電子電工課件chapter3

第三章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)3.1數(shù)制與碼制

3.2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

3.3邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

概述：模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)3.1數(shù)制與碼制

模擬信號(hào)：在時(shí)間和幅度上連續(xù)變化的信號(hào).

例如：交流電源50Hz正弦信號(hào),正弦信號(hào)發(fā)生器的輸出信號(hào),人講話的聲音信號(hào)等.數(shù)字信號(hào)的特點(diǎn)數(shù)字信號(hào)在時(shí)間上和數(shù)值上均是離散的。數(shù)字信號(hào)在電路中常表現(xiàn)為突變的電壓或電流典型的數(shù)字信號(hào)數(shù)字邏輯

數(shù)字信號(hào)是一種二值信號(hào)，用邏輯0和邏輯1來表示。如：開關(guān)打開用邏輯1表示，而開關(guān)閉合用邏輯0表示。

在數(shù)字電路中，用邏輯0和邏輯1來表示高電平和低電平。有兩種邏輯體制：

正邏輯體制規(guī)定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。負(fù)邏輯體制規(guī)定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。

如果采用正邏輯，數(shù)字電壓信號(hào)就成為下圖所示邏輯信號(hào)

數(shù)字信號(hào)的主要參數(shù)

一個(gè)理想的周期性數(shù)字信號(hào)，可用以下幾個(gè)參數(shù)來描述：

Vm——信號(hào)幅度。

T——信號(hào)的重復(fù)周期。

tW——脈沖寬度。

q——占空比。其定義為：數(shù)字電路的優(yōu)點(diǎn)②

抗干擾能力強(qiáng)，精度高

（2）模擬系統(tǒng)的精度由元器件決定，模擬元器件的精度很難達(dá)到10-3以上，而數(shù)字系統(tǒng)只要14位就可以達(dá)到10-4的精度。在高精度的系統(tǒng)中有時(shí)只能采用數(shù)字系統(tǒng)。

對(duì)電路中各元器件參數(shù)的精度的要求相對(duì)不高，允許有較大的分散性，只要能區(qū)分兩種截然不同的狀態(tài)即可。

（1）由于數(shù)字電路加工和處理的都是二進(jìn)制信息，不易受到外界的干擾，因而抗干擾能力強(qiáng)。而模擬系統(tǒng)的各元件都有一定的溫度系數(shù)，且電平是連續(xù)變化的，易受溫度、噪聲、電磁感應(yīng)的等的影響。①

基本單元電路簡(jiǎn)單③

數(shù)字信號(hào)便于長(zhǎng)期存儲(chǔ)④

保密性好⑤

通用性強(qiáng)

由于數(shù)字部件具有高度規(guī)范性，便于大規(guī)模集成、大規(guī)模生產(chǎn)，而對(duì)電路參數(shù)要求不嚴(yán)，故產(chǎn)品成品率高。采用標(biāo)準(zhǔn)化的邏輯部件來構(gòu)成各種各樣的數(shù)字系統(tǒng)，省時(shí)省力。1.數(shù)制幾種常用的計(jì)數(shù)體制①十進(jìn)制（Decimal）②二進(jìn)制（Binary）③十六進(jìn)制(Hexadecimal)與八進(jìn)制（Octal）結(jié)論①一般地，N進(jìn)制需要用到N個(gè)數(shù)碼，基數(shù)是N；運(yùn)算規(guī)律為逢N進(jìn)一。②如果一個(gè)N進(jìn)制數(shù)M包含ｎ位整數(shù)和ｍ位小數(shù)，即(an-1an-2…a1a0·a－1a－2…a－m)N則該數(shù)的權(quán)展開式為：(M)N

＝an-1×Nn-1

＋

an-2×Nn-2

＋…＋a1×N1＋

a0×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m③由權(quán)展開式很容易將一個(gè)N進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。數(shù)碼為：0～9；基數(shù)是10。運(yùn)算規(guī)律：逢十進(jìn)一，即：9＋1＝10。十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：（1）十進(jìn)制５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、102、101、100稱為十進(jìn)制的權(quán)。各數(shù)位的權(quán)是10的冪。同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同。＋任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對(duì)應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100（2）二進(jìn)制數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2。運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1＋1＝10。二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法規(guī)則：0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1運(yùn)算規(guī)則：各數(shù)位的權(quán)是２的冪

二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，它的每一位都可以用電子元件來實(shí)現(xiàn)，且運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單，相應(yīng)的運(yùn)算電路也容易實(shí)現(xiàn)。數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8。運(yùn)算規(guī)律：逢八進(jìn)一，即：7＋1＝10。八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(207.04)8＝2×82

＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝（135.0625)10（3）八進(jìn)制各數(shù)位的權(quán)是8的冪各數(shù)位的權(quán)是16的冪（4）十六進(jìn)制數(shù)碼為：0～9、A～F；基數(shù)是16;運(yùn)算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，即：F＋1＝10。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(D8.A)16＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10不同進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

將N進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開，即可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。（1）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)方法—“除基取余法”、“乘基取整法”故：(44.375)10＝(101100.011)2采用基數(shù)連除、連乘法，可將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意的N進(jìn)制數(shù)。a.二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)：將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點(diǎn)開始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每3位分成一組，不夠3位補(bǔ)零，則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位八進(jìn)制數(shù)。（2）二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換1101010.01000＝(152.2)8b.八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：將每位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示。 =011111100.010110(374.26)8111010100.0110000＝(1D4.6)16=101011110100.01110110(AF4.76)16

二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，按照每4位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于一位十六進(jìn)制數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。（3）二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換2.碼制

用一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)來表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息稱為編碼。

數(shù)字系統(tǒng)只能識(shí)別0和1，怎樣才能表示更多的數(shù)碼、符號(hào)、字母呢？用編碼可以解決此問題。

二-十進(jìn)制代碼：用4位二進(jìn)制數(shù)b3b2b1b0來表示十進(jìn)制數(shù)中的0-9十個(gè)數(shù)碼。簡(jiǎn)稱BCD碼。

2421碼的權(quán)值依次為2、4、2、1；余3碼由8421碼加0011得到；格雷碼是一種循環(huán)碼，其特點(diǎn)是任何相鄰的兩個(gè)碼字，僅有一位代碼不同，其它位相同。

用四位自然二進(jìn)制碼中的前十個(gè)碼字來表示十進(jìn)制數(shù)碼，因各位的權(quán)值依次為8、4、2、1，故稱8421BCD碼。

用以表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息的一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)稱為代碼。二—十進(jìn)制碼（BCD碼）格雷碼及編碼規(guī)則十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)格雷碼十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)格雷碼000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000邏輯代數(shù)討論的是輸出變量和輸入變量的因果關(guān)系設(shè)1表示開關(guān)閉合或燈亮；0表示開關(guān)不閉合或燈不亮，則得真值表

與運(yùn)算：只有當(dāng)決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會(huì)發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為與邏輯。若用邏輯表達(dá)式來描述，則可寫為3.2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1.邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算或運(yùn)算：當(dāng)決定一件事情的幾個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備，這件事情就發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為或邏輯。若用邏輯表達(dá)式來描述，則可寫為：

L＝A+B

非運(yùn)算：某事情發(fā)生與否，僅取決于一個(gè)條件，而且是對(duì)該條件的否定。即條件具備時(shí)事情不發(fā)生；條件不具備時(shí)事情才發(fā)生。若用邏輯表達(dá)式來描述，則可寫為：

復(fù)合邏輯運(yùn)算與非：與非是由與運(yùn)算和非運(yùn)算組合而成

或非：或非是由或運(yùn)算和非運(yùn)算組合而成與或非異或：異或是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)變量取值相同時(shí)，邏輯函數(shù)值為0；當(dāng)兩個(gè)變量取值不同時(shí)，邏輯函數(shù)值為1。同或：同或是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)變量取值相同時(shí)，邏輯函數(shù)值為1；當(dāng)兩個(gè)變量取值不同時(shí)，邏輯函數(shù)值為0。L=A⊙B==2.邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則

邏輯常量運(yùn)算公式與運(yùn)算或運(yùn)算非運(yùn)算0·0=00+0=0

0·1=00+1=11·0=01+0=11·1=11+1=1邏輯常量、變量運(yùn)算公式與運(yùn)算或運(yùn)算非運(yùn)算A·0=0A+0=A

A·1=AA+1=1A·A=AA+A=A與普通代數(shù)相似的規(guī)律

交換律結(jié)合律分配律常用公式基本定律吸收律

吸收律證明吸收律推廣：由上表可知，利用吸收律化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，某些項(xiàng)或因子在化簡(jiǎn)中被吸收掉，使邏輯函數(shù)式變得更簡(jiǎn)單。反演律可用真值表證明AB0011010010001100AB0011011110111100邏輯代數(shù)基本規(guī)則（1）代入規(guī)則

對(duì)于任何一個(gè)邏輯等式，以某個(gè)邏輯變量或邏輯函數(shù)同時(shí)取代等式兩端任何一個(gè)邏輯變量后，等式依然成立。（2）反演規(guī)則反演規(guī)則即已知函數(shù)Y,求01●+A

*保持運(yùn)算的優(yōu)先順序不變，必要時(shí)加括號(hào)表明，如例1。*變換中，幾個(gè)變量（一個(gè)以上）的公共非號(hào)保持不變，如例2。

在應(yīng)用反演規(guī)則求反函數(shù)時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：規(guī)則:例1.求函數(shù)的反函數(shù)。解：解：例2.求函數(shù)的反函數(shù)。（2）對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則即將一個(gè)邏輯函數(shù)Y進(jìn)行下列變換：所得新函數(shù)表達(dá)式叫做Y的對(duì)偶式，用Y’表示。

●+01對(duì)偶規(guī)則的基本內(nèi)容：如果兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等，那么它們的對(duì)偶式也一定相等。例4.求函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)。例3.求函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)。解：解：3.邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)描述的是輸出變量和輸入變量之間的因果關(guān)系。邏輯函數(shù)有5種表示形式：真值表、邏輯表達(dá)式、卡諾圖、邏輯圖和波形圖。只要知道其中一種表示形式，就可轉(zhuǎn)換為其它幾種表示形式。（1）真值表真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。真值表列寫方法：每一個(gè)變量均有0、1兩種取值，n個(gè)變量共有2n種不同的取值，將這2n種不同的取值按順序（一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律）排列起來，同時(shí)在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。例如：當(dāng)A、B取值相同時(shí)，函數(shù)值為0；否則，函數(shù)取值為1。（2）邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子。標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式列寫方法：將那些使函數(shù)值為1的各個(gè)狀態(tài)表示成全部變量（值為1的表示成原變量，值為0的表示成反變量）的與項(xiàng)（例如A=0、B=1時(shí)函數(shù)F的值為1，則對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)為AB）以后相加，即得到函數(shù)的與或表達(dá)式.（3）邏輯圖邏輯圖：是由表示邏輯運(yùn)算的邏輯符號(hào)所構(gòu)成的圖形。F＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＢＣ（4）波形圖波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。F＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＣF００００００１００１０００１１１１０００１０１０１１０１１１１１００００ＡＢ＋ＢＣ3.3邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)它的電路越簡(jiǎn)單，電路工作越穩(wěn)定可靠。邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義①使邏輯函數(shù)表達(dá)式變換為所需要的邏輯關(guān)系。(如：只有74LS00)②將邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)為同一種邏輯功能，減少芯片種類邏輯函數(shù)可用公式進(jìn)行變換；也可用卡諾圖進(jìn)行化簡(jiǎn)。⑴

利用公式，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。⑵

利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項(xiàng)。⑶

利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的變量。⑷利用公式，為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。⑸

利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。1.邏輯函數(shù)表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式“與或”表達(dá)式“或與”表達(dá)式混合表達(dá)式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式①最小項(xiàng)表達(dá)式－－最小項(xiàng)相與②最大項(xiàng)表達(dá)式－－最大項(xiàng)相或最小項(xiàng)使最小項(xiàng)取值為1的取值十進(jìn)制數(shù)最小項(xiàng)編號(hào)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7

3變量最小項(xiàng)真值表最小項(xiàng)具有以下幾個(gè)性質(zhì)：1）對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而其余各種變量取值均使它的值為0。2）任意兩個(gè)最小項(xiàng)的“與”恒為0。3）全部最小項(xiàng)之和（“或”）等于1。4）具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，并且可以消去一對(duì)變量。最小項(xiàng)表達(dá)式

在最小項(xiàng)表達(dá)式中，邏輯函數(shù)的每一個(gè)“與”項(xiàng)都包含了全部變量，其中每個(gè)變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且每個(gè)變量?jī)H出現(xiàn)一次，這種“與”項(xiàng)通常稱為最小項(xiàng)，也稱為標(biāo)準(zhǔn)“與或”表達(dá)式。例1.3.6將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式

＝m7+m6+m3+m1解：ABCF最小項(xiàng)00001m000110m101001m201110m310001m410101m511010m611110m7寫F的表達(dá)式是將最小項(xiàng)為1的項(xiàng)相或：寫F的表達(dá)式是將最小項(xiàng)為0的項(xiàng)相或：任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以表示為一組最小項(xiàng)之和，稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。最大項(xiàng)使最大項(xiàng)取值為0的取值十進(jìn)制數(shù)最大項(xiàng)編號(hào)0000M00011M10102M20113M31004M41015M51106M61117M73變量最大項(xiàng)真值表最大項(xiàng)表達(dá)式

最大項(xiàng)的性質(zhì)：①每個(gè)最大項(xiàng)只對(duì)應(yīng)于1組輸入變量使最大項(xiàng)的值為0；②任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1；③全部最大項(xiàng)之積恒為0。

在最大項(xiàng)表達(dá)式中，邏輯函數(shù)的每一個(gè)“或”項(xiàng)都包含了全部變量，其中每個(gè)變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且每個(gè)變量?jī)H出現(xiàn)一次，這種“或”項(xiàng)通常稱為最大項(xiàng)，也稱為標(biāo)準(zhǔn)“或與”表達(dá)式。一個(gè)邏輯函數(shù)可以用最大項(xiàng)之積的形式來表示，稱為函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或與”表達(dá)式——最大項(xiàng)表達(dá)式。

已知：函數(shù)

試問F和G哪一個(gè)是最大項(xiàng)表達(dá)式？同一個(gè)函數(shù)具有如下的性質(zhì)：①既可以表示為最小項(xiàng)表達(dá)式，也可以表示為最大項(xiàng)表達(dá)式；②最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的關(guān)系為：同一下標(biāo)的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)互補(bǔ)。

ABCF最小項(xiàng)最大項(xiàng)0000M00010M10100M20111m31001m41011m51101m61111m7F=∑m(3,4,5,6,7)=∏M(0,1,2)

２）即將輸出為1的最小項(xiàng)相或；將輸出為0的最大項(xiàng)相與。解：１）列出真值表例:寫成函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式。2.卡諾圖化簡(jiǎn)卡諾圖是一種變形的真值表，它用2n個(gè)小方格代表n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)。卡諾圖的特點(diǎn)：將具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列。一、卡諾圖的表示方法2變量卡諾圖3變量卡諾圖4變量卡諾圖二、卡諾圖的填入最小項(xiàng)表達(dá)式的填入：將構(gòu)成函數(shù)的那些最小項(xiàng)的方格中填入1。最大項(xiàng)表達(dá)式的填入：將構(gòu)成函數(shù)的那些最大項(xiàng)的方格中填入0。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖具有很強(qiáng)的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的。（2）對(duì)邊相鄰性，即與中心軸對(duì)稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。非標(biāo)準(zhǔn)“與或”表達(dá)式的填入方法：將每個(gè)與或表達(dá)式中的1用原變量表示，0用反變量表示，在卡諾圖中找出交叉的方格填入1,其余填0.非標(biāo)準(zhǔn)“或與”表達(dá)式的填入方法：找出使其“或”項(xiàng)為0的組合對(duì)應(yīng)的方格為0,其余填1.三、卡諾圖的化簡(jiǎn)依據(jù)2）4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去2個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。1）2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合,可以消去1個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。3）8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去3個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)?？ㄖZ圖的化簡(jiǎn)依據(jù)是：

如果有2n個(gè)最小項(xiàng)并構(gòu)成一個(gè)矩形，則它們可合并為一項(xiàng)并消去n個(gè)變量，保留的變量是這些最小項(xiàng)中的公共變量，而發(fā)生變化的變量將被消去。四、卡諾圖的化簡(jiǎn)步驟：（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)下述原則畫圈。（3）寫出化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡(jiǎn)與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式?？ㄖZ圖的化簡(jiǎn)注意事項(xiàng):

（1）盡量畫大圈，但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。特別注意對(duì)邊相鄰性和四角相鄰性。（2