。從而確定了AB桿上與O點接觸點的速度方向。⑵速度分析，用速度瞬心法求wAB，

vB：）(運動學(xué)也可以用瞬心法求BC和vC，很簡便作速度矢量關(guān)系圖求解（）⒊研究BC桿：速度分析，用基點法求

vC

，wBC

：以B為基點,根據(jù)大?。悍较颍簝晌粗靠山膺\動學(xué)解:⒈運動分析：

OA定軸轉(zhuǎn)動;AB,BC均作平面運動,滑塊B和C均作平動應(yīng)用速度投影定理