結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計(jì)算的蒙特卡羅法(第二次)

ch5結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的蒙特卡羅法5.1蒙特卡羅法概述5.2蒙特卡羅法的優(yōu)缺點(diǎn)5.3抽樣模擬總數(shù)與蒙特卡羅法的精度5.4隨機(jī)變量的抽樣5.5蒙特卡羅法計(jì)算可靠指標(biāo)舉例5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.1蒙特卡羅法概述

對(duì)于設(shè)計(jì)階段的結(jié)構(gòu)，其功能函數(shù)及所包含變量的統(tǒng)計(jì)特征都是已知的，通過某種方法,根據(jù)已知的概率特性(統(tǒng)計(jì)特征），產(chǎn)生大量設(shè)計(jì)變量的樣本值，將其代入功能函數(shù)，“計(jì)算”結(jié)構(gòu)的狀態(tài)，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì),直接計(jì)算其失效概率。5.1.1蒙特卡羅（隨機(jī)模擬法）的基本思想5.1.2對(duì)蒙特卡羅法簡(jiǎn)明的理解1.已知2.用某種方法產(chǎn)生樣本3.計(jì)算結(jié)構(gòu)的狀態(tài)當(dāng)然，樣本的統(tǒng)計(jì)特征應(yīng)與已知值一致。統(tǒng)計(jì)時(shí)以為失效。5.1.3蒙特卡羅（隨機(jī)模擬法）的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)利用隨機(jī)模擬方法研究結(jié)構(gòu)安全問題是一種很自然的方法，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)建造和使用本身就是一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段，由于設(shè)計(jì)變量存在著不確定性，其具體的量值是未知的，只能通過對(duì)以往實(shí)驗(yàn)、實(shí)測(cè)和調(diào)查資料的統(tǒng)計(jì)分析，從概率角度來推斷結(jié)構(gòu)未來的性狀；在結(jié)構(gòu)建成并使用到設(shè)計(jì)規(guī)定期后，設(shè)計(jì)中所用的變量都成了規(guī)定值，結(jié)構(gòu)的最終狀態(tài)也完全得以確定（完好或失效）；所以結(jié)構(gòu)從建造到使用期內(nèi)的表現(xiàn)，就是對(duì)所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。5.1.4蒙特卡羅（隨機(jī)模擬法）

法的的數(shù)學(xué)描述從數(shù)學(xué)的角度描述為：1.利用隨機(jī)抽樣以獲得每一個(gè)變量的樣本值：，，…

，2.根據(jù)上述抽樣值，計(jì)算功能函數(shù)的值Z：3.進(jìn)行了N次這樣的試驗(yàn)（抽樣），則失效概率可由下式近似給出：

顯而易見，在蒙特卡羅法中，失效概率就是結(jié)構(gòu)失效次數(shù)占總試驗(yàn)次數(shù)的比例，這就是該方法的基本出發(fā)點(diǎn)。5.2蒙特卡羅法研究結(jié)構(gòu)可靠度的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：回避了結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難，不需要考慮極限狀態(tài)曲面的復(fù)雜性。缺點(diǎn)：計(jì)算工作量大（借助于計(jì)算機(jī)）現(xiàn)狀：不作為一種常規(guī)的結(jié)構(gòu)可靠度分析方法來使用，只是用于一些復(fù)雜情況的可靠度分析（國(guó)防、航天領(lǐng)域）。抽樣模擬多少次？如何隨機(jī)抽樣？如何保證樣本與實(shí)際情況大體相符合？5.3抽樣模擬總數(shù)與蒙特卡羅法精度結(jié)論：精度與抽樣模擬總數(shù)有關(guān)。換句話說，要想提高精度，必須將抽樣模擬總數(shù)提高5.4隨機(jī)變量的抽樣

抽樣方法：首先產(chǎn)生在開區(qū)間（0，1）上的均勻樣本值（隨機(jī)數(shù)），在此基礎(chǔ)上通過一定的計(jì)算再變換成給定分布變量的隨機(jī)數(shù)。5.4.1隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法隨機(jī)數(shù)表：將利用某種方法（高速轉(zhuǎn)盤、電子裝置）產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)記錄于磁盤中，使用時(shí)輸入計(jì)算機(jī)即可（一些數(shù)學(xué)手冊(cè)中還附有隨機(jī)數(shù)表）。物理方法：由物理隨機(jī)數(shù)發(fā)生器（安裝在計(jì)算機(jī)上）將具有隨機(jī)性質(zhì)的物理過程變換為隨機(jī)數(shù)。是真正的隨機(jī)數(shù)，不會(huì)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，但不便于對(duì)結(jié)果復(fù)查，也不便于對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比，且發(fā)生器的穩(wěn)定性檢查和維護(hù)是一項(xiàng)繁瑣的工作，該法不常用。數(shù)學(xué)方法：根據(jù)數(shù)論方法通過數(shù)學(xué)遞推公式運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。速度快，即產(chǎn)即用，可重復(fù)生產(chǎn)。會(huì)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象且隨機(jī)數(shù)之間存在一定的相關(guān)性，被稱謂偽隨機(jī)數(shù)。數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的“隨機(jī)數(shù)”，由于是按確定的算法計(jì)算出來的，所以并不是真正的隨機(jī)數(shù)，但如果計(jì)算方法選擇得當(dāng)，它們就近似地是相互獨(dú)立和均勻分布的，經(jīng)得起數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的獨(dú)立性檢驗(yàn)和均勻分布檢驗(yàn)。鑒于此，人們把這種數(shù)叫作偽隨機(jī)數(shù)。用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的“隨機(jī)數(shù)”，常用的方法是同余法，包括加同余法、乘同余法和混合同余法。對(duì)偽隨機(jī)數(shù)的檢驗(yàn)用這種方法產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)能否作為（0-1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)，需要進(jìn)行檢驗(yàn)。可在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生序列，然后用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)其獨(dú)立性和均勻性。應(yīng)用《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的知識(shí)5.4.2隨機(jī)變量的抽樣實(shí)際工程中，所涉及的隨機(jī)變量并不服從0-1均勻分布，因此需要研究其它分布類型的隨機(jī)變量樣本值的產(chǎn)生方法?！赏ㄟ^0-1均勻分布的適當(dāng)變換得到。下面介紹幾種常用的方法連續(xù)型隨機(jī)變量的抽樣方法——反函數(shù)法、隨機(jī)變量函數(shù)法、舍選法離散型隨機(jī)變量的抽樣方法I用反函數(shù)方法產(chǎn)生任意分布隨機(jī)變量的抽樣基本思想：r為（0-1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)，如果隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)為FX(x),則對(duì)于給定的分布函數(shù)值FX(x)=r,x的值為x=FX-1(r)1.連續(xù)型隨機(jī)變量的抽樣方法其合理性評(píng)述1）

FX(x)=r；（2）x的分布；（3）作為隨機(jī)數(shù)的可信性。I用反函數(shù)方法產(chǎn)生任意分布隨機(jī)變量的抽樣這就意味著,如果（r1,r2,…rn)是R的一組值，則相應(yīng)得到一組值x=FX-1(ri)（i=1,2,…n),具有分布FX(x)。FX(x)=rI反函數(shù)方法產(chǎn)生隨機(jī)變量的抽樣的實(shí)例例4-2產(chǎn)生具有指數(shù)分布概率密度的一個(gè)抽樣。設(shè)I反函數(shù)方法產(chǎn)生隨機(jī)變量的抽樣——實(shí)例例4-3產(chǎn)生極值I型漸進(jìn)分布的一個(gè)抽樣設(shè)同樣可以得到：II隨機(jī)變量函數(shù)法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)基本思想：設(shè)隨機(jī)變量X是其它隨機(jī)變量Y1,Y2,…Yn的函數(shù)，即X=g(Y1,Y2,…Yn),如果能容易的產(chǎn)生Y1,Y2,…Yn的隨機(jī)數(shù)y1,y2,…yn,則可得X的隨機(jī)數(shù)x=g(y1,y2,…yn)II隨機(jī)變量函數(shù)法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)——舉例例4-4X1,X2是兩個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的隨機(jī)變量；R1,R2是兩個(gè)相互獨(dú)立的（0，1）均勻分布隨機(jī)變量，試產(chǎn)生N(μ,σ)的隨機(jī)數(shù)。（1）可以證明右式成立（2）根據(jù)上式，由（0-1）均勻分布隨機(jī)數(shù)，再產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。（3）再由下式得到正態(tài)分布N(μ,σ)

隨機(jī)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與均勻分布隨機(jī)變量之間的關(guān)系。正態(tài)分布y與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布x之間的關(guān)系。當(dāng)樣本點(diǎn)落入概率密度曲線下面時(shí)，抽樣結(jié)果才有效。III舍選法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)——圖示III舍選法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)——舉例例4.5產(chǎn)生某鋼筋屈服強(qiáng)度的5個(gè)樣本值。統(tǒng)計(jì)顯示鋼筋屈服強(qiáng)度符合上下有界的貝塔分布。貝塔分布的概率密度函數(shù)為據(jù)統(tǒng)計(jì)由于貝塔分布的分布函數(shù)不能用顯式表達(dá)——采用舍選法。（1）確定概率密度函數(shù)的最大值據(jù)得從而（2）鋼筋屈服強(qiáng)度樣本值的產(chǎn)生過程產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生樣本值產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)取舍選定的樣本6.0349x10-3229.2077.5437x10-16.3940x10-4舍

2.9639x10-1287.27994.9929x10-29.3402x10-1取287.2799

2.4123x10-1276.24631.5392x10-17.9053x10-1取276.2463

2.4082x10-1276.16481.03x10-17.8920x10-1取276.1648

8.7616x10-1403.23335.2079x10-11.3442x10-1舍3.5622x10-1299.24445.2774x10-19.9861x10-1取299.2444

5.3020x10-1334.04012.7505x10-17.2184x10-1取334.0401

用該法繼續(xù)產(chǎn)生樣本值1000個(gè)，發(fā)現(xiàn)III舍選法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)——評(píng)價(jià)2.離散型隨機(jī)變量的抽樣方法結(jié)構(gòu)可靠度分析中存在離散隨機(jī)變量的情況：設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)可變荷載的變化次數(shù)；建筑場(chǎng)地一定時(shí)期內(nèi)地震的次數(shù)等。

P設(shè)隨機(jī)變量的分布律為：定義（1）一般離散型隨機(jī)變量的抽樣方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r，計(jì)算滿足條件的i值，所對(duì)應(yīng)的即為離散型隨機(jī)變量的一個(gè)樣本。該法適用于任何離散型隨機(jī)變量的情況（2）泊松分布的抽樣方法（常見的離散型隨機(jī)變量：活載變化次數(shù)、地震次數(shù)均可用此描述）N服從泊松分布，則其取值為n的概率為若產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)滿足條件的n值，即為隨機(jī)變量N的一個(gè)樣本值。建筑結(jié)構(gòu)樓面持久活荷載是一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)過程，（即荷載變化的次數(shù)和大小是隨機(jī)的），用泊松過程來描述荷載變化的次數(shù)N，即T為設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期，一般為50年；

為活荷載單位時(shí)間內(nèi)的平均變化次數(shù)據(jù)以往統(tǒng)計(jì)居民搬家平均一次/8年例4-5試產(chǎn)生設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)樓面荷載變化次數(shù)的5個(gè)樣本值解（1）設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)樓面荷載的平均變化次數(shù)(2)首先產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r，然后按公式確定荷載變化次數(shù)的樣本值5.5蒙特卡羅法求解失效概率實(shí)例例4-5設(shè)某構(gòu)件正截面承載力計(jì)算的極限狀態(tài)方程為Z＝g(R,S)=R-S=0，R、S分別為正態(tài)和極值I型分布的隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)參數(shù)為R（100，20），S（80，24）。試用蒙特卡羅法求解其失效概率。5.5蒙特卡羅法求解失效概率實(shí)例4-5（一般抽樣）2.產(chǎn)生R的隨機(jī)數(shù)（R為正態(tài)分布）1.產(chǎn)生（0-1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)3.產(chǎn)生S的隨機(jī)數(shù)（S為極值I型分布）4.將變量的隨機(jī)值代入功能函數(shù)，計(jì)算g＝R-S5.重復(fù)1～4，記錄下g<0的次數(shù)L和總次數(shù)N由（0-1）均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)5.5蒙特卡羅法求解失效概率實(shí)例4-5（一般抽樣）當(dāng)停止N1002003004005006007008009001000L26477295117138157177201224失效概率0.260.2350.240.23750.2340.230.22430.22130.22330.224Z＝g(R,S)=R-S蒙特卡羅法求解失效概率實(shí)例4-6（一般抽樣）X1服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，平均值和變異系數(shù)分別為：X2服從極值I型分布，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：X3服從韋布爾分布，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：已知結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為：求結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)三種分布的密度函數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布極值I型分布韋布爾分布1求分布函數(shù)（1）對(duì)于服從正態(tài)分布的X1有：（2）對(duì)于服從極值I型分布的X2有：依據(jù)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系代入即可求出代入即可求出1求分布函數(shù)（3）對(duì)于服從韋爾布型分布的X3有：將代入上式，得代入即可求出2.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r，利用反函數(shù)法產(chǎn)生樣本（1）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r1，利用反函數(shù)法產(chǎn)生X1的樣本（2）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r2，利用反函數(shù)法產(chǎn)生X2的樣本2.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r，利用反函數(shù)法產(chǎn)生樣本（3）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r3，利用反函數(shù)法產(chǎn)生X3的樣本（4）將第1次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，得到的第1樣本，代入功能函數(shù)可計(jì)算其值否則若（5）將第2次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，代入產(chǎn)生第二個(gè)樣本，代入功能函數(shù)可計(jì)算其值重復(fù)計(jì)算10000次，出現(xiàn)失效次數(shù)18次評(píng)述對(duì)于小概率事件的結(jié)構(gòu)失效問題，用蒙特卡羅法導(dǎo)致很大的計(jì)算量，因此（直接的）蒙特卡羅法對(duì)于結(jié)構(gòu)可靠度不高即失效概率較大的情況，有較高的效率。如何提高蒙特卡羅法的抽樣效率，成為該方法要解決的主要問題。1.5.6.1引言（1）同心圓表示聯(lián)合概率密度函數(shù)的等值線，黑點(diǎn)為聯(lián)合概率密度函數(shù)的最大值點(diǎn)，即最大似然點(diǎn)，該點(diǎn)一般在隨機(jī)變量的平均值附近。（2）當(dāng)按一般抽樣方法進(jìn)行隨機(jī)抽樣時(shí)，樣本點(diǎn)落在最大似然點(diǎn)處的概率最大，所以抽樣的樣本點(diǎn)大部分落在該點(diǎn)附近。（3）按照結(jié)構(gòu)安全設(shè)計(jì)的要求，結(jié)構(gòu)失效為小概率事件，也就是設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)時(shí)，要使最大似然點(diǎn)在可靠域內(nèi)，且遠(yuǎn)離失效邊界。5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.6.1.引言（4）在這種情況下，模擬中只有少數(shù)或極少數(shù)（取決于失效概率的大小）的樣本落入失效域，落入失效域的樣本點(diǎn)越少，失效概率估計(jì)值的不確定性越大，從而精度越低。例如當(dāng)進(jìn)行了一定次數(shù)的模擬后仍然沒有一個(gè)樣本點(diǎn)落入失效域，則失效概率的估計(jì)值為0，顯然不能反映結(jié)構(gòu)失效概率的真實(shí)結(jié)果。（5）提高抽樣效率的途徑是縮減失效概率估計(jì)值的方差，為此發(fā)展了多種高效抽樣方法，其中重要抽樣法應(yīng)用最廣。根據(jù)概率論及泛函的知識(shí)可以得到，使失效概率估計(jì)值方差最小的重要抽樣函數(shù)為上式表示的抽樣函數(shù)是以功能函數(shù)小于0為條件的概率密度函數(shù)，在這一條件下，抽樣的樣本點(diǎn)必然會(huì)落入失效域內(nèi)。重要抽樣法的理論基礎(chǔ)用該抽樣函數(shù)可得到了失效概率精確值，即失效概率估計(jì)值的方差為0。事實(shí)上，由于該抽樣函數(shù)包括未知項(xiàng)，無法使用，但對(duì)于構(gòu)造其它形式的重要抽樣函數(shù)提供了啟示。5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.6.2.基本概念所謂重要抽樣法，就是通過改變抽樣中心的位置或是用新的概率分布對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣，來估計(jì)失效概率的值，從而達(dá)到縮減方差的目的。理論分析表明，只要做到以下2點(diǎn)均能提高抽樣效率：（1）構(gòu)造的抽樣函數(shù)要保證有一定數(shù)量的樣本點(diǎn)落入失效域內(nèi)；（2）構(gòu)造抽樣函數(shù)時(shí)，如能考慮極限狀態(tài)曲面的形狀，就會(huì)使抽樣效率得到提高。從這兩個(gè)基本原則出發(fā)，目前已發(fā)展了多種重要抽樣方法：直接重要抽樣法、更新重要抽樣法、漸進(jìn)重要抽樣法和方向重要抽樣法。5.6.3直接重要抽樣法的思路從兩方面考慮，一是增大樣本點(diǎn)落入失效域的機(jī)會(huì)；二是使示性函數(shù)具有較大的權(quán)重（——不考慮極限狀態(tài)曲面形狀時(shí)提高抽樣效率的方法）。具體做法：將重要抽樣隨機(jī)變量的中心（即平均值）選在對(duì)結(jié)構(gòu)影響最大的點(diǎn)（該點(diǎn)可通過理論分析確定，具體見有關(guān)文獻(xiàn)，也可選在依據(jù)一次二階距分析得到的驗(yàn)算點(diǎn)）上，而重要抽樣隨機(jī)變量的方差可以取原隨機(jī)變量的方差，概率分布可以取原來的概率分布，也可以取為其它便于抽樣的分布（實(shí)際分析中，多取為正態(tài)分布，因?yàn)槠溆性S多標(biāo)準(zhǔn)抽樣方法且具有良好的性能）。5