第8章 截面的幾何性質(zhì)

工程力學(xué)系多媒體教學(xué)課件系列之一工程力學(xué)第8章截

面

的

幾

何

性

質(zhì)水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

靜矩、形心及其相互關(guān)系

慣性矩的概念及計(jì)算方法

慣性矩的平行移軸公式

組合截面慣性矩計(jì)算單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

靜矩、形心及其相互關(guān)系

慣性矩的概念及計(jì)算方法慣性矩的平行移軸公式組合截面慣性矩計(jì)算截面對于一個(gè)構(gòu)件或者結(jié)構(gòu)來說是非常重要的，下面我們列舉一下工程當(dāng)中常見的幾種截面：槽鋼角鋼工字型在工程中，我們總是希望在滿足安全條件的前提下，盡可能地使用較少的材料，以取得較好的經(jīng)濟(jì)效果，由此就會遇到一些與構(gòu)件的截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，這些量統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。截面的幾何性質(zhì)是影響構(gòu)件的承載力的重要因素之一。一般工程問題，截面的幾何性質(zhì)主要包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、形心主軸和形心主矩等。工程力學(xué)中，研究桿件的應(yīng)力與變形，研究失效問題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題，都要涉及到與截面的幾何性質(zhì)有關(guān)的量。截面A對于y軸的靜矩截面A對于z軸的靜矩zyOdAyzrA注意：靜矩是一個(gè)代數(shù)量，可正、可負(fù)或?yàn)榱?；同一截面對不同坐?biāo)軸的靜矩不同；靜矩的常用單位是m3或mm3。一.靜矩zyOdAyzrAzCyCC點(diǎn)C(zC，yC)稱為截面形心，通過形心的坐標(biāo)軸稱為形心軸。

1、截面對形心軸的靜矩為零；

2、若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸。

3、已知靜矩可確定截面的形心坐標(biāo)；已知截面的形心坐標(biāo)可確定靜矩。二.形心位置由若干個(gè)簡單截面（如矩形、圓形、三角形等）組成的截面稱為組合截面。組合截面對于某一軸的靜矩等于各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和，即也可以通過靜矩來計(jì)算組合截面的形心位置，即其中Ai、zCi、yCi分別表示第i個(gè)簡單截面的面積及形心坐標(biāo)。三.組合截面形心位置101080120試確定下圖的形心。zyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)

【例I-1】【解】方法一：用正面積法求解。將截面分割為兩個(gè)矩形，建立坐標(biāo)系如圖所示。形心C坐標(biāo)為（-20.3，34.7）。CC1（0,0）C2（5,5）【解】方法二：用負(fù)面積法求解。將截面分割為兩個(gè)矩形，建立坐標(biāo)系如圖所示。101080120C2負(fù)面積zyC1C形心C坐標(biāo)為（-20.3，-20.3）。這兩種方法所得到的形心坐標(biāo)不同是由于選擇不同的坐標(biāo)系引起的。2023/2/111zy4040試確定下圖形心解：按組合圖形解

1.正面積法，圖形分割為三圖(a)例①C1（y為對稱軸）402020③C3②C22023/2/1128080圖(b)2.負(fù)面積法，圖形分割如圖(b)4040負(fù)面積②C2zy①C12023/2/113y例①②③三根10號槽鋼焊成一體，求整個(gè)截面的形心∵

y為對稱軸，∴形心在y軸上各種規(guī)格品種的型鋼，幾何尺寸、參數(shù)可查型鋼表——

p370zcxxyy(形心)解：試確定等腰梯形面積的形心和對底邊的靜矩。abhC1C2zyO截面對底邊的靜矩形心位置C

【例I-2】【解】CL6TU6[練習(xí)]求圖示陰影部分的面積對y軸的靜矩。解：[例]求三角形ABC對底邊BC的靜矩bhABCOzy解:z積分得：靜矩、形心及其相互關(guān)系

慣性矩的概念及其計(jì)算方法慣性矩的平行移軸公式組合截面慣性矩計(jì)算截面對y

軸的慣性矩截面對z

軸的慣性矩截面對O點(diǎn)的極慣性矩zyOdAyzrA注意：慣性矩恒為正值；同一截面對不同坐標(biāo)軸的慣性矩不同；慣性矩的常用單位是m4或mm4。zyOdAyzrA力學(xué)計(jì)算中，常將慣性矩寫成截面面積A與某一長度（稱為慣性半徑）平方的乘積，即或注意：慣性半徑恒為正值；同一截面對不同坐標(biāo)軸的慣性半徑不同；慣性矩的常用單位是m或mm。zyOdAyzrA截面對yz軸的慣性積注意：慣性積是一個(gè)代數(shù)量，可正、可負(fù)或?yàn)榱?；慣性積是對一對坐標(biāo)軸而言的，這與靜矩、慣性矩和慣性半徑是不同的；慣性積的常用單位是m4或mm4；如果一對相互垂直的軸中一個(gè)坐標(biāo)軸通過截面形心，則截面對這一對軸的慣性積為零，反之，如果截面對一對軸的慣性積為零，則其中一軸必通過截面形心。zy（對稱軸）二、性質(zhì)：1.zz說明：兩側(cè)對稱的面積微分——顯然該情況對全部圖形都如此2.I

可分割組合3.若

y

、z之一是對稱軸yy附錄則Iyz=0y坐標(biāo)同值同號，z坐標(biāo)同值反號，積分中相互抵消：已知：圓截面直徑d，求：Iy，Iz，IP。drdrdACyz取圓環(huán)微元面積

【例I-3】【解】

【例I-4】【解】已知：矩形截面b×h，求：Iy，Iz。CyzbhzdzdA2ydydA1分別取平行于x

軸和y

軸的微元面積，24例

求慣性矩（對稱軸）yzh/2h/2H/2H/2B/2B/2b/2b/2慣性積解：因二軸為對稱軸A1A225例

求圖形慣性矩，

求

,②②②解：求①10107070606020②①兩腰負(fù)面積圖形分割為三：圖形仍分割為三：②①四.慣性矩、極慣性矩和慣性積性質(zhì)一覽表名稱定義量綱關(guān)系性質(zhì)靜矩慣性矩極慣性矩慣性積[L3][L4][L4][L4]對形心軸靜矩為零對對稱軸慣積為零靜矩、形心及其相互關(guān)系慣性矩的概念及計(jì)算方法

慣性矩的平行移軸公式

組合截面慣性矩計(jì)算

平行移軸定理（parallel-axistheorem）是指截面對于互相平行的坐標(biāo)軸的慣性矩、慣性積之間有如下關(guān)系：AzyOz1y1O1ab其中：A為截面面積，x、y軸為形心軸，x1、y1為分別與x、y軸平行的軸，a、b分別為相應(yīng)平行軸之間的距離。AzyOz1y1O1abdAyzy1z1證明：根據(jù)慣性矩和慣性積的定義顯然有即推導(dǎo)Iy、Iz、Iyz與

Iy1、Iz1、Iy1z1的關(guān)系，x、y軸為形心軸。

y1=y＋a，z1=z＋b

同時(shí)還應(yīng)有代入上式得AzyOz1y1O1abdAyzy1z1證明：即

y1=y＋a

z1=z＋b

AzyOz1y1O1abdAyzy1z1由于y、z軸通過截面形心，所以Sy＝Sz＝0，即有證明：[證畢]利用平行移軸定理可以通過已知截面對一對坐標(biāo)的慣性矩和慣性積，求其對另一對坐標(biāo)的慣性矩與慣性積。

因?yàn)槊娣e及包含a2、b2的項(xiàng)恒為正，故自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。

a、b為原坐標(biāo)系原點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，要注意二者的正負(fù)號；二者同號時(shí)abA為正，異號時(shí)為負(fù)。所以，移軸后慣性積有可能增加也可能減少。在所有互相平行的軸中，對形心軸的慣性矩是最小的。此時(shí)a=0，b=0.

試求三角形對z、z1軸的慣性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzC

【例I-5】【解】C34例2求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解：此題求解——兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理B

建立形心坐標(biāo),求圖形對形心軸的慣性矩。AdxyO80802020解（1）確定形心軸Z的位置：先求形心位置取y為對稱軸，形心必位于對稱軸上。Zc=0Z1CZyc（2)求IZIⅡ[例4-4]確定形心軸Z的位置，并求IZyZ80802020IⅡCycZCⅠZCⅡy[例4-5]：求圖示平面圖形對y、z軸的慣性矩Iy、IZCL6TU11（y為對稱軸、過形心）IIIII解（1）求Iy（2)求IZ:Z*ZcIIIIIII靜矩、形心及其相互關(guān)系慣性矩的概念及其計(jì)算方法慣性矩的平行移軸公式

組合截面慣性矩計(jì)算

工程計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的是組合截面的形心主慣性矩，即截面對于通過其形心的主軸之慣性矩。為此，必須首先確定截面的形心以及形心主軸的位置。

因?yàn)榻M合截面都是由一些簡單截面組成，在確定其形心、形心主軸以至形心主矩時(shí)，通常不采用積分法，而是利用簡單截面的幾何性質(zhì)以及平行移軸定理，按以下步驟進(jìn)行：

將組合截面分解為若干簡單截面，確定其形心；

2010020解：①求形心位置100例

求圖形對其形心軸的慣性矩分割為二,②求Czc(yc

)直接套用矩形公式20100CC2求③C1但

zc

不過二者形心——平行移軸20——圖形分割為二：100例題4求梯形截面對其形心軸yC

的慣性矩.解：將截面分成兩個(gè)矩形截面.20140100