學(xué)習(xí)-理論力學(xué)009平面運(yùn)動

第八章剛體的平面運(yùn)動

§8–1剛體平面運(yùn)動的概述

§8–2平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動剛體的平面運(yùn)動方程

§8–3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度

§8–4平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度習(xí)題課

第八章剛體的平面運(yùn)動一．平面運(yùn)動的實(shí)例運(yùn)動學(xué)§8-1剛體平面運(yùn)動的概述

剛體在運(yùn)動過程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變．也就是說，剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動．具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動稱為剛體的平面運(yùn)動．運(yùn)動學(xué)二．剛體平面運(yùn)動的定義

三．平面運(yùn)動的簡化

剛體的平面運(yùn)動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動．⒈簡化過程⑴作定平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且與剛體相交成一平面圖形S。當(dāng)剛體運(yùn)動時(shí)，平面圖形S始終保持在定平面Ⅱ內(nèi)。定平面Ⅱ稱為平面圖形S自身所在平面。⑵在剛體上任取⊥平面圖形S的直線A1A2

，A1A2作平動，其上各點(diǎn)都具有相同的運(yùn)動。⑶A1A2和圖形S的交點(diǎn)A的運(yùn)動可代表全部A1A2的運(yùn)動，而平面圖形S內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動即可代表全部剛體的運(yùn)動。⒉結(jié)論運(yùn)動學(xué)§8-2平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動·

剛體的平面運(yùn)動方程

一．平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動

⒈證明

任取直線AB，AB的運(yùn)動即代表了S的運(yùn)動。由AB→A’B’可視為由兩步完成：

⑴AB平動至A’B”；⑵再繞A’點(diǎn)轉(zhuǎn)一個(gè)角B”A’B’最后到達(dá)位置A’B’。合成分解平面運(yùn)動平動和轉(zhuǎn)動⒉結(jié)論故剛體平面運(yùn)動可視為平動和轉(zhuǎn)動的合成運(yùn)動。運(yùn)動學(xué)AB桿作平面運(yùn)動平面運(yùn)動的分解AB

基點(diǎn)運(yùn)動學(xué)例如曲柄連桿機(jī)構(gòu)．二．剛體平面運(yùn)動方程運(yùn)動學(xué)于是剛體的平面運(yùn)動方程為：對于每一瞬時(shí)

t

，都可以求出對應(yīng)的，圖形S在該瞬時(shí)的位置也就確定了。三．平面圖形的角速度及角加速度

圖形內(nèi)基點(diǎn)A的選取是完全任意的，圖形內(nèi)任一點(diǎn)都可取為基點(diǎn)。所選基點(diǎn)不同，圖形隨其平動的速度和加速度都不同，但圖形對于不同基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度及角加速度都是一樣的。

設(shè)平面圖形Ｓ在ｔ時(shí)間間隔內(nèi)從位置I運(yùn)動到位置II以A為基點(diǎn):

隨基點(diǎn)A平動到A'B''后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'以B為基點(diǎn):

隨基點(diǎn)B平動到A''B'后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'圖中看出：ABA‘B’‘A’‘B’，于是有：運(yùn)動學(xué)

在任一瞬時(shí)，圖形繞其平面內(nèi)任何點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度及角加速度都相同，因此，稱其為平面圖形的角速度及角加速度。運(yùn)動學(xué)§8-3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度

一．基點(diǎn)法（合成法）的運(yùn)動可視為牽連運(yùn)動為平動和相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動的合成

取A為基點(diǎn),將動系固結(jié)于A點(diǎn),動系作平動。取B為動點(diǎn),則B點(diǎn)

已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度，圖形角速度求：由轉(zhuǎn)向確定。指向⒈公式的導(dǎo)出運(yùn)動學(xué)即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的速度的矢量和．這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法．它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法．根據(jù)速度合成定理則Ｂ點(diǎn)速度為：⒉討論⑵共包括大小﹑方向六個(gè)要素，已知任意四個(gè)要素，能求出另外兩個(gè)要素。⑴是矢量式，符合矢量合成法則；運(yùn)動學(xué)即平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等．這種求解速度的方法稱為速度投影法．由于A,B點(diǎn)是任意的，因此表示了圖形上任意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系。由于恒有，因此將上式在AB上投影，有—速度投影定理二．速度投影法⒈公式的導(dǎo)出⒉討論是代數(shù)方程，可解一個(gè)未知量。運(yùn)動學(xué)

即在某一瞬時(shí)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零，該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡稱速度瞬心．三．速度瞬心法（瞬時(shí)速度中心法）

1.問題的提出若選取速度為零的點(diǎn)為基點(diǎn)，求速度的問題會大大簡化。某一瞬時(shí)圖形是否有一點(diǎn)速度為零？若存在的話，該點(diǎn)如何確定？

２．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時(shí)其上一點(diǎn)A速度,圖形角速度，沿方向取直線AL,然后順的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL'的位置,在AL'上取長度則： 運(yùn)動學(xué)

⑶已知某瞬間平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度的方向，且過A,B兩點(diǎn)分別作速度的垂線,交點(diǎn)

P即為該瞬時(shí)的速度瞬心.３．幾種確定速度瞬心位置的方法

⑴已知圖形上一點(diǎn)的速度和圖形角速度

，可以確定速度瞬心的位置．（P點(diǎn)）且Ｐ在順轉(zhuǎn)向繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)90o的方向一側(cè)．

⑵已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動,則圖形與固定面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心．

運(yùn)動學(xué)

另：對⑷種(a)的情況，若vA＝vB，則是瞬時(shí)平動．⑸已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)的速度方向相同，且不與AB連線垂直．此時(shí),圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度=0,圖形上各點(diǎn)速度相等,這種情況稱為瞬時(shí)平動.(此時(shí)各點(diǎn)的加速度不相等)⑷已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)速度大小,且(b)(a)運(yùn)動學(xué)

例如:曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿BC作瞬時(shí)平動．而的方向沿AC的，瞬時(shí)平動與平動不同，它只是剛體作平面運(yùn)動的某一瞬時(shí)的特殊運(yùn)動狀態(tài)，而非平動。此時(shí)連桿BC的圖形角速度

，但角加速度BC桿上各點(diǎn)的速度都相等.但各點(diǎn)的加速度并不相等．設(shè)勻，則

利用速度瞬心求解平面圖形上點(diǎn)的速度的方法,稱為速度瞬心法.⒋速度瞬心法運(yùn)動學(xué)平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動可以視為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動中心。若P點(diǎn)為速度瞬心，則任意一點(diǎn)A的速度方向AP，指向由轉(zhuǎn)向確定。

⒌注意⑴速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時(shí)間不斷變化的。它可以在平面圖形內(nèi)也可以在平面圖形外（平面圖形的擴(kuò)展部分）；

⑵速度瞬心處的速度為零,加速度一定不為零。不同于轉(zhuǎn)動；

⑶

剛體作瞬時(shí)平動時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速度一定不相同。不同于剛體作平動。運(yùn)動學(xué)解：運(yùn)動分析：機(jī)構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動,AB作平面運(yùn)動,滑塊B作平動。

以A為基點(diǎn)，求滑塊B的速度及AB桿的角速度，且方向如圖示。[例1]

已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，曲柄OA以勻轉(zhuǎn)動。求：當(dāng)=45o時(shí),滑塊B的速度及AB桿的角速度．大?。悍较颍簝晌粗靠山猗菜俣确治觯没c(diǎn)法求vB和wAB:㈠基點(diǎn)法（合成法）

⒈研究AB

；運(yùn)動學(xué)（）在Ｂ點(diǎn)做速度平行四邊形，如圖示。⒊作速度矢量關(guān)系圖求解：㈡速度投影法⒈研究AB

；⒉速度分析，根據(jù)速度投影定理求vB

:方向OA,方向沿BO直線,運(yùn)動學(xué)（）試比較上述三種方法的特點(diǎn)。已知的方向，因此可確定出P點(diǎn)為AB桿的速度瞬心不能求出㈢速度瞬心法⒈研究AB;⒉速度分析，用速度瞬心法求vB和wAB

：運(yùn)動學(xué)§8-4平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度取A為基點(diǎn)，將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)取B動點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動分解為牽連運(yùn)動為平動和相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動于是,由牽連平動時(shí)加速度合成定理可得如下公式．基點(diǎn)法(合成法)

已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的加速度和圖形的,（某一瞬時(shí)）。求：該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度。⒈公式的導(dǎo)出運(yùn)動學(xué)其中：，方向AB，指向與一致；，方向沿AB，指向A點(diǎn)。即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法。⒉討論⑴是矢量式，符合矢量合成法則；⑵共包括大小﹑方向八個(gè)要素，已知任意六個(gè)要素，能求出另外兩個(gè)要素。由于方向總是已知，所以在該公式中，只要再知道四個(gè)要素，即可解出其余兩個(gè)待求量。運(yùn)動學(xué)分析：大?。俊蘎Rw

2

方向？√√√故應(yīng)先求出．（）

[例1]

半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點(diǎn)的速度及加速度,求車輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度．P為速度瞬心，解：輪O作平面運(yùn)動，⒈運(yùn)動分析：⒉研究輪O

，求w和e：由于此式在任何瞬時(shí)都成立，且O點(diǎn)作直線運(yùn)動，故：運(yùn)動學(xué)（）以O(shè)為基點(diǎn)，求P點(diǎn)的加速度大小：方向：兩未知量可解⒋作加速度矢量關(guān)系圖求解：將上式投影到x、y軸上，得：⒊加速度分析，用基點(diǎn)法求：運(yùn)動學(xué)

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時(shí)，其速度瞬心P的加速度指向輪心．解：(a)AB作平動，[例2]

已知O1A=O2B,圖示瞬時(shí)O1A/O2B

試問(a),(b)兩種情況下1和

2，1和2是否相等？(a)(b)運(yùn)動學(xué)(b)AB作平面運(yùn)動,圖示瞬時(shí)作瞬時(shí)平動,此時(shí)運(yùn)動學(xué)[例3]

曲柄滾輪機(jī)構(gòu)，OA=15cm,n=60rpm滾子半徑R=15cm,求：當(dāng)=60o時(shí)(OAAB),滾輪的Ｂ，Ｂ．運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)（）P１為其速度瞬心分析:要想求出滾輪的Ｂ,Ｂ先要求出vB,

aBP2vBP1

解：⒈運(yùn)動分析：OA定軸轉(zhuǎn)動,AB桿和輪B作平面運(yùn)動研究AB：⒉研究AB

:⑴速度分析，用速度瞬心法求wAB和vB

：運(yùn)動學(xué)⑵加速度分析，用基點(diǎn)法求eAB和aB：取A為基點(diǎn)，指向O點(diǎn)大?。悍较?兩未知量可解⑶作加速度矢量關(guān)系圖求解：將上式投影到x軸上，得：運(yùn)動學(xué)）(P2為輪B速度瞬心⒊研究輪B

:vBP2⑴速度分析，用速度瞬心法求wB

：）(⑵加速度分析，求eB

：運(yùn)動學(xué)第八章剛體平面運(yùn)動習(xí)題課一．概念與內(nèi)容

1.剛體平面運(yùn)動的定義剛體運(yùn)動時(shí)，其上任一點(diǎn)到某固定平面的距離保持不變．

2.剛體平面運(yùn)動的簡化可以用剛體上一個(gè)與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內(nèi)的運(yùn)動代替剛體的整體運(yùn)動．

3.剛體平面運(yùn)動的分解分解為

隨基點(diǎn)的平動（平動規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)）繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無關(guān)）可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點(diǎn),通常是運(yùn)動狀態(tài)已知的點(diǎn)．4.基點(diǎn)運(yùn)動學(xué)6.剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面平動是剛體平面運(yùn)動的特例．7.求平面圖形上任一點(diǎn)速度的方法⑴基點(diǎn)法：⑵速度投影法：⑶速度瞬心法： 其中，基點(diǎn)法是最基本的公式，瞬心法是基點(diǎn)法的特例．5.速度瞬心⑴任一瞬時(shí),平面圖形或擴(kuò)大部分都唯一存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)⑵瞬心位置隨時(shí)間改變．⑶每一瞬時(shí)平面圖形的運(yùn)動可視為繞該瞬時(shí)瞬心的轉(zhuǎn)動．這種瞬時(shí)繞瞬心的轉(zhuǎn)動與定軸轉(zhuǎn)動不同．⑷

瞬心位于無窮遠(yuǎn)處,

=0,各點(diǎn)速度相同,剛體作瞬時(shí)平動,

瞬時(shí)平動與平動不同．運(yùn)動學(xué)

8.求平面圖形上一點(diǎn)加速度的方法基點(diǎn)法：，A為基點(diǎn),是最常用的方法此外，當(dāng)=0,瞬時(shí)平動時(shí)也可采用方法它是基點(diǎn)法在=0時(shí)的特例。9.平面運(yùn)動方法與合成運(yùn)動方法的應(yīng)用條件

⑴平面運(yùn)動方法用于研究一個(gè)平面運(yùn)動剛體上任意兩點(diǎn)的速度、加速度之間的關(guān)系及任意一點(diǎn)的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關(guān)系．

⑵合成運(yùn)動方法常用來確定兩個(gè)相接觸的物體在接觸點(diǎn)處有相對滑動時(shí)的運(yùn)動關(guān)系的傳遞．運(yùn)動學(xué)

二．解題步驟和要點(diǎn)

1.根據(jù)題意和剛體各種運(yùn)動的定義，判斷機(jī)構(gòu)中各剛體的運(yùn)動形式．注意每一次的研究對象只是一個(gè)剛體．

2.對作平面運(yùn)動的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速度(圖形角速度)問題的方法,用基點(diǎn)法求加速度(圖形角加速度)

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量．

(基點(diǎn)法:恰當(dāng)選取基點(diǎn)，作速度平行四邊形，加速度矢量圖；速度投影法:不能求出圖形;速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵．）運(yùn)動學(xué)[例1]

曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時(shí),AB水平求該位置時(shí)的、及運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)[例1]

曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)已知:OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時(shí),AB水平.

求該位置時(shí)的，及

解：⒈運(yùn)動分析：OA,BC作定軸轉(zhuǎn)動,AB,BD均作平面運(yùn)動（）⒉研究AB;速度分析，用速度瞬心法求vB和wAB

：P１為AB桿速度瞬心運(yùn)動學(xué)P2為其速度瞬心,BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD（）⒊研究BD;速度分析，用速度瞬心法求vD和wBD

：運(yùn)動學(xué)[例2]

行星齒輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)

解：⒈運(yùn)動分析：OA定軸轉(zhuǎn)動，輪A作平面運(yùn)動；）([例2]

行星齒輪機(jī)構(gòu)已知:R,r,o

輪A作純滾動，求⒉研究輪A:

速度分析，用速度瞬心法求：輪A速度瞬心為P點(diǎn)運(yùn)動學(xué)[例3]

平面機(jī)構(gòu)中,楔塊M:=30o,v=12cm/s;盤:r=4cm,與楔塊間無滑動．求圓盤的及軸O的速度和B點(diǎn)速度．運(yùn)動學(xué)

解：⒈運(yùn)動分析：軸O,桿OC,楔塊M均作平動,圓盤作平面運(yùn)動；）([例3]

平面機(jī)構(gòu)中,楔塊M:=30o,v=12cm/s;盤:r=4cm,與楔塊間無滑動．求圓盤的及軸O的速度和B點(diǎn)速度．P為速度瞬心，⒉研究輪O:速度分析，用速度瞬心法求w、vO及

vB：運(yùn)動學(xué)

比較[例2]和[例3]可以看出,不能認(rèn)為圓輪只滾不滑時(shí),接觸點(diǎn)就是瞬心,只有在接觸面是固定面時(shí),圓輪上接觸點(diǎn)才是速度瞬心

每個(gè)作平面運(yùn)動的剛體在每一瞬時(shí)都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在剛體或其擴(kuò)大部分上,不能認(rèn)為瞬心在其他剛體上.例如,[例1]中AB的瞬心在P1點(diǎn),BD的瞬心在P2

點(diǎn),而且P1也不是CB桿上的點(diǎn)運(yùn)動學(xué)[例4]

導(dǎo)槽滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)[例4]

導(dǎo)槽滑塊機(jī)構(gòu)已知：曲柄OA=r,勻角速度轉(zhuǎn)動,連桿AB的中點(diǎn)C處連接一滑塊C可沿導(dǎo)槽O1D滑動,AB=l,圖示瞬時(shí)O,A,O1三點(diǎn)在同一水平線上,OAAB,AO1C==30。求：該瞬時(shí)O1D的角速度．

解：⒈運(yùn)動分析：

OA,O1D均作定軸轉(zhuǎn)動,AB作平面運(yùn)動；⒉研究AB：

圖示位置,vA∥vB，wAB=0，AB桿作瞬時(shí)平動,所以：⒊用合成運(yùn)動方法求O1D桿的角速度先求O1D桿上與滑塊C接觸的點(diǎn)的速度運(yùn)動學(xué)⑴選取動點(diǎn)、動系、靜系：動點(diǎn):AB桿上C點(diǎn),

動系:固連擺桿O1D

，靜系:固連地面。⑵三種運(yùn)動分析：①絕對運(yùn)動：動點(diǎn)C靜系絕對軌跡：未知曲線②相對運(yùn)動:動點(diǎn)C動系相對軌跡：③牽連運(yùn)動:定軸轉(zhuǎn)動動系（擺桿O1D

）靜系（擺桿O1D）斜直線由速度合成定理：⑶三種速度分析:大小：方向：兩未知量可解運(yùn)動學(xué)

）(

這是一個(gè)需要聯(lián)合應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動和剛體平面運(yùn)動理論求解的綜合性問題．注意這類題的解法，再看下例．

由速度合成定理作出速度平行四邊形如圖示。⑷作速度矢量關(guān)系圖求解：運(yùn)動學(xué)

[例5]平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)

[例5]

平面機(jī)構(gòu)圖示瞬時(shí),O點(diǎn)在AB中點(diǎn),=60o,BCAB,已知O,C在同一水平線上,AB=20cm,vA=16cm/s,

試求該瞬時(shí)AB桿,BC桿的角速度及滑塊C的速度．

解:⒈運(yùn)動分析：輪A、桿AB、桿BC均作平面運(yùn)動,套筒O作定軸轉(zhuǎn)動,滑塊C平動.取AB桿上O′點(diǎn)為動點(diǎn),動系固結(jié)于套筒;靜系固結(jié)于機(jī)架,

⒉研究AB

桿：⑴根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理確定AB桿上O′點(diǎn)速度方向：運(yùn)動學(xué)

P1為AB桿速度瞬心大?。悍较颍?/p>

因?yàn)檠谺A，所以，的方向沿BA。從而確定了AB桿上與O點(diǎn)接觸點(diǎn)的速度方向。⑵速度分析，用速度瞬心法求wAB，

vB：）(運(yùn)動學(xué)也可以用瞬心法求BC和vC，很簡便作速度矢量關(guān)系圖求解（）⒊研究BC桿：速度分析，用基點(diǎn)法求

vC

，wBC

：以B為基點(diǎn),根據(jù)大?。悍较颍簝晌粗靠山膺\(yùn)動學(xué)解:⒈運(yùn)動分析：

OA定軸轉(zhuǎn)動;AB,BC均作平面運(yùn)動,滑塊B和C均作平動應(yīng)用速度投影定理